高數(shù) 多元函數(shù)微分學

第九章多元函數(shù)微分學第一節(jié)多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)

一、多元函數(shù)的概念二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)例1

圓柱體的體積和它的底半徑,高之間的關系為,其中、、是三個變量,當變量、在一定范圍（，）內(nèi)取定一對數(shù)值時,根據(jù)給定的關系，就有一個確定的值與之對應.1.引例一、多元函數(shù)的概念

2.二元函數(shù)的定義定義1

設是三個變量.如果當變量在一定范圍內(nèi)任意取定一對數(shù)值時,變量按照一定的法則總有確定的數(shù)值與它們對應,則稱變量是變量的二元函數(shù),記為其中稱為自變量,稱為因變量.自變量的取值范圍稱為函數(shù)的定義域．二元函數(shù)在點所取得的函數(shù)值記為，或例2設求解3.二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)的定義域較復雜，它可以是一個點，也可能是一條曲線或幾條曲線所圍成的部分平面，甚至可能是整個平面．整個平面或由曲線圍成的部分平面稱為區(qū)域；圍成區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界;不包括邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域，連同邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉區(qū)域．以點為中心，為半徑的圓內(nèi)所有點的集合稱為點的鄰域，記作．如果一個區(qū)域可以被包含在原點的某個鄰域內(nèi)，則稱該區(qū)域為有界區(qū)域，否則稱為無界區(qū)域．開區(qū)域如:閉區(qū)域如:

例3

求下列函數(shù)的定義域，并畫出的圖形．

(1)

解

要使函數(shù)有意義，應有即

定義域為有界開區(qū)域

（2）

解：要使函數(shù)有意義，應有

即

定義域為無界閉區(qū)域

設是二元函數(shù)的定義域內(nèi)的任一點,則相應的函數(shù)值為有序數(shù)組確定了空間一點,稱點集為二元函數(shù)的圖形.

二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.4.二元函數(shù)的幾何意義當1．二元函數(shù)的極限鄰域內(nèi)有定義（點定義2

設二元函數(shù)在點可以除外）,如果當點沿任意路徑趨于點時,函數(shù)趨于常數(shù),那么稱為函數(shù)的某一總無限AA時的極限，記為或二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)說明：（1）定義中的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當動點從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點時，函數(shù)都趨于同一常數(shù).（2）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號性、夾逼準則、無窮小、等價無窮小代換等。xyoP0例4

求．解例5

求極限

解:其中例6

證明不存在．證：其值隨k的不同而變化，故極限不存在．確定極限不存在的方法：（1）令點

沿趨向于極限值與有關,則在點處極限不存在;，若（2）找出兩種不同趨近方式，使存在，但兩者不相等，則此時在點處極限不存在．2．二元函數(shù)的連續(xù)性定義3

設函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi),則稱函數(shù)在點如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點都連續(xù),則在區(qū)域如果函數(shù)在點不連續(xù)，則稱點是函數(shù)的間斷點.有定義.如果內(nèi)連續(xù).處連續(xù).稱函數(shù)例7

求．解因為函數(shù)是初等函數(shù),且點在該函數(shù)的定義域內(nèi),故例8

討論函數(shù)

的連續(xù)性．時，為初等函數(shù),故函數(shù)在點處連續(xù).當解當不存在,所以函數(shù)在點處不連續(xù)，即原點是函數(shù)的間斷點．時,由例5知3．有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1（最值定理）在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)，在該區(qū)域上一定有最大值和最小值．性質(zhì)2（介值定理）在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)，必能取得介于函數(shù)的最大值與最小值之間的任何值．第二節(jié)偏導數(shù)

一、偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)1.偏導數(shù)的定義

．在點定義

設函數(shù)的某鄰域內(nèi)有定義,,而在取得增量時,函數(shù)相應取得如果極限存在,在點處對或增量(稱為偏增量):固定的偏導數(shù),記為則稱此極限值為函數(shù)一、偏導數(shù)

類似地,函數(shù)在點處對記為

或偏導數(shù)定義為:的2.偏導數(shù)的求法例1

求z=x2+3xy+y2在點(1,2)處的偏導數(shù).解

把

y看成常數(shù),得把

x看成常數(shù),得例2

求函數(shù)的偏導數(shù)．解:例3

設,證明:證

因為

所以例4

已知理想氣體的狀態(tài)方程PV=RT(R為常數(shù).)證:

因為求證:所以=1偏導數(shù)的記號是一個整體,不能看成微商,否則導致運算錯誤．例5求在點(0,0)處的偏導數(shù).解:=0

注意:

二元函數(shù)在某點存在偏導數(shù),并不能保證函數(shù)在該點連續(xù),與一元函數(shù)可導必連續(xù)是不相同的．3.偏導數(shù)的幾何意義是曲面與平面的交線在點處的切線軸的斜率.

對是曲面與平面的交線在點處的切線軸的斜率.對二、高階偏導數(shù)函數(shù)它們都是的函數(shù),如果這兩個函的偏導數(shù)也存在,則稱它們的偏導數(shù)的二階偏導數(shù)．

數(shù)關于

是的二個偏導數(shù)四個二階偏導數(shù)二階混合偏導數(shù)

類似地,可定義三階、四階以至階偏導數(shù)，二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)，而和稱為函數(shù)的一階偏導數(shù)．例6

設

z=x3y23xy3xy+1,解:及

求

定理１如果函數(shù)的兩個二階混合偏導在區(qū)域內(nèi)連續(xù),則對任何有數(shù)即二階混合偏導數(shù)連續(xù)的條件下,混合偏導數(shù)與求導的次序無關,對更高階的偏導數(shù)也有類似的結論．例7

設函數(shù)，求．解

，

一、全微分的定義二、全微分在近似計算中的應用第三節(jié)全微分當邊長當記稱為函數(shù),則面積,寬為一矩形金屬片,長為分別有增量時,面積的增量為的全增量，

時,即,且時，是比高階的無窮小.則

1、引例一、全微分的定義2.全微分的定義定義設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義,如果在點處的全增量可表示為其中,則稱為函數(shù)在點處的全微分，記作dz由定義可知：(1)如果函數(shù)處的兩個偏導數(shù)在點處可微，則在該點、必都存在．(2)函數(shù)在點處可微,則函數(shù)在點處連續(xù)．(3)自變量的增量等于自變量的微分，即,則全微分又可記為注:若z=f(x,y)在(x,y)處,z=f(x,y)在(x,y)處可微分.都存在,不能保證在處,但它在處不可微分.例如：在點定理1(充分條件)

如果函數(shù)的兩個處存在且連續(xù),則函數(shù)處必可微．例１求函數(shù)的全微分．解偏導數(shù)在點注：關于二元函數(shù)全微分的定義及可微分的充分條件可以完全類似地推廣到三元和三元以上的多元函數(shù).解例２計算的全微分．例３

求

z=x4y3+2x在點(1,2)的全微分.解dz=34dx+12dy

極限,連續(xù),可導,可微的關系:極限連續(xù)可導可微++++偏導連續(xù)二*、全微分在近似計算中的應用設函數(shù)在點處可微，當分別取得增量時，從而解

可看作函數(shù)例4

求的近似值．在的函數(shù)值.取第四節(jié)多元復合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導數(shù)法

一、多元復合函數(shù)的偏導數(shù)二、隱函數(shù)偏導數(shù)三、復合函數(shù)、隱函數(shù)的高階偏導數(shù)定理(復合函數(shù)的偏導數(shù)),在對應點在點處有偏導數(shù),處有連續(xù)偏導數(shù),在點處的偏導數(shù)存在,且設函數(shù)函數(shù)則復合函數(shù)一、多元復合函數(shù)微分

例1

設

,而,求,解例2

設函數(shù),其中,求解,例3

設,而,求解例4

設,求解令，，則,1.一元隱函數(shù)求導公式方程

鏈式圖

兩邊對x求導，得：

二、隱函數(shù)微分法

方程

得

兩邊對x求導：

兩邊對y求導：

得

，

2.二元隱函數(shù)求導公式例5

求方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)解設,則例6

求由所確定的二元隱函數(shù)的偏導數(shù)．當解令,則時,有方程組決定的隱函數(shù)的導數(shù)解運用公式推導的方法。將所給方程的兩邊對

x

求導并移項:將所給方程的兩邊對

y

求導，用同樣方法得例2

設解：三、復合函數(shù)、隱函數(shù)的高階偏導數(shù)第五節(jié)偏導數(shù)在幾何上的應用

一、空間曲線的切線與法平面

二、曲面的切平面與法線

空間曲線

一、空間曲線的切線與法平面

對應于的一點

切線方程為向量是曲線在點處的切線的方向向量.若過點線在點且垂直于曲線在該點的切線的平面稱為曲的法平面，則法平面的方程為例1

求螺旋線上對應于點處的切線與法平面方程．解因為所以在處的切向量為切點坐標為于是，螺旋線在點處的切線方程為即即法平面方程為例2

求曲線處的切線與法平面方程．在點解曲線的參數(shù)方程為點的切線的方向向量為在所以曲線在點即處的切線方程為法平面方程為二、曲面的切平面與法線過曲面上的點的任何曲線在點稱該平面為曲面在點處的切平面,直于切平面的直線，稱為曲面在點處的法線.處的切線均在同一個平面上，且垂法線方程為曲面在點處的切平面方程為過點例3

求圓錐面在點處的切平面及法線方程．解設,因為因此，圓錐面在點即即處的切平面方程為法線方程例4

求球面上平行于平面的切平面方程．解令則切點為過的切平面方程為即因為它與平面平行,所以解得又因為點在球面上，所以有即解得,于是點的坐標為所求切平面方程為第六節(jié)二元函數(shù)的極值

一、二元函數(shù)的極值二、二元函數(shù)的最大值與最小值三、條件極值

一、二元函數(shù)的極值,點為極大值點,為極大值定義：設函數(shù)

在點定義，若該鄰域內(nèi)

的某個鄰域內(nèi)有,點為極小值點,為極小值（亦稱點

為駐點）

定理1（極值的必要條件）:若函數(shù)

在點有極值，且

在點偏導數(shù)存在,則

該點的偏導數(shù)必為零定理2（極值存在的充分條件）:設點是函數(shù)的駐點，且函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)二階偏導數(shù)連續(xù)，令則(1)當時,點時,點是極值點,且（i）當時,點是極大值點；(ii)當是極小值點.(２)當(３)當時,點不是極值點．時,點不是極值點．可能是極值點也可能（2）解方程組得駐點及例1

求函數(shù)的極值．解:（1）求偏導數(shù)結論:在處,在處,取得極大值

函數(shù)在處無極值函數(shù)在注意:對一般函數(shù),可能的極值點包括駐點或至少一個偏導數(shù)不存在的點.

二、二元函數(shù)的最大值與最小值類似一元函數(shù),求多元函數(shù)在有界閉區(qū)域上的可能最值點包括駐點和偏導數(shù)不存在的點和邊界點.分別求出各點處的函數(shù)值,比較其大小即可.例2

在坐標面上找一點使它到三點的距離平方和為最小．解設為面上的任一點,則到三點距離的平方和為求

的偏導數(shù)，有解方程組得駐點由問題的實際意義知，到三點距離平方和最小的點一定存在,又只有一個駐點,因此即為所求點．求函數(shù)在約束條件下的極值，其步驟為：(1)構造輔助函數(shù),稱為拉格朗日函數(shù),其中參數(shù)稱為拉格朗日乘數(shù)；(2)解聯(lián)立方程組得可能極值點三、條件極值構造輔助函數(shù),而體積為最大的長方體的體積．例8

求表面積為則長方體體積解設長方體長、寬、高分別為約束條件為即為,解聯(lián)立方程組解得因為是唯一可能的極值點，所以由問題的實際意義知一、方向?qū)?shù)二、梯度第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)

設函數(shù)zf(x,

y)在點P0(x0

y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義

l是xOy平面上以P0(x0

y0)為始點的一條射線與l同方向的單位向量為el(coscos)存在,

則稱此極限為函數(shù)f(x,

y)在點P0沿方向l的方向?qū)?shù),記為

取P(x0tcos

y0tcos)U(P0)

如果極限方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)的意義方向?qū)?shù)就是函數(shù)f(x

y)在點P0(x0

y0)處沿方向l的變化率

方向?qū)?shù)的計算

如果函數(shù)zf(x,

y)在點P0(x0

y0)可微分,

那么函數(shù)在該點沿任一方向l(el(coscos))的方向?qū)?shù)都存在,

且有定理討論

函數(shù)f(x,y)在點P沿x軸正向和負向,沿y軸正向和負向的方向?qū)?shù)如何?提示

例1

求函數(shù)zxe2y在點P(1,0)處沿從點P到點Q(2,1)的方向的方向?qū)?shù).

解

所以所求方向?qū)?shù)為因為函數(shù)可微分且

對于三元函數(shù)f(x

y

z)來說它在空間一點P0(x0

y0

z0)沿el(cos

cos

cos)的方向?qū)?shù)為

如果函數(shù)f(x

y

z)在點(x0

y0

z0)可微分,

則函數(shù)在該點沿著方向el(cos

cos

cos)的方向?qū)?shù)為

例2

求f(x

y

z)xyyzzx在點(112)沿方向l的方向?qū)?shù)其中l(wèi)的方向角分別為604560

解

與l同向的單位向量為

因為函數(shù)可微分且

所以fx(112)(yz)|(112)3

fy(112)(xz)|(112)3

fz(112)(yx)|(112)2

二、梯度梯度的定義

設函數(shù)zf(x,

y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),

則對于每一點P0(x0

y0)D,

都可確定一個向量fx(x0

y0)ify(x0

y0)j

這向量稱為函數(shù)f(x,

y)在點P0(x0

y0)的梯度,

記作gradf(x0

y0),即gradf(x0

y0)fx(x0

y0)ify(x0

y0)j

函數(shù)在一點的梯度是這樣一個向量,它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.二、梯度梯度的定義

函數(shù)zf(x,

y)在點P0(x0

y0)的梯度:

gradf(x0

y0)fx(x0

y0)ify(x0

y0)j

梯度與方向?qū)?shù)|gradf(x0

y0)|cos(gradf(x0

y0),^el)

如果函數(shù)f(x

y)在點P0(x0

y0)可微分

el(coscos)是與方向l同方向的單位向量,

則提示

梯度與等值線的關系

對于二元函數(shù)zf(x

y)

xOy面上的曲線f(x,

y)c稱為函數(shù)zf(x,

y)的等值線

等值線f(x

y)c是曲面zf(x

y)被平面zc所截得的曲線在xOy面上的投影

若fx

fy不同時為零則等值線f(x

y)c上任一點P0(x0

y0)處的一個單位法向量為這表明梯度grad

f(x0

y0)的方向與等值線上這點的一個法線方向相同,

對于二元函數(shù)zf(x

y)

xOy面上的曲線f(x,

y)c稱為函數(shù)zf(x,

y)的等值線

若fx

fy不同時為零則等值線f(x

y)c上任一點P0(x0

y0)處的一個單位法向量為梯度與等值線的關系而沿這個方向的方向?qū)?shù)等于|grad

f(x0

y0)|

于是梯度與等值線的關系

函數(shù)在一點的梯度方向與等值線在這點的一個法線方向相同它的指向為從數(shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線梯度的模就等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)

三元函數(shù)的梯度

設函數(shù)f(x,

y,

z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),

函數(shù)f(x,

y,

z)在點P(x

y

z)的梯度gradf(x

y

z)定義為gradf(x

y

z)fx(x

y

z)ify(x

y

z)jfz(x

y

z)k

三元函數(shù)的梯度是這樣一個向量,它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.

函數(shù)f(x,y,z)在點P的梯度的方向與過點P的等量面f(x,y,z)c在這點的法線的一個方向相同,且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面,梯度的模等于函數(shù)在這個法線方