2022-2023學年上海市曹楊高二年級上冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年上海市曹楊第二中學高二上學期期末數(shù)學試題一、填空題1．半徑為的球的體積是___________.【答案】【分析】根據(jù)球體積公式計算．【詳解】由題意球體積為．故答案為：．2．設(shè)正四面體的棱長為1，則該正四面體的高為______.【答案】##【分析】設(shè)正四面體為，過作底面，可知為底面正三角形的中心，然后求解直角三角形得答案．【詳解】如圖，設(shè)正四面體為，過作底面，垂足為，四面體為正四面體，為底面正三角形的中心，連接并延長交于，則為中點，底面邊長為1，，，該正四面體的高為．故答案為：．3．兩條平行直線與之間的距離為______.【答案】##0.6【分析】根據(jù)兩平行直線間的距離公式求得正確答案.【詳解】兩條平行直線與之間的距離為：.故答案為：.4．若直線的一個法向量為，則過原點的直線的方程為______.【答案】【分析】根據(jù)直線法向量，可設(shè)出直線方程，由直線過原點，求出未知系數(shù).【詳解】若直線的一個法向量為，可設(shè)直線方程為，由直線過原點，∴，故所求直線方程為，即.故答案為：5．如圖是用斜二測畫法畫出的水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中，則三角形的面積為______.【答案】【分析】根據(jù)直觀圖和平面圖的關(guān)系可求出，進而利用面積公式可得三角形的面積【詳解】由已知可得則故答案為：.6．如果圓錐的底面圓半徑為1，母線長為2，則該圓錐的側(cè)面積為___．【答案】2π【分析】由圓錐的側(cè)面積公式即可求解．【詳解】由題意，圓錐底面周長為2π×1=2π，又母線長為2，所以圓錐的側(cè)面積．故答案為：2π.7．一個橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的離心率為________.【答案】【解析】根據(jù)已知可知：，再代入離心率公式即可.【詳解】由題知：，即..故答案為：【點睛】本題主要考查離心率的求法，根據(jù)題意找到關(guān)系式為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.8．已知直線，，則直線的傾斜角的取值范圍是______.【答案】【分析】由題意可得直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則有，，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】解：因為直線，，所以直線的斜率，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則有，又因為，所以.故答案為：9．已知正三棱臺上、下底面邊長分別為1和2，高為1，則這個正三棱臺的體積為______.【答案】【分析】先計算兩個底面的面積，再由體積公式計算即可.【詳解】上底面的面積為，下底面的面積為，則這個正三棱臺的體積為.故答案為：10．已知圓，直線（、不同時為0），當、變化時，圓被直線截得的弦長的最小值為______.【答案】【分析】由題意知直線恒過定點，當圓心到直線距離取最大值時，此時圓被直線l截得的弦長為最小值，即可求出答案.【詳解】把直線化為，，恒過定點，當圓被直線l截得的弦長的最小值時，圓心到定點的距離為，圓心到直線距離最大值時即為，此時直線弦長為最小值.故答案為：.11．在棱長為2的正方體，M，N，Q，P分別為棱，，，的中點，三棱錐的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為___________.【答案】【分析】由正方體性質(zhì)確定三棱錐的性質(zhì)，從而確定其外接球球心所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半徑得表面積．【詳解】如圖，取中點，，由正方體性質(zhì)知平面，由已知是等腰直角三角形，是斜邊，則三棱錐的外接球球心在上，連接，由平面知，同理，是直角梯形，，，，設(shè)外接球半徑為，則，在直角三角形中，，解得．所以球表面積為．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求三棱錐外接球的表面積，解題關(guān)鍵是找到外接球的球心，一般外接球球心必在過三棱錐各面外心且與此面垂直的直線上．確定球心位置后通過直角梯形與直角三角形求得半徑．12．如圖，已知是橢圓的左焦點，為橢圓的下頂點，點是橢圓上任意一點，以為直徑作圓，射線與圓交于點，則的取值范圍為______.【答案】【分析】由題意求得點軌跡，根據(jù)軌跡判斷計算的取值范圍.【詳解】為橢圓右焦點，連接，如圖所示：分別為的中點，，為直徑，，，所以點軌跡是以為圓心2為半徑的圓，在圓內(nèi)，所以的最小值為，最大值為，即的取值范圍為.故答案為：二、單選題13．設(shè)為空間中的四個不同點，則“中有三點在同一條直線上”是“在同一個平面上”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【分析】由公理2的推論即可得到答案.【詳解】由公理2的推論:過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面,可得在同一平面,故充分條件成立;由公理2的推論：過兩條平行直線,有且只有一個平面,可得,當時,在同一個平面上,但中無三點共線,故必要條件不成立;故選:A【點睛】本題考查點線面的位置關(guān)系和充分必要條件的判斷,重點考查公理2及其推論;屬于中檔題;公理2的三個推論：經(jīng)過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面;經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面;經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面;14．若點和點分別為橢圓的中心和右焦點，點為橢圓上的任意一點，則的最小值為A． B． C． D．1【答案】B【詳解】試題分析：設(shè)點，所以，由此可得，，所以的最小值為.【解析】向量數(shù)量積以及二次函數(shù)最值．15．已知曲線C：，命題p：曲線C僅過一個橫坐標與縱坐標都是整數(shù)的點；命題q：曲線C上的點到原點的最大距離是2.則下列說法正確的是（

）A．p、q都是真命題 B．p是真命題，q是假命題C．p是假命題，q是真命題 D．p、q都是假命題【答案】A【分析】結(jié)合均值不等式得到當且僅當時，等號成立，以及，從而可判斷命題q的真假性，檢驗點是否在曲線上即可判斷命題p的真假性.【詳解】因為，當且僅當時，等號成立，所以，因此曲線C所圍成的區(qū)域的在圓上或者內(nèi)部，即，故曲線C上的點到原點的最大距離是2，因此命題q為真命題，圓上以及內(nèi)部橫坐標與縱坐標都是整數(shù)的點有，其中點顯然在曲線C上，但是不在曲線上，故曲線C僅過一個橫坐標與縱坐標都是整數(shù)的點，因此命題p為真命題，故選：A.16．四面體的所有棱長都為1，棱平面，則四面體上的所有點在平面內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)A、B、C、D在平面內(nèi)的射影依次為，分別討論在兩側(cè)、其中一點在上、在同側(cè)時的投影圖形，其中在同側(cè)時，時面積最小、平面時面積最大，結(jié)合正四面體的幾何性質(zhì)及投影性質(zhì)即可求面積.【詳解】四面體的所有棱長都為1，則為正四面體，由正四面體的性質(zhì)可知,正四面體的側(cè)面上的高為，正四面體的高.∵棱平面，設(shè)A、B、C、D在平面內(nèi)的射影依次為，則，i.當在兩側(cè)時，構(gòu)成的圖形即為四邊形，此時，，即，則所求面積即；ii.當在同側(cè)或其中一點在上時，構(gòu)成的圖形即為，在的高上（或在的高上，由對稱性，只研究其中一種即可），其中①當平面時，；②當平面時，；③當時，為CD到面的距離，即.故，則所求面積即.綜上，四面體上的所有點在平面內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是.故選：D三、解答題17．已知圓C經(jīng)過、兩點，且圓心在直線上．（1）求圓C的方程；（2）若直線經(jīng)過點且與圓C相切，求直線的方程．【答案】（１）；（２）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)圓心在弦的垂直平分線上，先求出弦的垂直平分線的方程與聯(lián)立可求得圓心坐標，再用兩點間的距離公式求得半徑，進而求得圓的方程；（2）當直線斜率不存在時，與圓相切，方程為；當直線斜率存在時，設(shè)斜率為，寫出其點斜式方程，利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解出的值.試題解析：（1）依題意知線段的中點坐標是，直線的斜率為，故線段的中垂線方程是即，解方程組得，即圓心的坐標為，圓的半徑，故圓的方程是（2）若直線斜率不存在，則直線方程是，與圓相離，不合題意；若直線斜率存在，可設(shè)直線方程是，即，因為直線與圓相切，所以有，解得或．所以直線的方程是或.18．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，、分別為棱、的中點.(1)求證：直線平面；(2)若直線與平面所成的角為45°，直線與平面所成角為30°，求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)即可證明；（2）證明平面，平面，進而結(jié)合已知條件證明為等腰直角三角形，，再根據(jù)二面角的概念求解即可.【詳解】（1）證明：因為、分別為棱、的中點.所以，在中，，因為平面，平面，所以，直線平面（2）解：因為平面平面，平面平面，平面,所以平面，所以，是直線與平面所成的角，因為直線與平面所成的角為45°，所以，，所以因為平面，平面，所以，，因為，，平面，所以平面，所以，是直線與平面所成角，因為直線與平面所成角為30°，所以，所以，不妨設(shè)，則，所以，為等腰直角三角形，因為，，所以是二面角的平面角，所以二面角的大小為19．如圖，、是海岸線、上的兩個碼頭，海中小島有碼頭到海岸線、的距離分別為2km、.測得，.以點為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系.碼頭在第一象限，且三個碼頭、、均在一條航線上.(1)求碼頭點的坐標；(2)海中有一處景點（設(shè)點在平面內(nèi)，，且），游輪無法靠近.求游輪在水上沿旅游線航行時離景點最近的點的坐標.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件，寫出直線ON方程，再求解Q點坐標.（2）由直線AQ的方程求解B點坐標，進而求解AB的直線方程.由（1）知C為垂足，可聯(lián)立直線AB與PC方程，即可求解C點坐標.【詳解】（1）由已知得，，直線ON方程：設(shè)，由及圖，得，.（2）直線AQ的方程為即由，解得，即則直線AB方程，點P到直線AB的垂直距離最近，則垂足為C，因為，且，，，則直線PC方程為聯(lián)立，解得輪在水上沿旅游線航行時離景點最近的點的坐標為.20．如圖，在長方體中，，，點在棱上運動.(1)證明：；(2)設(shè)為棱的中點，在棱上是否存在一點，使得平面，若存在，求的值，若不存在，說明理由；(3)求直線與平面所成角的取值范圍.【答案】(1)證明詳見解析(2)存在，且(3)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得.（2）根據(jù)向量法列方程，從而求得.（3）利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值，結(jié)合不等式的性質(zhì)求得所成角的取值范圍.【詳解】（1）建立如圖所示空間直角坐標系，，設(shè)，則，，所以.（2）若是的中點，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)，，若平面，平面，則，所以是的中點，所以.（3），設(shè)，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，由于，所以，所以.21．已知橢圓，過動點的直線交軸于點，交于點、（在第一象限），且是線段的中點，過點作軸的垂線交于另一點，延長交于點.設(shè)、.(1)若點的坐標為，求的周長；(2)設(shè)直線的斜率為，的斜率為，證明：為定值；(3)求直線傾斜角的最小值.【答案】(1)8(2)證明見解析(3)直線傾斜角的最小值為【分析】（1）利用橢圓的標準方程和點的坐標，結(jié)合題中條件可得為焦點三角形，周長為；（2）設(shè)，由，可得，，求出直線的斜率，的斜率，推出為定值．（3）設(shè)，，，．直線的方程為直線的方程為，聯(lián)立方程橢圓與橢圓方程，利用韋達定理，求解坐標，然后求解的斜率的表達式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直線傾斜角的最小值．【詳解】（1）橢圓，由方