從平行公理說(shuō)起

從平行公理說(shuō)起微分幾何的歷史和現(xiàn)狀簡(jiǎn)介幾何的歷史與現(xiàn)狀古代人們?cè)谏a(chǎn)活動(dòng)中，由于丈量土地，設(shè)計(jì)房屋等，逐步有了幾何圖形的概念。古希臘幾何學(xué)家歐幾里得(Euclid)創(chuàng)立的歐氏幾何，影響了人類(lèi)幾千年的歷史。通過(guò)后人的不斷完善，建立了嚴(yán)密的公理體系。十六世紀(jì)黎曼(Riemann)首先對(duì)歐氏幾何的平行公理提出質(zhì)疑，建立了黎曼幾何。隨后又有了羅拔切夫斯基(Lobachevsky)幾何，也叫雙曲幾何。自從發(fā)明了微積分以后，在幾何中應(yīng)用微積分的工具，產(chǎn)生了微分幾何。上世紀(jì)初，愛(ài)因斯坦(Einstein)創(chuàng)立了相對(duì)論。由于理論物理研究的需要，微分幾何得到了迅猛的發(fā)展。當(dāng)前，微分幾何是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中一個(gè)非?；钴S的分支。它與微分方程、拓?fù)?、分析等其他?shù)學(xué)分支學(xué)科有著密切的聯(lián)系。幾何的歷史與現(xiàn)狀平行公理歐幾里德在他的名著《幾何原本》中，以5個(gè)基本假設(shè)為基礎(chǔ)，把當(dāng)時(shí)人類(lèi)已經(jīng)掌握的紛雜的幾何知識(shí)變成一個(gè)演繹系統(tǒng)，使用邏輯推理方法，一共推出了465個(gè)定理。這個(gè)系統(tǒng)所依據(jù)的只是幾個(gè)雖然沒(méi)有加以證明，但是看起來(lái)相當(dāng)明顯，并且合乎人類(lèi)經(jīng)驗(yàn)的假設(shè)。這幾個(gè)“不證自明”的事實(shí)叫做公理(axioms)。平行公理這些公理一共有五個(gè)：1.兩點(diǎn)間必可連一條直線；2.直線可以任意延長(zhǎng)；

3.已知圓心及半徑可作一圓；

4.凡直角皆相等；5.兩直線AB，CD

與另一直線交于E，F(xiàn)，若，則兩直線在BD側(cè)相交。平行公理

第五個(gè)公理就是有名的平行公理。它不像前面的四個(gè)公理那么自明，亦即那么簡(jiǎn)單明了，那么眾所公認(rèn)。雖然前人并不懷疑歐氏幾何描述物理空間的真實(shí)性，但從有《原本》開(kāi)始，大家就懷疑平行公理是否可以由其他的四個(gè)公理推出，或者可以用另一個(gè)更不證自明的公理來(lái)代替。

平行公理

平行公理通常以如下的等價(jià)形式出現(xiàn)：過(guò)直線外一點(diǎn)有唯一的一條直線與其平行。所謂平行就是永不相交的意思，這就牽涉到“無(wú)窮”——一個(gè)不很自明、無(wú)法親身體驗(yàn)的觀念。歐幾里得不采取后一種形式的平行公理，也許也是要使平行公理顯得更自明的緣故。平行公理這個(gè)平行公理在所有公理之中是最不明顯的，所以數(shù)學(xué)家或是對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的人便想從前面的四條公理去推得第五條平行公理。這努力延持了兩千年，后來(lái)證明這是不可能的，于是有了非歐幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)。這在人類(lèi)思想史上是非常特別、有意思的事情，是西方數(shù)學(xué)和中國(guó)數(shù)學(xué)不同的地方。平行公理

下文引自國(guó)際微分幾何學(xué)大師陳省身先生的一篇文章，原載于科學(xué)月刊第十八卷第六期。

平行公理“《九章算經(jīng)》是中國(guó)古代最有名的數(shù)學(xué)書(shū)，一共九章，第九章談的是所謂勾股。勾、股就是直角三角形中較短的兩條邊，一個(gè)叫做勾，另一個(gè)叫做股，而最長(zhǎng)的那條邊便稱(chēng)為弦。勾股定理也就是畢氏定理，所以它的發(fā)現(xiàn)，中國(guó)人也應(yīng)該有份。但是在中國(guó)古代的幾何中，我無(wú)法找到類(lèi)似三角形三內(nèi)角和等于180°的結(jié)論，這是中國(guó)數(shù)學(xué)中沒(méi)有的結(jié)果?！逼叫泄怼耙虼?，得之于國(guó)外數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)和有機(jī)會(huì)看中國(guó)數(shù)學(xué)的書(shū)，我覺(jué)得中國(guó)數(shù)學(xué)都偏應(yīng)用；講得過(guò)分一點(diǎn)，甚至可以說(shuō)中國(guó)數(shù)學(xué)沒(méi)有純粹數(shù)學(xué)，都是應(yīng)用數(shù)學(xué)。這是中國(guó)科學(xué)的一個(gè)缺點(diǎn)，這個(gè)缺點(diǎn)到現(xiàn)在還存在，大家都講應(yīng)用，不注意基礎(chǔ)科學(xué)。當(dāng)然應(yīng)用很要緊，但是許多科學(xué)領(lǐng)域基本的發(fā)現(xiàn)都是在基礎(chǔ)科學(xué)?！鼻蛎鎺缀瓮黄茪W幾里德平行公理的束縛，如果我們將平行公理?yè)Q成

我們就得到球面幾何。在這種幾何體系中，也滿(mǎn)足歐氏幾何的前四條公理。生活在地球上的人們，將大地看作平面。大地上的直線，是地球表面上連接兩點(diǎn)的最短曲線，就像筆直的鋼軌。如果從宇宙空間來(lái)看，其實(shí)是地球表面的大圓，即過(guò)球心的平面與球面的交線。5.過(guò)直線外一點(diǎn)沒(méi)有直線與已給直線平行球面幾何

在球面幾何中，的內(nèi)角和大于事實(shí)上，有下面的公式：式中為球面半徑，表示

的面積。非歐幾何

如果我們將平行公理?yè)Q成：

我們就得到非歐幾何(羅拔切夫斯基幾何)，也叫雙曲幾何。在這種幾何體系中，也滿(mǎn)足歐氏幾何的前四條公理。5.過(guò)直線外一點(diǎn)有兩條直線與已給直線平行非歐幾何非歐幾何的基本模型是龐加萊(Poincare)雙曲平面?？紤]右手直角坐標(biāo)平面的上半平面該平面上的“直線”是圓心在

軸上的半圓

以及垂直于

軸的直線非歐幾何

在非歐幾何中，

的內(nèi)角和小于這時(shí)，有下面的公式：式中為雙曲平面的曲率，表示

的面積。Gauss-Bonnet公式歐氏幾何、非歐幾何和球面幾何的多邊形外角和可以用Gauss-Bonnet公式統(tǒng)一寫(xiě)成：式中K為曲率，為多邊形內(nèi)部的區(qū)域，dA為面積元素，L為邊界曲線的長(zhǎng)度，ds為邊界曲線弧長(zhǎng)的微分，為邊界曲線的測(cè)地曲率，為第i個(gè)外角。解析幾何歐幾里得幾何之后，第二個(gè)重要的發(fā)展是坐標(biāo)幾何。法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒(Descartes)為了研究幾何，引進(jìn)了坐標(biāo)的概念，因此可用解析的方法來(lái)處理幾何的問(wèn)題。通過(guò)建立坐標(biāo)系，將平面上或空間中的點(diǎn)與有序數(shù)組或建立起一一對(duì)應(yīng)，某些圖形作為點(diǎn)集其坐標(biāo)滿(mǎn)足某個(gè)方程，從而可以使用代數(shù)的知識(shí)作為研究幾何的有力工具。解析幾何

有了坐標(biāo)系之后，使可研究的圖形的范圍擴(kuò)大，除了直線的一次方程式，或者圓周的二次方程式，我們還可以取任意的方程，討論所有其坐標(biāo)

適合該方程的點(diǎn)的軌跡。因此許多用幾何的方法很難處理的曲線，在解析化之后，都可從表示它的方程式中得到有關(guān)的幾何性質(zhì)。解析幾何同時(shí)，研究的圖形不再局限在二維的平面上，可推廣至高維的空間。解析幾何把幾何研究的范圍大大地?cái)U(kuò)大了，而科學(xué)發(fā)展的基本要求，就是要擴(kuò)大研究的范圍，了解更多的情形。笛卡兒的解析幾何，便達(dá)到了這個(gè)目的，使幾何學(xué)邁入一個(gè)新的階段。群的觀念

第三個(gè)發(fā)展是群(group)的觀念在幾何中的應(yīng)用。群是數(shù)學(xué)中一個(gè)基本的概念。在一個(gè)集合G中如果定義了一個(gè)運(yùn)算(稱(chēng)為乘法)

滿(mǎn)足下列條件：

1.結(jié)合律：

2.有單位元：使得

3.有逆元：使得則稱(chēng)G是一個(gè)群。群的觀念歐氏幾何研究的是幾何對(duì)象經(jīng)剛體運(yùn)動(dòng)群后不變的幾何性質(zhì)。這個(gè)觀念立刻便有了重要的發(fā)展。既然可以討論剛體運(yùn)動(dòng)群，當(dāng)然還可以討論更大的群，看是不是有些性質(zhì)不但在剛體運(yùn)動(dòng)群下不變，在更大的群之下也是不變的。歷史上最主要的例子是射影幾何。什么是射影空間

夜晚絢麗的星空，星星組成各種各樣的圖形。

它們?cè)诳臻g的位置可能是這樣的。什么是射影空間我們看到的牛郎星。什么是射影空間

所謂射影空間，就是將空間中過(guò)原點(diǎn)的直線看作一個(gè)“點(diǎn)”，由這樣的“點(diǎn)”構(gòu)成的空間叫做射影空間。射影幾何就是研究由這樣的點(diǎn)構(gòu)成的幾何圖形的性質(zhì)。例如，空間中過(guò)原點(diǎn)的平面構(gòu)成了射影空間中的“直線”。群的觀念

研究幾何對(duì)象在射影群之下不變的性質(zhì)是所謂射影幾何。射影幾何的發(fā)展，把幾何的觀念推廣了，不只是有普通的歐氏幾何，也可以討論在射影群作用下不變的性質(zhì)。有許多經(jīng)運(yùn)動(dòng)群后不變的性質(zhì)，在射影變換后是變了的，像距離、角度，但是還有些更一般的性質(zhì)在射影下是不變的，像平行、相交。這些性質(zhì)能經(jīng)過(guò)比運(yùn)動(dòng)群大一點(diǎn)的射影群作用不變，在幾何上自有其重要的意義。

群的觀念在幾何學(xué)的發(fā)展之中，有許許多多幾何學(xué)，像歐氏幾何學(xué)、射影幾何學(xué)，及其他種種幾何學(xué)，自然就要有一個(gè)人把它綜合起來(lái)，那就是德國(guó)的數(shù)學(xué)家克萊恩(Klein)。群的觀念

他在二十二歲的時(shí)候，前往德國(guó)小城Erlangen的一所大學(xué)任教。新教授上任必須做一次公開(kāi)演講，而他講演的結(jié)果

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Erlangenprogram(愛(ài)爾朗根綱領(lǐng))，就是這個(gè)新幾何學(xué)。群的觀念

他把幾何學(xué)建立在群的觀念上：一個(gè)空間有一個(gè)變換群，允許把空間的圖形從這個(gè)位置移到另一個(gè)位置。

因此有了一個(gè)群之后，便有一種幾何，它研究所有經(jīng)過(guò)這個(gè)變換群不變的幾何性質(zhì)。這個(gè)群可以是歐幾里得運(yùn)動(dòng)群，也可以是射影變換群，或者其他種種的群。因?yàn)槿旱倪x擇不同，也就得到許多不同的幾何學(xué)，其中包括非歐幾何學(xué)。微分幾何與黎曼幾何

在這階段前，還有黎曼(Riemann)幾何的發(fā)展，這是笛卡兒坐標(biāo)幾何的自然推廣。在m維空間中，一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為d,則即這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方是坐標(biāo)的一個(gè)二次型。而黎曼不但用坐標(biāo)，他還用坐標(biāo)的微分，于是硬把笛卡兒幾何局部化。微分幾何與黎曼幾何因此黎曼幾何可說(shuō)是一個(gè)局部化的幾何。黎曼幾何主要建構(gòu)在弧長(zhǎng)s上，弧長(zhǎng)微分的平方等于坐標(biāo)的一個(gè)二次微分式，即。用弧長(zhǎng)即可建立一個(gè)幾何，因?yàn)榧热挥辛薲s，便可計(jì)算連接兩點(diǎn)的曲線的長(zhǎng)度，也就是弧長(zhǎng)?！皽y(cè)地線”(geodesic)是指在兩點(diǎn)間使弧長(zhǎng)最短的那條曲線，它是平面上直線的推廣。有了弧長(zhǎng)后，便可以有面積、角度及其他種種概念。微分幾何與黎曼幾何

黎曼幾何最初在二維的情形是高斯(Gauss)發(fā)展的，他在1827年寫(xiě)了一本差不多五十頁(yè)的小冊(cè)子，研究在二維(即曲面)的情形及這樣的之下，所能夠發(fā)展的幾何性質(zhì)。他的目的是為了應(yīng)用，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的德國(guó)政府要他主持一個(gè)測(cè)量工作，為了給這個(gè)測(cè)量工作一個(gè)理論甚礎(chǔ)，于是高斯寫(xiě)下了這篇在微分幾何上最重要的論文，微分幾何自此誕生。以前關(guān)于把微積分用在幾何上的問(wèn)題，只能說(shuō)是微積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用，在高斯這篇文章之后，微分幾何便成了一門(mén)獨(dú)立的學(xué)問(wèn)，就是從得到一切的幾何性質(zhì)。微分幾何與黎曼幾何

1854年，黎曼在為取得大學(xué)教書(shū)資格的公開(kāi)演講上，發(fā)表了黎曼幾何的第一篇論文。黎曼幾何并不像其他我們所談的歐幾里得幾何，或者克萊恩的Erlangenprogram幾何，或者是射影幾何，需要整個(gè)的空間。在黎曼幾何的情形之下，我們只需要空間的一部分，因?yàn)?/p>

有意義，我們便可量弧長(zhǎng)、面積、角度等幾何性質(zhì)，不需要知道全部的空間。也就是說(shuō)，在這樣的一個(gè)小塊里，便可發(fā)展全部的幾何性質(zhì)，這是黎曼幾何革命性的觀念，使幾何局部化，這件事和物理上的場(chǎng)論是完全符合的。微分幾何與黎曼幾何

真正使黎曼幾何受到重視的是愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論。大致說(shuō)起來(lái)，愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論是要把物理幾何化，也就是說(shuō)把物理的性質(zhì)變?yōu)閹缀蔚男再|(zhì)，因此黎曼幾何就成為理論物理學(xué)家一定要念的一門(mén)數(shù)學(xué)。到了黎曼空間一樣有曲率的概念，只是因?yàn)槔杪臻g是高維的，所以它的曲率概念就變得相當(dāng)復(fù)雜。在愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中的基本公式里，大致說(shuō)起來(lái)，物理的力是一個(gè)曲率；數(shù)學(xué)家講曲率和物理學(xué)家講力、位勢(shì)(potential)、速度，是完全可以把它們連在一起的。聯(lián)絡(luò)、向量叢、規(guī)范場(chǎng)論在黎曼幾何中，Levi-Civita平行性是一個(gè)重要的觀念。Levi-Civita

認(rèn)為在黎曼幾何(包括廣義相對(duì)論里的其中一種，稱(chēng)為洛倫茲幾何)都有一個(gè)很基本的性質(zhì)，那就是平行性；在這個(gè)時(shí)候，空間不再是只用一個(gè)坐標(biāo)系就能表示的空間，而是需要很多不同的坐標(biāo)系才能表現(xiàn)的“流形”(manifold)，這樣又把幾何研究的空間推廣了。什么是流形？所謂流形，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是將n維歐氏空間中的一些開(kāi)集通過(guò)適當(dāng)?shù)姆绞健肮饣钡卣澈掀饋?lái)。由此得到的幾何對(duì)象，稱(chēng)為n維流形。以球面為例，通過(guò)球極射影，除了北極N之外，球面上每一點(diǎn)P

一一地對(duì)應(yīng)于平面上的一點(diǎn)。同樣地，在北極N

放上一個(gè)平行的平面，從南極S向此平面作球極射影，P

點(diǎn)對(duì)應(yīng)到平面上的點(diǎn)。將平面上的點(diǎn)與平面上的點(diǎn)按照這種方式粘合起來(lái)，就得到一個(gè)流形——球面。聯(lián)絡(luò)、向量叢、規(guī)范場(chǎng)論在流形上，經(jīng)常要作坐標(biāo)變換，就好比現(xiàn)代人，不只穿一件衣服，要常常換。也許有些人不太能接受這