初中數(shù)學(xué)動點問題專題講解(簡潔版)(DOC)

中考動點專題所謂“動點型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這種問題的重點是動中求靜，靈便運用相關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.重點:動中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想函數(shù)思想方程思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)變思想重視對幾何圖形運動變化能力的察看從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，經(jīng)過對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來研究與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中浸透空間見解和合情推理。圖形在動點的運動過程中察看圖形的變化狀況，需要理解圖形在不同地址的狀況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)動點”研究題的基本思路，這也是動向幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。函數(shù)揭穿了運動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容?動點問題反響的是一種函數(shù)思想，因為某一個點或某圖形的有條件地運動變化，引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系，這種變化關(guān)系就是動點問題中的函數(shù)關(guān)系?那么，我們怎樣成立這種函數(shù)解析式呢？下邊結(jié)合中考試題舉例解析?例1(2005年?上海)如圖3(1),在厶ABC中，/ABC=90,AB=4,BC=3.點O是邊AC上的一個動點，以點O為圓心作半圓，與邊AB相切于點D，交線段OC于點E.作EP丄ED，交射線AB于點P,交射線CB于點F.求證：△ADE^^AEP.設(shè)OA=x,AP=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域?(3)當(dāng)BF=1時，求線段AP的長.3(21)(二)線動問題在矩形ABCD中，AB=3,點O在對角線AC上，直線I過點O,且與AC垂直交AD于點E.(1)若直線I過點B，把△ABE沿直線I翻折，點A與矩形ABCD的對稱中心A/重合，求BC的長;1⑵若直線I與AB訂交于點F,且AO=AC,設(shè)AD的長為x，五邊4形BCDEF的面積為S.①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范ED3A圍；②研究：可否存在這樣的x，以A為圓心，以X-?長為半徑的圓O4與直線l相切，若存在，央求出x的值；若不存在，請說明原因.x29AE4x⑵①ACh；X29,AOJ：x29,AF=1(x29),41212222SAEF*E.AFJ^,S=3XJ^42S「X27°96x一81(...3*3,3)x②若圓A與直線I相切，貝UX-3=丄&X2十9,捲=0(舍去,X2=8X2=8<y［3/?4455不存在這樣的X，使圓A與直線I相切.［類題］09虹口25題.(三)面動問題如圖，在ABC中，AB=AC=5,BC=6,D、E分別是邊AB、AC上的兩個動點(D不與A、B重合)，且保持DE//BC，以DE為邊，在點A的異側(cè)作正方形DEFG.試求=ABC的面積；(2)當(dāng)邊FG與BC重合時，求正方形DEFG的邊長；(3)設(shè)AD=x,ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(4)當(dāng)；BDG是等腰三角形時，請直接寫出AD的長.［題型背景和區(qū)分度丈量點］此題改編自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形問題，試題為了形成坡度，在原題的基礎(chǔ)上改編出求等腰三角形面積的第一小題，當(dāng)D點在AB邊上運動時，正方形DEFG整體動起來,GF邊落在BC邊上時，恰好和教材中的例題對應(yīng)，能夠說是相似三角形對應(yīng)的小高比大高=對應(yīng)的小邊比大邊，探訪正方形和三角形的重疊部分的面積與線段AD的關(guān)系的函數(shù)解析式形成了第三小題，依舊屬于面積類習(xí)題來設(shè)置區(qū)分丈量點一，用等腰三角形的存在性來設(shè)置區(qū)分丈量點二.［區(qū)分度性小題辦理手法］1?找到三角形與正方形的重疊部分是解決此題的重點，如上圖3-1、3-2重疊部分分別為正方形和矩形包含兩種狀況.2?正確的抓住等腰三角形的腰與底的分類，如上圖3-3、3-4、3-5用方程思想解決.3?解題的重點是用含X的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段.［略解］解：(1)S.ABC=12.a4—a12(2)令此時正方形的邊長為a，則一二------，解得a-一.26453⑷AD上半2(3)當(dāng)0x^2時,7311x,25當(dāng)2x5時,◎xU—x空x255525207(6丫36-x<5［類題］改編自09奉賢3月考25題，將條件(2)“當(dāng)點M、N分別在邊BA、CA上時”，去掉，同時加到第(3)題中.已知：在△ABC中，AB=AC,ZB=30o,BC=6，點D在邊BCMF上，點E在線段DC上，DE=3,△DEF是等邊三角形，邊NDF、EF與邊BA、CA分別訂交于點M、N.(1)求證：△BDMCEN;(2)設(shè)BD=x,△ABC與厶DEF重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域.(3)當(dāng)點M、N分別在邊BA、CA上時，可否存在點D,使以M為圓心,BM為半徑的圓與直線EF相切,若是存在，央求出x的值；如不存在，請說明原因.例1:已知OO的弦AB的長等于OO的半徑，點C在OO上變化(不與A、B)重合，求/ACB的大小?解析：點C的變化可否影響/ACB的大小的變化呢？我們不如將點C改變一下，怎樣變化呢？可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧AB上變化，顯然這二者的結(jié)果不同樣。那么，當(dāng)點C在優(yōu)弧AB上變化時，/ACB所對的弧是劣弧AB,它的大小為劣弧AB的一半，所以很自然地想到它的圓心角，連接AO、BO,則因為AB=OA=OB，即三角形ABC為等邊三角形，則/AOB=600，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：IACB=2/AOB=300,/當(dāng)點C在劣弧AB上變化時，/ACB所對的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由/AOB=600得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-600=3000，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：/ACB=1500,AB300或1500.所以，此題的答案有兩個，分別為反思：此題經(jīng)過點C在圓上運動的不確立性而引起結(jié)果的不唯一性。從而需要分類議論。這樣由點C的運動變化性而引起的分類議論在解題中經(jīng)常A出現(xiàn)。OCf變式1:已知△ABC是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若AB二23，求/C的大小.O此題與例1的差別可是AB與圓的半徑的關(guān)系發(fā)生了一些變化，其解題方法與上4，即NAOB=120°1面一致，在三角形AOB1-AB/3AB的一半，即.C=60°sin-MAOB=2-一1￡AOB=60°中，2OB2,則2進而當(dāng)點C在優(yōu)弧AB上變化時，/C所對的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧當(dāng)點C在劣弧AB上變化時，/C所對的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由/AOB=1200得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-1200=2400,則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：/C=1200,0所以?C=60或/C=1200.變式2：如圖,半經(jīng)為1的半圓O上有兩個動點A、B,若AB=1,判斷/AOB的大小可否會隨點A、B的變化而變化，若變化，求出變化范圍，若不變化，求出它的值。四邊形ABCD的面積的最大值。解：（1）因為AB=OA=OB，所以三角形AOB為等邊三角形，則/AOB=600，即/AOB的大小不會隨點A、B的變化而變化。（2）四邊形ABCD的面積由三個三角形組成，此中三角形AOB的面積為4，而三角一ODxAF+一OCxBG=丄（AF+BG）5形AOD與三角形BOC的面積之和為222，又由梯形1的中位線定理得三角（AF+BG）=EH形AOD與三角形BOC的面積之和2，要四邊形ABCD的面積3.333四邊形ABCD的面積最大值為4+2=4關(guān)于此題同學(xué)們還能夠持續(xù)思慮：四邊形ABCD的周長的變化范圍.變式3：如圖,有一塊半圓形的木板，現(xiàn)要把它截成三角形板塊?三角形的兩個極點分別為A、B，另一個極點C在半圓上，問怎樣截取才能使截出的三角形的面積最大？要求說明原因（廣州市2000年考題）解析：要使三角形ABC的面積最大，而三角形ABC的底邊AB為圓的直徑為常量，只要AB邊上的高最大即可。過點C作CD丄AB于點D，連接CO,因為CD<CO,當(dāng)O與D重合，CD=CO，所以，當(dāng)CO與AB垂直時，即C為半圓弧的中點時，其三角形ABC的面積最大。此題也能夠先猜想，點C為半圓弧的中點時，三角形ABC的面積最大，故只要另選一個地址C1（不與C重合），，證明三角形ABC的面積大于6三角形ABC1的面積即可。如圖顯然三角形ABC1的面積=2ABXC1D，而C1D<C10=C0,貝U三角形ABC1的面積=2ABXC1D<2ABXC10=三角形ABC的面積,所以，關(guān)于除點C外的任意點C1,都有三角形ABC1的面積小于三角形三角形ABC的面積,故點C為半圓中點時，三角形ABC面積最大.此題還可研究三角形ABC的周長何時最大的問題。提示：利用周長與面積之間的關(guān)系。要三角形ABC的周長最大，AB為常數(shù)，只要AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2ACXBC=AB2+4X△ABC的面積，所以△ABC的面積最大時，AC+BC最大，進而△ABC的周長最大。從以上一道題及其三個變式的研究我們不難發(fā)現(xiàn)，解決動向幾何問題的常有方法有：一、特別探路，一般推證例2:（2004年廣州市中考題第11題）如圖，O01和O02內(nèi)切于A,O01的半徑為3,002的半徑為2,點P為O01上的任一點（與點A不重合），直線PA交O02于點C,PB切O02于點B,BP則PC的值為3(A)(B)3(C)2(D)2解析：此題是一道選擇題，給出四個答案有且只有一個是正確的，所以能夠取一個特別地址進行研究，當(dāng)點P知足PB丄AB時，能夠經(jīng)過計算得出PB=32-12=22BCXAP=BPX所以AB,ABBP8、28.24-2BC=.AB2BP2,1682、66、BP2-BC2—6在三角形BPC中，PC=3ABP所以，PC=3選（B）BP_AP自然，此題還能夠依據(jù)三角形相似得PCBP，即可計算出結(jié)論。作為一道選擇題，到此已經(jīng)完成，但若是是一道解答題，我們得出的結(jié)論可是一個特別狀況，還要進步證明對一般情況也成立。例3:如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4,0A-BC于0,點E和點F分別在邊AB、AC上滑動并保持AE=CF,但點F不與A、C重合，點E不與B、A重合。E70判斷「9EF的形狀，并加以證明。判斷四邊形AEOF的面積可否隨點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值A(chǔ)EF的面積可否隨著點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。解析：此題結(jié)論很難發(fā)現(xiàn)，先從特別狀況下手。最特別狀況為E、F分別為AB、AC中點，顯然有△EOF為等腰直角三角形。還可發(fā)現(xiàn)當(dāng)點E與A無窮湊近時，點F與點C無窮接近，此時△EOF無窮湊近△AOC，而△AOC為等腰直角三角形，幾種特別狀況都可以得出△EOF為等腰直角三角形。一般狀況下成立嗎？OE與OF相等嗎？/EOF為直角嗎？可否證明。若是它們成立，便能夠推出三角形

AOFC與三角形OEA全等，一般狀況下這兩個三角形全等嗎？不難從題目的條件可得：OA=OC，/OCF=/OAE，而AE=CF，貝U△OEAAOFC，貝UOE=OF，且/FOC=/EOA，所以/EOF=ZEOA+/AOF=/FOC+/FOA=9OO，則/EOF為直角，故AEOF為等腰直角三角形。二、著手實踐，操作確認例4（2003年廣州市中考試題）在OO中，C為弧AB的中點，D為弧AC上任一點（與A、C不重合），則（A）AC+CB=AD+DB（B）AC+CB<AD+DBC）AC+CB>AD+DB（D）AC+CB與AD+DB的大小關(guān)系不確立解析：此題能夠經(jīng)過著手操作一下，胸襟AC、CB、AD、DB的長度，能夠試一試換幾個地址量一量，得出結(jié)論（C）例5:如圖，過兩齊心圓的小圓上任一點C分別作小圓的直徑CA和非直徑的弦CD,延長CA和CD與大圓分別交于點B、E,則以下結(jié)論中正確的選項是（*）A）DE=AB（B）DEABC）DE::AB（D）DE,AB的大小不確立解析：此題能夠經(jīng)過分量的方法進行，選（B）此題也能夠能夠證明得出結(jié)論，連接DO、EO,則在三角形OED中,因為兩邊之差小于第三邊，則OE—OD<DE,即OB—OA<DE,所以AB：：ED，即DEAB三、成立聯(lián)系，計算說明例6:如圖，正方形ABCD的邊長為4,點M在邊DC上,且DM=1,N為對角線AC上任意一點，貝UDN+MN的最小值為解析：可否將DN和NM進行轉(zhuǎn)變，與成立三角形兩邊之和大于第三邊等問題，很自然地想到軸對稱問題，因為ABCD為正方形，所以連接BN，顯然有ND=NB，則問題就轉(zhuǎn)變?yōu)锽N+NM的最小值問題了，一般狀況下：BN+NM>BM,只有在B、N、M三點共線時，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值為BM=BC2CM2=5此題經(jīng)過成立平面上三個點中組成的三角形中的兩邊之和大于第三邊及共線時的兩邊之和等于第三邊的特別狀況求最小值，最后經(jīng)過勾股定理計算得出結(jié)論。例7:如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4,OA—BC于O,點E和點F分別在邊AB、AC上滑動并保持AE=CF,但點F不與A、C重合，點E不與B、A重合。8判斷四邊形AEOF的面積可否隨點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值.9AEF的面積可否隨著點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。(即例3的第2、第3問)解析：⑵此題的方法很多，其一，能夠成立四邊形AEOFAE長的函數(shù)關(guān)系式，如設(shè)AE=x，貝UAF=2'-2-x，22、、而三角形AOB的面積與三角形AOE的面積之比=X,三角形AOB的面積=21OBOA=2C,則三角形AOE的面積x(22—x)"x22-x2;即=-2，同理三角形AOF的面積=2，所以四邊形、AEOF的面積=AEOF的面積不會隨點E、F的變化而變化，是一個定值，且為2.自然，此題也能夠這樣思慮，因為三角形AOE與三角形COF全等，則四邊形AEOF的面積與三角形AOC的面積相等，而AOC的面積為2,所以AEOF的面積不會隨點E、F的變化而變化，是一個定值，且為2.此題經(jīng)過成立函數(shù)關(guān)系或相關(guān)圖形之間的關(guān)系，爾后經(jīng)過簡單的計算得出結(jié)論的方法應(yīng)用比較廣泛?AA—x(2V2-x)=-—(x-V2)2+1第⑶問也能夠經(jīng)過成立函數(shù)關(guān)系求得，丄AEF的面積=22，又f—x的變化范圍為0:::X::：22,由二次函數(shù)知識得■■AEF:的面積的范圍為：-:AEF的面積-1.此題也能夠依據(jù)三角形AEF與三角形OEF的面積關(guān)系確立AEF的面積范圍：(=—EF腰直角三角形，則OH丄EF,作AG丄EF,顯然AGWAH=AG),所以'AEF的面積W不難證明AEF的面積WOEF的面積，它們公用邊EF,取EF的中點H，顯然因為:OEF為等的面積，而它們的和為2，所以0"：‘的面積1.AEF-此題包含的內(nèi)涵十分豐富，還能夠提出很多問題研究:比方，比較線段EF與AO長度大小等(能夠經(jīng)過A、E、O、F四點在以EF為直徑的圓上得出很多結(jié)論)例&如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2厘米/秒的速度搬動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1厘米/秒的速度搬動。若是PQ同時出發(fā)，用t秒表示搬動的時間(0WtW6)，那、么：(1)當(dāng)t為什么值時，三角形QAP為等腰三角形？求四邊形QAPC的面積，提出一個與計算結(jié)果相關(guān)的結(jié)論；(3)當(dāng)t為什么值時，以點Q、A、P為極點的三角形與△ABC相似？解析：(1)當(dāng)三角形QAP為等腰三角形時，因為/A為直角，只好是AQ=AP，成立等量關(guān)系,2t=67，即t=2時，三角形QAP為等腰三角形；(2)四邊形QAPC的面積=ABCD的面積一三角形QDC的面積一三角形PBC的面積1112612x(12-2x)6=22=36，即當(dāng)P、Q運動時，四邊形QAPC的面積不變。10(3)顯然有兩種狀況：△PAQABC，△QAPABC，112x122x由相似關(guān)系得6-x6或6-x12，解之得x=3或x^1*2成立關(guān)系求解，包含的內(nèi)容多，能夠是函數(shù)關(guān)系，能夠是方程組或不等式等，經(jīng)過解方程、或函數(shù)的最大值最小值，自變量的取值范圍等方面來解決問題；也能夠是經(jīng)過一些幾何上的關(guān)系，描述圖形的特色，如全等、相似、共圓等方面的知識求解。作為訓(xùn)練同學(xué)們能夠綜合上述方法求解：練習(xí)1：2003年廣州市中考壓軸題（全卷得分最低的一道）已知ABC為直角三角形，AC=5,BC=12，/ACB為直角，P是AB邊上的動點（與點A、B不重合），Q是BC邊上動點（與點B、C不重合）（1）如圖，當(dāng)PQ//AC,且Q為BC的中點，求線段CP的長。當(dāng)PQ與AC不平行時，'CPQ可能為直角三角形嗎？如有可能,不行能，請說明原因。

求出線段

CQ

的長的取值范圍；若第1問很易得出P為AB中點，貝UCP=第2問：若是人CPQ為直角三角形，因為不行能為直角

PQ

與

AC

不平行，則/

Q又點P不與A重合，則/PCQ也不行能為直角，只好是/CPQ為直角，即以CQ為直徑的圓與AB有交點，設(shè)CQ=2x,CQ的中點D到AB的距離DM不大于CD,DM_DBDM12-x5(12_x)5(12_x)ECD=xx_10ACAB，即5DMDM，即3,13，所以13,由13也蘭x<6塵CQ<12而x：::6，故3，亦即3時，“CPQ可能為直角三角形。自然還有其余方法。同學(xué)們能夠持續(xù)研究。練習(xí)2:（廣東省2003年中考試題最后一題）在Rt△ABC中，AB—AC,/BAC—90°,O為BC的中點,1）寫出點O到厶ABC的三個極點A、B、2）若是點M、N分別在線段AB、AC上搬動,請判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論。該題與例3近似，同學(xué)們能夠仿本大類習(xí)題的共性:;四大數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)結(jié)合、1?代數(shù)、幾何的高度綜合(數(shù)形結(jié)合)；著力于數(shù)學(xué)實質(zhì)及核心內(nèi)容的察看分類議論、方程、函數(shù).2?以形為載體，研究數(shù)目關(guān)系；經(jīng)過設(shè)、表、列獲取函數(shù)關(guān)系式；研究特別狀況下的函數(shù)值.專題三：雙動點問題點動、線動、形動組成的問題稱之為動向幾何問題?它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題?這種題綜合性強，能力要求高，它能全面的察看學(xué)生的實踐操作能力，空間想象能力以及解析問題和解決問題的能力?此中以靈便多變而著稱的雙動點問題更成為今年中考試題的熱門，現(xiàn)采擷幾例加以分類淺析，供讀者賞識以雙動點為載體，研究函數(shù)圖象問題例1(2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，/C=90，高CD=6cm(如圖1).動點P,Q同時從點B出發(fā)，點P沿BA,AD,DC運動到點

C停止，點

Q沿

BC

運動到點

C停止，兩點運動時的速度都是

1cm/s.而當(dāng)點

P到達點

A時，點Q正好到達點

C.設(shè)

P,

Q同時從點

B出發(fā)，經(jīng)過的時間為

t(s)時，△

BPQ

的面積為

y(cm)2(

如圖

2).分別以

t,

y為橫、縱坐標成立直角坐標系，已知點

P在

AD

邊上從

A到

D運動時，y

與

t的函數(shù)圖象是圖

3中的線段

MN.分別求出梯形中BA,AD的長度；寫出圖3中M,N兩點的坐標；分別寫出點P在BA邊上和DC邊上運動時，y與t的函數(shù)關(guān)系式(注明自變量的取值范圍)，并在圖3中補全整個運動中y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大體圖象?評析此題將點的運動過程中形成的函數(shù)解析式與其相應(yīng)的函數(shù)圖象有機的結(jié)合在一起，二者相輔相成，給人以清爽、淡雅之感?此題彰顯數(shù)形結(jié)合、分類議論、函數(shù)建模與參數(shù)思想在解題過程中的靈便運用?解決此題的重點是從函數(shù)圖象中確立線段AB、梯形的高與t的函數(shù)關(guān)系式，成立起y與t的函數(shù)關(guān)系式，進而依據(jù)函數(shù)關(guān)系式增補函數(shù)圖象?以雙動點為載體，研究結(jié)論開放性問題例2(2007年泰州市)如圖5,Rt△ABC中，/B=90°，/CAB=30.它的極點A的坐標為(10,0),極點B的坐標為(5,53),AB=10,點P從點A出發(fā)，沿2B-C的方向勻速運動，同時點Q從點D(0,2)出發(fā)，沿y軸正方向以同樣速度運動，當(dāng)點P到達點C時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒.(1)求/BAO的度數(shù).(2)當(dāng)點P在AB上運動時，△OPQ的面積S(平方單位)與時間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，(如圖6)，求點P的運動速度.(3)求(2)中面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時點P的坐標.⑷若是點P,Q保持⑵中的速度不變，那么點P沿AB邊運動時，/OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運動時，/OPQ的大小隨著時間t的增大而減P沿這兩邊運動時，使/13?試題有難度、有梯度也有P的速度為2,爾后成立S小，當(dāng)點OPQ=90的點P有幾個？請說明原因.解(1)/BAO=60.點P的運動速度為2個單位/秒.評析此題是以雙點運動成立的集函數(shù)、開放、最值問題于一體的綜合題區(qū)分度，是一道擁有很好的選拔功能的好題?解決此題的重點是從圖象中獲取與t的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)解得問題(3).此題的難點是題(4)，考生要從題目的信息中確立成立以B為直角極點的三角形，以B為臨界點進行分類議論，進而確立點的個數(shù)問題以雙動點為載體，研究存在性問題14例3(2007年揚州市)如圖8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).動點M,N同時從B點出發(fā)，分別沿B^A,B^C運動，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB，分別交AN,CD于P,Q.當(dāng)點N到達終點C時，點M也隨之停止運動?設(shè)運動時間為t秒.若a=4厘米，t=1秒，貝UPM=厘米；若a=5厘米，求時間^使厶PNBPAD，并求出它們的相似比；若在運動過程中，存在某時辰使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；⑷可否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時辰使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請說明原因?評析此題是以雙動點為載體，矩形為背景創(chuàng)立的存在性問題?試題由淺入深、層層遞進，將幾何與代數(shù)知識圓滿的綜合為一題，重視對相似和梯形面積等知識點的察看，此題的難點主若是題(3)，解決此題的重點是運用相似三角形的性質(zhì)用t的代數(shù)式表示PM，進而利用梯形面積相等列等式求出t與a的函數(shù)關(guān)系式，再利用t的范圍確立的a取值范圍?第(4)小題是題(3)結(jié)論的拓展應(yīng)用，在解決此問題的過程中，要有全局觀念以及對問題的整體掌握以雙動點為載體，研究函數(shù)最值問題例4(2007年吉林省)如圖9,在邊長為82cm的正方形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個動點，它們分別從點A、C同時出發(fā)，沿對角線以1cm/s的同樣速度運動，過E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角邊于H;過F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角邊于G,連接HG、EB.設(shè)HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S仁AE、EB、BA圍成的圖形面積為S2(這里規(guī)定：線段的面積為0).E到達C,F到達A停止?若E的運動時間為x(s)，解答以下問題：(1)當(dāng)0<X⑵①若y是S1與S2的和，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(圖10為備用圖)②求y的最大值?解(1)以E、F、G、H為極點的四邊形是矩形，因為正方形ABCD的邊長為82，所以AC=16，過B作BO丄AC于O,則OB=89，因為AE=x，所以，因為HE=AE=x,EF=16-2x，所以-2x),當(dāng).時，4x=x(16-2x)，解得X1=0(舍去),x2=6，所以當(dāng)x=6時，!(2)①當(dāng)0Wx<8時，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x,當(dāng)8<xw16寸，AE=x,CE=HE=16-x,EF=16-2(16-x)=2x-16,所以S1=(W-x)(2x-16),所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.②當(dāng)0wx<8時，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以當(dāng)x=5時，y的最大值為50.當(dāng)8<x<16寸，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82,所以當(dāng)x=13時，y的最大值為82.綜上可得，y的最大值為82?評析此題是以雙動點為載體，正方形為背景創(chuàng)立的函數(shù)最值問題?要修業(yè)生認真讀題、意會題意、畫出不同狀況下的圖形，依據(jù)圖形成馬上間變量與其余相關(guān)變量的關(guān)系式，進而成立面積的函數(shù)表達式?本題在知識點上重視對二次函數(shù)最值問題的察看，要修業(yè)生有扎實的基礎(chǔ)知識、靈便的解題方法、優(yōu)異的思想質(zhì)量；在解題思想上重視對數(shù)形結(jié)合思想、分類議論思想、數(shù)學(xué)建模等思想的靈便運用專題四：函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題例題如圖1，已知拋物線的極點為A(2,1)，且經(jīng)過原點O,與x軸的另一個交點為B。D在拋物線上，且以⑵若點C在拋物線的對稱軸上，點O、C、D、B四點為極點的四邊形為平行四⑴求拋物線的解析式；(用極點式求得拋物線的解析式為15邊形，求D點的坐標;16⑶連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上可否存在點P,使得△OBP與厶OAB相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明原因。解析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個極點時應(yīng)以兩個極點的連線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以0、C、D、B四點為極點的四邊形為平行四邊形要分類議論：按0B為邊和對角線兩種狀況2.函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個解題路子①求相似三角形的第三個極點時，先要解析已知三角形的邊.和角的特色，進而得出已知三角形可否為特別三角形。依據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應(yīng)邊分類議論。②或利用已知三角形中對應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導(dǎo)邊的大小。③若兩個三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點的坐標進而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，此后利用相似來列方程求解。例1(2008福建福州)如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，此中點P運動的速度是1cm/s,點Q運動的速度是2cm/s，當(dāng)點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t(s),解答以下問題：(1)當(dāng)t=2時，判斷△BPQ的形狀，并說明原因；(2)設(shè)厶BPQ的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)作QR//BA交AC于點R,連接PR,當(dāng)t為什么值時，△APRs^PRQ?解析：由t=2求出BP與BQ的長度，進而可得△BPQ的形狀；1作QE丄BP于點E,將PB,QE用t表示，由SBPQ=XBPXQE可得2S與t的函數(shù)關(guān)系式；先證得四邊形EPRQ為平行四邊形，得PR=QE,再由△APRs^PRQ,對應(yīng)邊成比率列方程，進而t值可求.解:(1)△BPQ是等邊三角形，當(dāng)t=2時,AP=2X1=2,BQ=2X2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP.又因為/B=60°,所以△BPQ是等邊三角形.(2)過Q作QE丄AB,垂足為s.3t,E,由QB=2t,得QE=2tin60°=17--x6.5

1i[3由AP=t,得PB=6-t,所以S=XBPXQE=(6-t)X3t=—3BPQ『+31;^222⑶因為QR//BA,所以/QRC=/A=600,/RQC=/B=60°,又因為/C=60°,所以△QRC是等邊三角形，這時BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.1因為BE=BQcos60°=—X2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,2所以EP=QR,又EP//QR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形，所以PR=EQ=、、3t.由厶APRPRQ,獲取竺二空，即卩t二3t，解得t=6,PRRQ弱t6-2t5所以當(dāng)t=6時，△APR^APRQ.5評論：此題是雙動點問題.動向問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)的熱門題型.這種試題信息量大，對同學(xué)們獲守信息和辦理信息的能力要求較高；解題時需要用運動和變化的眼光去察看和研究問題，挖掘運動、變化的全過程，并特別關(guān)注運動與變化中的不變量、不變關(guān)系或特別關(guān)系，動中取靜，靜中求動?例2(2008浙江溫州)如圖，在Rt△ABC中，A=90：,AB=6,AC=8,D,E分別是邊AB,AC的中點，點P從點D出發(fā)沿DE方向運動，過點P作PQ_BC于Q,過點Q作QR//BA交AC于R,當(dāng)點Q與點C重合時，點P停止運動?設(shè)BQ=x,QR=y.(1)求點D到BC的距離DH的長;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；(3)可否存在點P，使△PQR為等腰三角形？若存在，央求出全部知足要求的x的值；若不存在，請說明原因.解析：由厶BHDBAC,可得DH;由厶RQCABC,可得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；由腰相等列方程可得Cx的值;注意需分類議論.解：(1)..._A=Rt._,AB=6,AC=8,BC=10.1T點D為AB中點，.BDAB=3.“：,B"B△BHDBACDHBDBCACBDAC312，BC10852y10—xRQQC廿p，即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為:ABBC，//AB,?QRC"A=90；.；C"C,△RQCABC,(2)；QR存在.按腰相均分三種狀況:①當(dāng)PQ二PR時，過點P作PM_QR于M，則QM：12=90〃,C2=90〃,1C.cos_1二cosC二一4QM410C18■_____=—,5QP519lx-18x=125312②當(dāng)PQ二RQ時，_3x6二12,55.x=6..CR」CE」AC=2.24③當(dāng)PR二QR時，貝UR為PQ中垂線上的點,于是點R為EC的中點，-jx6615x=2TtanC=QRJACRCA1815綜上所述，當(dāng)x為或6或15時，△PQR為等腰三角形.52評論:成立函數(shù)關(guān)系式，實質(zhì)就是把函數(shù)y用含自變量x的代數(shù)式表示；要求使△PQR為等腰三角形的x的值,可假設(shè)△PQR為等腰三角形，找到等量關(guān)系，列出方程求解，因為題設(shè)中沒有指明等腰三角形的腰故還須分類議論.、以圓為載體的動點問題動點問題是初中數(shù)學(xué)的一個難點，中考經(jīng)常察看，有一類動點問題，題中未說到圓，去卩與圓相關(guān)，只要奇妙地構(gòu)造圓，以圓為載體，禾憫圓的相關(guān)性質(zhì)，問題便會瓜熟蒂落；此類問題方法奇妙，耐人尋味。例1.在RtABC中，AC=5,BC=12,/ACB=90°,P是AB邊上的動點（與點AB不重合），Q是BC邊上的動點（與點B、C不重合），當(dāng)PQ與AC不平行時，△CPQ可能為直角三角形嗎？如有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不行能，請說明原因。（03年廣州市中考）解析：不論P、Q怎樣運動，/PCQ都小于/ACB即小于90°,又因為PQ與AC不平行，所以/PQC不等于90°,所以只有/CPQ為直角，△CPQ才可能是直角三角形，而要判斷△CPQ可否為直角三角形，只要構(gòu)造以CQ為直徑的圓，依據(jù)直徑所對的圓周角為直角，若AB邊上的動點P在圓上，/CPQ就為直角，不然/CPQ就不行能為直角。以CQ為直徑做半圓Db①當(dāng)半圓D與AB相切時，設(shè)切點為M連接DM貝UDM丄AB,且AC=AM=520所以MB二AB-AM二13-5=8設(shè)CD=x，貝UDM=x,DB=12—x在RtDMB中，DB2=DM2MB2，即圖112-x2=x282211020解得：x二上，所以CQ=2x二203320即當(dāng)CQ=-°M的地址時，△CPQ為直角三角形。3且點P運動到切點2012時，半圓D與直線AB有兩個交點，當(dāng)點P運動到這兩個交點的地址時，△CPQ②當(dāng)—::CQ:：:為直角三角形。③當(dāng)0:::CQ3時，半圓D與直線AB相離，即點P在半圓D以外，0<ZCPQc90°,此時，△CPQ不行能為直角三角形。20所以，當(dāng)CQ<12時，△CPG可能為直角三角形。3例2.如圖2，直角梯形ABCD中,AD//BC,/B=90°,AD+BC<DC若腰DC上有動點P,使APIBP,則這樣的點有多少個？解析：由條件APIBP,想到以AB為直徑作圓，若CD與圓訂交，依據(jù)直徑所對的圓周角是90。，兩個交點即為點P;若CD與圓相切，切點即是點P;若CD與圓相離，則DC上不存在動點P,使AP丄BP。解：如圖3,以AB為直徑做O0,設(shè)OO與CD切于點E因為/B=ZA=90°所以ADBC為O0的切線即AD=DEBC=CE所以AD+BC=CD而條件中AD+BC<DC我們把CD向左平移，如圖4,CD的長度不變，AD與BC的長度縮短，此時AD+B?DC,點0到CD的距離0E小于O0的半徑OECD與O0訂交，/ARB和/AF2B是直徑AB所對的圓周角，都為90°,所以交點p、P,即為所求。所以，腰DC上使APIBP的動點P有2個。例3.如圖5,△ABC的外面有一動點P(在直線BC上方)，分別連接PBPC,試確立/BPC與/BAC的大小關(guān)系。(02年廣州市中考)解析：/BPC與/BAC之間沒有聯(lián)系，要確立/BPC與/BAC的大小關(guān)系，一定找適合的載體，作為它們之間的橋梁，這道橋梁就是圓，經(jīng)過構(gòu)造△ABC的外接圓，問題就會瓜熟蒂落。(1)當(dāng)點P在厶ABC外接圓外時，如圖5，連接BD,依據(jù)外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角，/BP?ZBDC又因為/BDC=ZBAC所以/BP?ZBAC(2)當(dāng)點P在厶ABC外接圓上時，如圖6,依據(jù)同弧所對的圓周角相等，BPC=ZBAC(3)當(dāng)點P在厶ABC外接圓內(nèi)時，如圖7,延長BP交△ABC外接圓于點D,連接CD,則/BPOZBDC14

圖3圍応圖7又/BDC=ZBAC故/BPOZBAG綜上，知當(dāng)點P在厶ABC外接圓外時，BPCXZBAC當(dāng)點P在厶ABC外接圓上時，BPC=ZBAG當(dāng)點P在厶ABC外接圓內(nèi)時，BPOZBAC專題七、2010中考數(shù)學(xué)熱門專題打破訓(xùn)練一一動點問題動點試題是近幾年中考命題的熱門，與一次函數(shù)、二次函數(shù)等知識綜合，組成中考試題的壓軸題?動點試題大體分為點動、線動、圖形動三各種類?動點試題要以靜代動的解題思想解題?下邊就中考動點試題進行解析?出發(fā)，以每秒1cm的速度沿ATB-C的路線勻速運動，過點P作直線PM使PMLAD.例1(2006年福建晉州)如圖，在平行四邊形ABCD中,AD=4cm/A=60°,BDLAD.—動點P從A1.當(dāng)點P運動2秒時，設(shè)直線PM與AD訂交于點巳求厶APE的面積；2.當(dāng)點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發(fā)沿ATB的路線運動，且在AB上以每秒1cm的速度勻速運動，(當(dāng)P、Q中的某一點到達終點，則兩點都停止運動.)過Q作直線QN使QN/PM設(shè)點Q運動的時間為t秒(0<t<8),直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S(cni)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；求S的最大值.1.解析：此題為點動題，所以，1)搞清動點所走的路線及速度，這樣就能求出相應(yīng)線段的長；2)分析在運動中點的幾種特別地址由題意知，點P為動點，所走的路線為：ATBTC速度為1cm/s。而t=2s，故可求出AP的值，進而求出△APE的面積.略解：由AP=2，/A=60°得AE=1,EP=■.所以.2.解析：兩點同時運動，點P在前，點Q在后，速度相等，所以兩點距出發(fā)點A的距離相差總是2cm.P在AB邊上運動后，又到BC邊上運動.所以PMQN截平行四邊形ABCD所得圖形不同.故分兩種狀況：(1)①當(dāng)P、Q都在AB上運動時，PMQN截平行四邊形ABCD所得的圖形永遠為直角梯形.此時0Wt<6.②當(dāng)P在BC上運動，而Q在AB邊上運動時，畫出相應(yīng)圖形，所成圖形為六邊形DFQBPG不規(guī)則圖形面積用割補法.此時6vt<8.23⑴略解：①當(dāng)P、Q同時在AB邊上運動時，OWt<6.￡2^L岔AQ=t,AP=t+2,AF=t,QF=?t,AG=(t+2),由三角函數(shù)PG=「(t+2),￡￡￡'邑邑邑魚FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S=?(QF+PG)-FG=[■?仁「t+「t+「(t+2)]②當(dāng)6VtW8時，易求S平行四邊形ABC=16,S△AQF^AF-QF=-t:S=S平行四邊形ABCDS△AQF-S△GCF.PCPG_CG10-t_PG_CG由比率式NW莎可得1V；■而S^CG(=-PCPG,PC=4BP=4-(t+2-8)=10-t.二PG=「(10-t).???SMG=PC-PG=(10-t)''(10-t)=■(10-t)(6VtW8⑵解析：求面積的最大值時，應(yīng)用函數(shù)的增減性求.若題中分多種狀況，那么每一種狀況都要分別求出最大值，爾后綜合起來得出一個結(jié)論.此題分兩種狀況，那么就分別求出0WtW6和6VtW8時的最大值.0Wt<6時,是一次函數(shù)，應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)，因為一次項系數(shù)是正數(shù)，面積S隨t的增大而增大.當(dāng)6V<8時,是二次函數(shù)，應(yīng)用t配方法或公式法求最值.$冶?S=16‘--t2-「(10-t)24因為所以t=6時,略解:S最大=■25鳳_夕+価匚為菱形，點C的1個單位長度的速度因為S=（6Vtw8,所以t=8時，S最大=6飛」.綜上所述,當(dāng)t=8時，S最大=6■例2.（2006年錦州市）如圖，在平面直角坐標系中,坐四邊形OABC標為（4,0）,/AOC=60，垂直于I從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒x軸的直線運動，設(shè)直線I與菱形OABC勺兩邊分別交于點MN（點M在點N的上方）.2.設(shè)AOMN的面積為S,直線l運動時間為t秒（0wtw6），試求S與t的函數(shù)表達式;OC兩邊相交求A、B兩點的坐標;3.在題⑵的條件下，t為什么值時，S的面積最大？最大面積是多少?1.解析：由菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)易求A、B兩點的坐標.解：???四邊形OABC為菱形，點C的坐標為（4,0），???OA=AB=BC=CO=4圖①，過點A作ADLOC于D.v/AOC=60,二OD=2AD^療①0Wt時,直線與OAOC兩邊相（如圖W2交①）.圖③②2vtW4時,直線與AB（如圖②）.BC兩邊訂交③4VtW6時,直線與AB（如圖?A（2,-;：）,B（6,-;：）.③）.2.解析：直線I在運動過程中，隨時間t的變化，△MON的形狀也不停變化，所以，第一要把全部情況畫26出相應(yīng)的圖形，每一種圖形都要相應(yīng)寫出自變量的取值范圍。這是解決動點題重點之一直線Ix軸正方向運動與菱形OABC勺兩邊訂交有三種狀況:從y軸略解：①vMNLOC?-ON=t.?MN=ONtan6°二』玉./.S^ON-MN=2t2.27②S=ON-MN=t-2-:==；t.③方法一：設(shè)直線l與x軸交于點H.?/MN=2?二;-?=；(t-4)=6?二;一;t.￡￡迺???S=MN-OH一(6二;-二;t)t=-2■1+3?二;t.￡￡方法二：設(shè)直線l與x軸交于點H.?/S=&OMHS△ONH?S='t-2_2t羽(t-4)=?t2+3二;t.方法三：設(shè)直線l與X軸交于點H■/S=-^AEMN￡J3=8J3,S山=2-2J3-(t-2)=J3t-2"J31d73(t-4)=2V3t-8'-,l.??.一.(6-t)(6-t)=18V3-6V3t+「t2.S=8't-(=t-2=)-(2t-8)-(18'「-6=t+「12)=-：-t2+^-t.3.求最大面積的時候，求出每一種狀況的最大面積值，爾后再綜合每種狀況，求出最大值邑廠略解：由2知，當(dāng)OWt<2時，％大=2X22=2』=;當(dāng)2VtW4時，l；=4'二；；爲當(dāng)4VtW6時，配方得S=-「(t-3)2+028又???又???（4分）

???當(dāng)t=3時，函數(shù)S=——t2+3.<t的最大值是但t=3不在4vt<6內(nèi)，.??在4vt<6內(nèi)，函數(shù)S=-：12+3-t的最大值不是而當(dāng)t>3時，函數(shù)S=-「t2：???當(dāng)4Vt<6時，SV4^~.+3-t隨t的增大而減小,上所述，當(dāng)t=4秒時，=4二;.1、(09包頭)如圖，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點D為AB的中點.若是點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動.①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP可否全等，請說明原因;②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？(2)若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以本來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？解：（1）①Tt=1秒，?BP=CQ=31=3厘米，A?/AB=10厘米，點D為AB的中點,BD=5厘米.PCBC-BP,BC=8厘米，PC=8-3=5厘米，???PC=BD.AB=AC,B=C,???△BPDCQP.................②TvP=VQ,?BP=CQ,又???△BPDCQP,B=C，貝UBP二PC=4,CQ二BD=5,BP4???點P，點Q運動的時間t=匹=4秒，3329CQ515二VQ厘米/秒....................................................（7分）Qt443（2）設(shè)經(jīng)過x秒后點P與點Q第一次相遇，15x=80秒.由題意，得x=3x210,解得34???點P共運動了803=80厘米.3?/80=22824,???點P、點Q在AB邊上相遇,?經(jīng)過秒點P與點Q第一次在邊AB上相遇......................................（12分）33一2、（09齊齊哈爾）直線yx6與坐標軸分別交于AB兩點，動點P、Q同時從O點出發(fā)，同時4到達A點，運動停止?點Q沿線段OA運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿路線OTBTA運動.1）直接寫出A、B兩點的坐標;2）設(shè)點Q的運動時間為t秒，△OPQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；48O、（3）當(dāng)S時，求出點P的坐標，并直接寫出以點5M的坐標.點的平行四邊形的第四個極點解（1）A（8,0）B（0,6）.........1分2）；OA=8,OB=6.AB=108點Q由O到A的時間是8（秒）1二點P的速度是乞乜0=2（單位/秒）?分8當(dāng)P在線段OB上運動（或0<t<3）時，OQ=t,OP=2t當(dāng)P在線段BA上運動（或3：t<8）時，OQ=t,AP=6?10-2t=16-2t.PDAP48-6t如圖，作PD_OA于點D，由竺二竺，得卩。-4^6!,.............................................................1分BOAB51322430二S=丄OQ漢PD=—^t2+絲t.....................................................................................1分255（自變量取值范圍寫對給1分，不然不給分.）31(3)P8,24552824)f1224)-『1224Ii,M21M-—55,3T,.55—13(09深圳)如圖，在平面直角坐標系中，直線I:y=—2x—8分別與x軸，y軸訂交于A,B兩點，點P(0,k)是y軸的負半軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑作OP.(1)連接PA，若PA=PB,試判斷OP與x軸的地址關(guān)系，并說明原因；(2)當(dāng)k為什么值時，以O(shè)P與直線I的兩個交點和圓心P為極點的三角形是正三角形?解：(1)OP與x軸相切.???直線y=—2x—8與x軸交于A(4,0),與y軸交于B(0,—8),/?OA=4,0B=8.由題意，0P=—k,???PB=PA=8+k.在Rt△A0P中，k2+42=(8+k)2,k=—3,「.OP等于OP的半徑，OP與x軸相切.設(shè)OP與直線l交于C,D兩點，連接PC,PD當(dāng)圓心P在線段OB上時作PE丄CD于E.13???△PCD為正三角形，?DE=-CD=3,22PD=3,PE=31.2???/AOB=ZPEB=90°,/ABO=/PBE,?△AOBPEB,3.3?二醫(yī)即4=三ABPB4.5PBPB=3152?PO二BO-PB=8-2315°、?-P(0,_28),屆?k8.2P(0,-于-8),當(dāng)圓心P在線段OB延長線上時，同理可得?k=—癥—8,0x2(圖1)21.??當(dāng)k=3^5—8或k=—丄丄5—8時，以O(shè)P與直線I的兩個交點和圓心P為極點的三角形是正三角22形?5(09河北)在Rt△ABC中，/C=90°AC=3,AB=5.點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后馬上以本來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動.陪同著P、Q的運動，DE保持垂直均分PQ,且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E.點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止.設(shè)點P、Q運動的時間是t秒(t>0).當(dāng)t=2時，AP=______，點Q到AC的距離是________(2)在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；(不用寫出t的取值范圍)(3)在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED可否成為直角梯形？若能，求t的值.若不能夠，請說明原因；當(dāng)DE經(jīng)過點C時，請直接寫出t的值.8解：(1)1,；(2)作QF丄AC于點F，如圖3,AQ=CP=t,「.AP=3_t.由厶AQFABC,BC二5^?=4,得QFQF=4t.45514--S石(3-1)才,即^_2t26t.55(3)能.①當(dāng)DE//QB時，如圖4.???DE丄PQ,.PQ丄QB,四邊形QBED是直角梯形.此時/AQP=90°由厶APQABC，得也=空ACAB'A_PC即EI.解得t=9.圖5358②如圖5,當(dāng)PQ//BC時，DE丄BC,四邊形QBED是直角梯形.此時/APQ=90°.由厶AQPABC,得AQ=APABAC'即1=口.解得r15.538t=5或t晉.214①點P由C向A運動，DE經(jīng)過點C.連接QC,作QG丄BC于點G,如圖6.233AP圖7P—t,QC52gf"2[4一；(5切2.345由PC2二QC2，得t24-(5_t)]2[4__(5_t)]2，解得t二—.552②點P由A向C運動，DE經(jīng)過點C,如圖7.2—242451g普5」)]S(5_t)],】7（09濟南）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=-DC二5，AB=4.2,/B=45.動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點每秒C運動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以1個單位長度的速度向終點D運動.設(shè)運動的時間為t秒.1）求BC的長.2）當(dāng)MN//AB時，求t的值.3）嘗試究：t為什么值時，△MNC為等腰三角形.8（09江西）如圖1,在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點,過點E作CEF//BC交CD于點F.AB=4,BC=6,/B=60.（1）求點E到BC的距離；（2）點P為線段EF上的一個動點，過P作PM_EF交BC于點M，過M作MN//AB交折線ADC于點N，連接PN，設(shè)EP二X.①當(dāng)點N在線段AD上時（如圖2）,△PMN的形狀可否發(fā)生改變？若不變，求出△PMN的周長；若改變，請說明原因；CM圖2M圖圖13圖4（備用）圖5（備用）②當(dāng)點N在線段DC上時（如圖3），可否存在點P，使△PMN為等腰三角形？若存在，央求出全部知足要求的X的值；若不存在，請說明原因.解（1）如圖1,過點E作EG丄BC于點G........................1分???E為AB的中點，1二BEAB=2.2在RtAEBG中，/B=60,/?/BEG=30.........................2分3412-12二3.???BG=BE=1,EG=2235即點E到BC的距離為(2)①當(dāng)點N在線段AD上運動時，△PMN的形狀不發(fā)生改變.圖1同理MN二AB=4.................4分?/PM_EF，EG_EF，/?PM//EG.?/EF//BC,.EP=GM,PM=EG二3.如圖2,過點P作PH_MN于H，:MN//AB,???ZNMC丄B=60，/PMH=30.1?PHPM2?MH二PMLcos30=3.2沖35則NH=MN-MH=4-圖22在Rt△PNH中，PN二NH2PH2?△PMN的周長=PMPNMN=打、、74.②當(dāng)點N在線段DC上運動時，△PMN的形狀發(fā)生改變，但△MNC恒為等邊三角形.當(dāng)PM=PN時，如圖3，作PR_MN于R，則MR=NR.3近似①，MR.2?MN=2MR=3......................................................................................................7分?/△MNC是等邊三角形，?MC=MN=3.此時，x=圖5圖3圖4EP=GMMP二MN時，如圖4，這時MC=MN二MP-,3.此時，x=EP=GM=6-1-、、3=5-一336當(dāng)NP=NM時，如圖5，ZNPM=ZPMN=30.則ZPMN=120，又ZMNC=60，ZPNMZMNC=180.所以點P與F重合，△PMC為直角三角形.MC=PMLtan30=1.237則厶APMABF.ST-.APAMPtAMMPM_BF.10_6_8'AB-AF?AM34PM?PN=OM3=10——t,4t,.tON=PMt55=4.55此時，x=EP=GM=6

xGC綜上所述，當(dāng)x=2或4或(5—J3)時，△PMN為等腰三角形....................-10分9(09蘭州)如圖①，正方形ABC呼，點AB的坐標分別為(0,10),(8,4),點C在第一象限?動點P在正方形ABC啲邊上，從點A出發(fā)沿g4CTD勻速運動，同時動點Q以同樣速度在x軸正半軸上運動，當(dāng)P點到達D點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒.(1)當(dāng)P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標x(長度單位)關(guān)于運動時間t(秒)的函數(shù)圖象如圖②所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；求正方形邊長及極點C的坐標；(3)在(1)中當(dāng)t為什么值時，△OPC的面積最大，并求此時P點D的坐標；(4)若是點P、Q保持原速度不變，當(dāng)點P沿AT4CTD勻速運動時，OP與PQ可否相等，若能，寫出全部吻合條件的t的值；若不能夠，請說明原因.解：(1)Q(1,0)..............................1分點P運動速度每秒鐘1個單位長度............2分(2)過點B作BF丄y軸于點F,BE丄x軸于點E，則BF=8,OF=BEO=4.AF=10-4=6.在Rt△AFB中，ABf丫8262=10過點過點P作作CG丄x軸于點G，與FB的延長線交于點H.；乙ABC=90,CPAB=BC/.△ABFBCH.BH二AF=6,CH二BF=8.-OG二FH二8：：6=14,CG二8■■4二12.?所求C點的坐標為（14,12）...............4分M,PN丄x軸于點N,設(shè)厶OPQ的面積為S(平方單位)134732???s=_匯(10_—t)(1+t)=5十——t_—t(0W1051010說明：未注明自變量的取值范圍3不扣分.△OPQ的面積最大.<0；a10479453此時P的坐標為15'10???當(dāng)時,62X（_3）10(4).................................................................................................................................................

yAMFBONQEOP當(dāng)點或“晉時，3810(09臨沂)數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1,四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中與PQ相等...........................................................................9分39點./AEF=90；，且EF交正方形外角ZDCG