理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程

1.3.4理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程1.3.4.1理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程推導(dǎo)原理：牛頓第二定律：

在微元六面體的中心有一點(diǎn)，該點(diǎn)流體的密度為，壓力為，微元六面體的邊長為對(duì)微元六面體進(jìn)行受力分析。面上中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為；面上中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為；

在x軸方向上進(jìn)行受力分析：（1）表面力：則x方向的凈表面力(2)在x軸方向上的質(zhì)量力為：式中X為單位質(zhì)量力在x軸方向上的分量。(3)在x方向的合外力代數(shù)和應(yīng)為質(zhì)量與分加速度乘積：同理在y，z軸方向上也有：得或即和所以有：

這就是理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程，即歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程。因此，得到：歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程寫成：寫成矢量表達(dá)式為：式中哈密頓算子：1.3.4.2歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程的求解歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程建立了作用在理想流體上的力與流體運(yùn)動(dòng)加速度之間的關(guān)系，它是研究理想流體各種運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)，對(duì)可壓縮及不可壓縮理想流體的穩(wěn)定流動(dòng)都是適用的。一般情況下，作用在流體上的單位質(zhì)量力X、Y、Z是已知的，對(duì)理想不可壓縮流體密度為常數(shù)，三個(gè)微分方程中未知數(shù)有四個(gè)，即ux、uy、uz和p，因此需要加上連續(xù)性方程，方程是可解的。對(duì)于可壓縮流體，密度是變量，需要再加上氣體狀態(tài)方程式，方程組理論上也是可以求解的。

然而，要具體確定方程組的解，還要給出起始條件和邊界條件。1.3.5理想流體的柏努利方程式（導(dǎo)出條件1）（導(dǎo)出條件2）1.3.5.1理想流體穩(wěn)定流動(dòng)沿流線（微細(xì)流）的積分條件：穩(wěn)定流動(dòng)：理想流體：將歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程寫成：

因?yàn)橹豢紤]穩(wěn)定流動(dòng)，所以上式中的p，ux，uy，uz都只是坐標(biāo)x，y，z的函數(shù)，而與時(shí)間無關(guān)。將上面的三式分別乘以，累次相加。首先分析x方向的動(dòng)能：由流線方程：

有：同理：設(shè)存在這樣一個(gè)函數(shù)（力函數(shù)），滿足：那么：

……柏努利積分式則積分：和

不可壓縮：只有重力的作用：

由柏努利積分式：

得或?qū)τ诹骶€上任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)1和2來說，有：式中各項(xiàng)分別為單位質(zhì)量的流體具有的位能，靜壓能及動(dòng)能，()。（導(dǎo)出條件3）（導(dǎo)出條件4）1.3.5.2理想流體穩(wěn)定流動(dòng)總流的柏努利方程任何穩(wěn)定流動(dòng)的總流，都可以看成是無窮多微小流束的總和。在總流中某一微小流束的不同有效截面上的物理參數(shù)不一定相同。（1）均勻流與緩變流均勻流：如果有效斷面或平均流速沿程不變，且流線為平行直線這樣的穩(wěn)定流稱為均勻流。非均勻流：如果有效斷面沿程變化，或者有效斷面不變，但各斷面上速度分布改變，這種流動(dòng)稱為非均勻流。緩變流：凡有效斷面上流線間夾角很小，流線曲率半經(jīng)無限大，即流線趨近于平行線的流動(dòng)稱緩變流。急變流：不符合緩變流條件的流動(dòng)為急變流。（2）理想流體穩(wěn)定流動(dòng)總流的柏努利方程

現(xiàn)在討論如何把微小流束柏努利方程應(yīng)用于總流的緩變流斷面，從而建立理想流體總流的柏努利方程。在任一微小流束上某一斷面的流體質(zhì)點(diǎn)具有的單位重量流體機(jī)械能為：

以

的重量流量通過微小流束有效斷面的流體總能量為：單位時(shí)間內(nèi)通過總流有效斷面流體的總能量為：上式除以通過總流有效斷面流體重量流量，則得給定斷面流體平均單位能量：如果所取斷面符合緩變流條件時(shí)，有效斷面上各點(diǎn)為一常數(shù)，并由連續(xù)性方程，上式變?yōu)椋旱茫?/p>

上式中前兩項(xiàng)為總流在有效斷面上單位重量流體的平均位能和壓力能，第三項(xiàng)為單位重量流體的平均動(dòng)能，單位為流體柱高。

為了方程的方便應(yīng)用，現(xiàn)在用斷面平均流速v代替真實(shí)速度u，并引入動(dòng)能修正系數(shù)α。

動(dòng)能修正系數(shù)α是由于斷面上速度分布不均勻而引起的，不均勻性愈大其值愈大。在紊流管道中α＝1.05~1.10；圓管層流運(yùn)動(dòng)α＝2。實(shí)際工程計(jì)算一般取α＝1。

對(duì)于管道流動(dòng)，取如圖基準(zhǔn)面，列出1－1和2－2截面的總流柏努利方程：式中：α1，α2分別為兩截面處的動(dòng)能修正系數(shù)；v1，v2分別為兩截面處的平均流速，m/s。

—單位重量流體具有的位能，m流體柱；

—單位重量流體具有的靜壓能，m流體柱；

—單位重量流體具有的動(dòng)能，m流體柱。（1）（2）（3）對(duì)于式（3）：1.3.5.3柏努利方程式的解釋

柏努利方程式中各項(xiàng)分別表示微細(xì)流中某一截面上單位重量流體所具有的的靜壓能、位能、動(dòng)能。

它們的和是一常數(shù)。柏努利方程是機(jī)械能守恒定律在流體力學(xué)中的具體體現(xiàn)。(1)物理意義

(2)幾何意義圖示能量分布圖：

為單位重量流體所具有的動(dòng)能，又稱速度壓頭或動(dòng)壓頭，是單位重量流體的動(dòng)能所產(chǎn)生的流體柱的高度。其中：z為單位重量流體所具有的位能，又稱幾何壓頭或位壓頭；為單位重量流體所具有的靜壓能，又稱靜壓頭，是單位重量流體的壓力能產(chǎn)生的流體柱的高度；

(3)柏努利方程還說明機(jī)械能是可以相互轉(zhuǎn)化的。1-1截面→2-2截面z2<z1則柏努利方程的應(yīng)用條件：1）單流體，z軸的方向向上為正；2）截面選擇在緩變截面上；3）流體為理想流體；4）流體為穩(wěn)定流動(dòng)；5）流體為不壓縮性流體；6）流體只受到重力作用。1.3.6實(shí)際流體（粘性流體）的柏努利方程式

實(shí)際流體都具有粘性，使得流體流動(dòng)時(shí)需要消耗一部分機(jī)械能，以克服由于粘性而產(chǎn)生的切向阻力。因而在各截面上單位重量流體的能量便不能保持一定，所以對(duì)于粘性流體的微細(xì)流：

式中的hw是為克服截面1－1與2－2之間的阻力，單位重量的流體所消耗的機(jī)械能，稱為壓頭損失。

對(duì)于不可壓縮的粘性流體的微細(xì)流，作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)其柏努利方程式應(yīng)改寫成為：1.3.6.1微細(xì)流

對(duì)于粘性流體的總流，作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)的柏努利方程式為：1.3.6.2總流

對(duì)于圓形管道中的穩(wěn)定緩變流：

層流時(shí)＝2；湍流時(shí)＝1.05～1.10；通常工程上取=1為截面的平均流速；為動(dòng)能修正系數(shù)，通常由實(shí)驗(yàn)確定。

式中：所以：

如果管道中裝設(shè)有對(duì)流體作功的機(jī)械，能夠使管道中的流體的機(jī)械能增加。如果單位重量的流體所獲得的外加有效機(jī)械能為HeJ/m或m，則柏努利方程式可寫為：柏努利方程的三種形式：——以單位重量流體為基準(zhǔn)，單位為m流體柱或J/N?！詥挝毁|(zhì)量流體為基準(zhǔn)，單位為m2/s2或J/kg?！詥挝惑w積流體為基準(zhǔn)，單位為Pa或J/m3。例題：如圖所示，有一開口大容器的出水管管徑為d=10cm，當(dāng)水龍頭關(guān)閉時(shí)壓力表讀數(shù)為49050Pa（表壓），水龍頭開啟后壓力表讀數(shù)降至19620Pa（表壓）。如果水流動(dòng)時(shí)的總能量損失為4905Pa，而上水位保持不變，試求通過管路的水流流量。

解：設(shè)p1為表壓強(qiáng)。在水管關(guān)閉時(shí)，以1-1為基準(zhǔn)面列1-1截面和2-2截面的柏努利方程：

p1關(guān)＋pa

＝pa＋ρgH

所以p1關(guān)=ρgH=49050Pa

當(dāng)水管開啟時(shí)，以1-1為基準(zhǔn)面列1-1截面和2-2截面的柏努利方程：式中ρg