大學(xué)物理非線性振動(dòng)

§8.3

非線性振動(dòng)一、非線性振動(dòng)系統(tǒng)由非線性微分方程所描述的振動(dòng)，稱其為非線性振動(dòng)。下面以單擺做自由振動(dòng)為例進(jìn)行分析單擺的線性振動(dòng)將sinθ按泰勒級(jí)數(shù)展開可得單擺θ很小時(shí)，θ3以上可忽略不計(jì)，同時(shí)令ω2=g/L可得由上式可知，小角度下單擺的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期為單擺的非線性振動(dòng)隨著θ的增大，擺球的運(yùn)動(dòng)方程為一個(gè)非線性微分方程?？梢宰C明單擺的周期變?yōu)槭街笑萴是最大角位移，即單擺振動(dòng)的角擺幅。當(dāng)時(shí)，T→∞，T/T’隨擺幅θm變化關(guān)系如圖所示?？梢妴螖[的周期是一個(gè)向無窮大發(fā)展的非線性變化。兩邊積分得單擺線性振動(dòng)的相圖即T/T’隨擺幅θm變化關(guān)系可見，線性振動(dòng)的相軌跡為橢圓,中心點(diǎn)是穩(wěn)定的奇點(diǎn).初始條件確定后，單擺運(yùn)動(dòng)過程就對(duì)應(yīng)于其中一個(gè)橢圓，單擺的運(yùn)動(dòng)是一系列的同周期運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全確定。單擺非線性振動(dòng)的相圖如果對(duì)擺角不加限制，微分方程變成非線性微分方程，對(duì)方程兩邊積分可得單擺無阻尼線性振動(dòng)的相圖當(dāng)t=0時(shí)，θ=θ0可見，其相圖不再是一橢圓，相軌跡兩端凸出略呈尖角狀，但仍是封閉曲線，表示運(yùn)動(dòng)仍是周期性往復(fù)擺動(dòng)。當(dāng)擺幅增大π到時(shí)，相跡線上出現(xiàn)了兩個(gè)分支點(diǎn)，我們稱之為鞍點(diǎn),如上圖.單擺無阻尼非線性振動(dòng)的相圖鞍點(diǎn)和中心點(diǎn)一樣也是一個(gè)奇點(diǎn)，但是在鞍點(diǎn)上

說明鞍點(diǎn)是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，因?yàn)榕c之相連的四條相軌跡中兩條指向它，兩條背離它，而附近相軌跡呈雙曲線狀．從勢(shì)能曲線和相圖上可知處勢(shì)能最大，勢(shì)能曲線、相圖、鞍點(diǎn)雙曲點(diǎn)的存在，預(yù)示著混沌運(yùn)動(dòng)的可能．假定存在阻尼和驅(qū)動(dòng)力，讓擺作受迫振動(dòng)．這樣一來，雙曲點(diǎn)就成了敏感區(qū)．能量稍大，單擺就會(huì)越過勢(shì)壘的頂峰，跨到它的另一側(cè)；能量稍小，則為勢(shì)壘所阻，滑回原來的一側(cè)單擺向回?cái)[動(dòng)。二、非線性振動(dòng)系統(tǒng)的混沌行為仍以單擺為例,前面已經(jīng)討論過它的自由振動(dòng),下面分析其阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)有阻尼、無策動(dòng)力的振動(dòng)小擺幅時(shí)運(yùn)動(dòng)方程為小擺幅時(shí),按阻尼的大小其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可分為過阻尼、臨界阻尼、和阻尼振動(dòng).從相圖可知,無論單擺從什么初始狀態(tài)出發(fā),最后都要靜下來.其狀態(tài)最終要落到中央焦點(diǎn)處,這一點(diǎn)好象能把相空間的點(diǎn)逐漸地吸引起來,稱為“吸引子”單擺阻尼振動(dòng)的相圖(小擺幅)有阻尼、并有策動(dòng)力的振動(dòng)大擺幅時(shí)運(yùn)動(dòng)方程是非線性的單擺阻尼振動(dòng)的相圖(大擺幅)此時(shí),從其相圖上可以看出,相平面被分成不同的區(qū)域,相軌跡都收斂與該區(qū)域中心的吸引子.振動(dòng)方程為這是非線性微分方程,此時(shí)單擺的運(yùn)動(dòng)情況變得非常復(fù)雜,可以對(duì)三個(gè)參量在不同組合情況下進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,畫出相圖來分析.有策動(dòng)力、有阻尼時(shí)單擺的相圖保持其他兩個(gè)參量不變,f逐漸增加時(shí),單擺的相圖會(huì)產(chǎn)生如下變化:f=1.07,出現(xiàn)2倍的周期,f

變化兩個(gè)周期后單擺才恢復(fù)原狀;f=1.15,相軌跡分布看似沒有規(guī)律,反映了某種內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征;f

=1.45,單擺運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)2倍的周期,作單向旋轉(zhuǎn);f=1.35,相軌跡又呈現(xiàn)比較簡(jiǎn)單分布,恢復(fù)單倍周期狀態(tài),但此時(shí)單擺并非作來回振動(dòng),而是作單向的旋轉(zhuǎn);f=1.47,單擺出現(xiàn)4倍的周期,作單向旋轉(zhuǎn);f=1.50,

又出現(xiàn)貌似無規(guī)則的運(yùn)動(dòng),但比f=1.15,時(shí)更為混亂.由此可見,在受迫阻尼振動(dòng)中,單擺的運(yùn)動(dòng)反映出如下特征:描述運(yùn)動(dòng)特征的動(dòng)力學(xué)方程是非線性的;這些非線性方程是確定性的,不包含任何隨時(shí)間變化的隨機(jī)項(xiàng);在某些情況下,單擺出現(xiàn)了貌似無規(guī)則的運(yùn)動(dòng).此時(shí)系統(tǒng)對(duì)初始條件特別敏感,初始條件的微小差異可能導(dǎo)致面目全非的結(jié)果.這就是單擺的混沌行為.系統(tǒng)出現(xiàn)的一種貌似隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)。混沌:一般無法用解析的方法求解，只能在給定參量和初值條件下用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算?；煦绗F(xiàn)象具有如下特征:對(duì)初值敏感依賴——最初的微小差別會(huì)隨時(shí)間逐漸放大而導(dǎo)致明顯的巨大差別。運(yùn)動(dòng)不可重現(xiàn),不可預(yù)報(bào);相軌跡顯示混沌運(yùn)動(dòng)收斂于“奇怪吸引子”;混沌現(xiàn)象研究表明，混沌僅出現(xiàn)在非線性系統(tǒng)中，是非線性引起的隨機(jī)性。而自然界中絕大多數(shù)實(shí)際過程都是非線性的，因此，混沌是一種普遍存在而又極其復(fù)雜的現(xiàn)象。自70年代以來，許多科學(xué)家都在各自的領(lǐng)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象，如湍流、非線性振蕩電路、激光運(yùn)行系統(tǒng)、超導(dǎo)中的約瑟夫遜結(jié)系統(tǒng)等都存在混沌現(xiàn)象。混沌不僅是數(shù)理學(xué)科的理論,而是遍布各個(gè)領(lǐng)域.如化學(xué)反應(yīng)中的混沌行為、股票市場(chǎng)的混沌現(xiàn)象、生態(tài)學(xué)中的“蟲口模型”等等．比如天氣預(yù)報(bào)中存在混沌現(xiàn)象，雖然不能準(zhǔn)確預(yù)報(bào)幾年后的天氣情況，但可以很好地預(yù)報(bào)明后幾天的天氣情