2022年高考數(shù)學一輪復習 幾何法解空間角（精練）（解析版）

7.4幾何法解空間角（精練）【題組一線線角】1.（2021·全國高三其他模擬（理））如圖所示，直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點為，的中點為，，，所以或其補角即為與所成角，設，則，，在，，故選：A2．（2021·河南商丘市·高三月考（文））在正方體中，點分別在棱上，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，在平面內(nèi)作，交BG于N，則(或其補角)即為與所成角．因為是正方體，不妨設，則，由勾股定理得，又,所以，所以在中，，即與所成角的余弦值為，故選：C.3．（2021·四川自貢市·高三三模（文））已知六棱錐P﹣ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則異面直線CD與PB所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：設AB＝1，則PA＝2，AE＝＝，PE＝＝，BE＝2，PB＝＝∵CD與BE平行，∴∠PBE是是直線CD與PB所成的角（或所成角的補角），∴直線CD與PB所成的角的余弦值為：，故選：C．4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知點，分別為圓錐的頂點和底面圓心，為圓錐底面的內(nèi)接正三角形，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示連接，，延長交于點，取中點，連接，.因為為正三角形，且為的外心，所以為的中點，故∥，則即為異面直線與所成的角.設，則，.由題意可知為等邊三角形﹐則，在中，.故選：B5．（2021·遼寧高三其他模擬）如圖是一個正方體的平面展開圖，則在原正方體中，與所成的角為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知正方體的直觀圖如圖：連接，，則，所以就是與所成的角，因為幾何體是正方體，所以是正三角形，所以與所成的角為：.故選：C.6．（2021·黑龍江哈爾濱市第六中學校高三月考（文））已知在正四面體中，點為棱的中點，則異面直線與成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取中點，連接，為，中點，，即為異面直線與成角，設正四面體棱長為2，則,.故選：A.7．（2021·全國高考真題（理））在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，，所以.故選：D8．（2021·玉林市第十一中學高三其他模擬（文））如圖，在正方體中，M，N分別為AD，AB的中點，則異面直線D1M與DN所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點Q，連接，則，或其補角即為異面直線D1M與DN所成角，不妨設正方體的棱長為4，則,，，所以，所以異面直線D1M與DN所成角的余弦值為.故選：A.9．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈師大附中高三月考（文））三棱錐所有棱長都為2，，分別為，的中點，則異面直線，所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接CF，取CF的中點O，連接EO，BO，∵E是PC的中點，∴EO∥PF，∴（或其補角）是異面直線BE與PF所成的角.設三棱錐P－ABC的所有棱長為2，則,則，則，在中，由余弦定理得，∴異面直線BE與PF所成角的余弦值為.10．（2021·廣西南寧三中高三其他模擬（文））在正方體中，O是底面的中心，E為的中點，那么異面直線與所成角的余弦值等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中點，連接，如圖所示，為的中點，，故即為異面直線與所成角，設正方體的棱長為，則在中，，故，故選：B.【題組二線面角】1．（2021·浙江溫州市·溫州中學高三其他模擬）已知在六面體中，平面，平面，且，底面為菱形，且．（1）求證．平面平面．（2）若直線與平面所成角為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）連接，交于，底面為菱形，，平面，平面，，，平面，平面，平面平面；（2）設，則平面，即為直線與平面所成角，即，，平面，平面，，，平面，平面，平面平面，即為直線與平面所成角，，為菱形，，,則.2．（2021·寧波市北侖中學高三其他模擬）在三棱錐中，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】⑴如圖，作，連接，由，可知為邊長為的正方形，，又，所以平面，；同理，,得平面，，，所以平面，所以，又，得平面，得．⑵由⑴知平面，平面PAB，所以平面平面，過點作于，平面，即為與平面所成角．由于全等，，，所以為等邊三角形，，故，所以點為中點，故，，所以與平面所成角和與平面所成角相等，故直線與平面所成角的正弦值為．3．（2021·全國高三其他模擬）如圖所示的幾何體是由三棱柱和四棱錐組合而成的，已知，線段與交于點，，分別為線段，的中點，平面平面，平面．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若是邊長為2的等邊三角形，，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）連接，因為平面，平面平面平面ABC1，所以，由為線段的中點，可知為線段的中點，又為線段的中點，所以四邊形為平行四邊形．（2）如圖，連接，，由（1）及是邊長為2的等邊三角形可知，平行四邊形為菱形，且，．易知四邊形為菱形，又，，所以，．又，所以平面，所以．因為，所以．因為，平面平面，平面平面，所以平面，所以，又為的中點，，所以，，又，所以平面，故為直線與平面所成的角．易知，故．故直線與平面所成角的正弦值為．4．（2021·浙江高三其他模擬）已知直角梯形，，，，為的中點，將沿翻折至.（1）求證：；（2）若，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）過點P作PE⊥BD于E，連接EF，中，令PD=1，則BD=2PD=2，，，如圖：直角梯形中，顯然有，而，則，又，即△為正三角形，而為的中點，則，又，中，由余弦定理得，即，是直角三角形，有，而PE⊥BD，，所以面，面，故；(2)過B作BQ⊥平面PAD與平面PAD交于點Q，連接PQ，則PQ是PB在平面PAD內(nèi)射影，是直線PB與平面PAD所成角，如圖：因面，即平面面，平面面，過點P作PO⊥EF于O，則面，由(1)，，，中，PD=DF=1，則，，，由得，即，，，所以與平面所成角的正弦值為.5．（2021·浙江溫州市·高三三模）如圖，四棱臺的底面為正方形，面，．（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線m與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：連結(jié)交交于點O，連結(jié)，，由多面體為四棱臺可知四點共面，且面面，面面，面面，∴，∵和均為正方形，，∴，所以為平行四邊形，∴，面，面，∴平面．（2）∵面，平面，平面，∴，又∵，∴∴求直線m與平面所成角可轉(zhuǎn)化為求與平面所成角，∵和均為正方形，，且，∴，，∴，又∵面，∴∴面，∴面面，由面面，設O在面的投影為M，則，∴為與平面所成角，由，可得，又∵，∴∴，直線m與平面所成角的正弦值為.6．（2021·浙江湖州市·高三二模）已知三棱柱，是正三角形，四邊形是菱形且，是的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設中點為，連結(jié)，，如圖：由得，由是正三角形得，又，故平面，因此；（2）三棱柱中，四邊形是菱形，設中點為，平面交于，連結(jié)，設，平面ABC//平面A1B1C1，平面平面ABC=AD，平面平面A1B1C1=MN，則，而AC//A1C1，由等角定理得，，則有，M是A1C1中點，，即得，由(1)平面得平面平面，則為在平面內(nèi)的射影，四邊形AMNE為平行四邊形，即AM//EN，所以為與平面所成的角，由四邊形是直角梯形，得，中，，則，中，，，，所以，直線與平面所成角的正弦值為.7．（2021·山西臨汾市·高三其他模擬（理））圖1是由和組成的一個平面圖形，其中，，，，分別為，的中點，，，將沿折起，使點到達點的位置，且平面平面，如圖2.（1）求證：點在平面內(nèi)；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：在中，因為，是，的中點，所以，又因為，，可得，則，即，，，四點共面.即證點在平面內(nèi).（2）方法一：過作，連接.因為平面平面，且平面平面，所以面.所以為直線與平面所成角.在中，，，在中，，，，由余弦定理可得.在中，.所以.即直線與平面所成角的正弦值為.方法二：取中點為，連接，，因為，所以，.又因為平面平面，且平面平面，所以面.設點到平面的距離為，因為，所以，.在中，，所以.設直線與平面所成角為，所以.即直線與平面所成角的正弦值為.8．（2021·全國高三其他模擬（文））如圖，在三棱錐中，三角形為等腰直角三角形且，側(cè)棱，，相等且，為的中點．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）連接，因為為等邊三角形，為的中點，所以，因為，所以，所以，在中，因為，所以，即，又因為，所以平面．又由平面，所以平面平面．（2）由（1）知平面，因為平面，所以，因為，且，所以平面，所以為與平面所成的角，在直角中，因為，，所以．【題組三二面角】1．（2021·黑龍江哈爾濱市）如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點，且．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）∵平面，平面，∴，∵，，，如圖過作交于點，所以，，所以∴，，又平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）由（1）知平面，平面，∴，又有，故即二面角的平面角，∵平面，平面，∴，所以因為，所以在中，，所以二面角的余弦值為．2．（2021·河北高三其他模擬）在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，為等腰直角三角形，，E為的中點，且.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（（1）證明：取中點，連接、，如圖，為等腰直角三角形，，且，，且，即，，四邊形是正方形，，，、面，面，面，，，且、面，面，面，平面平面．（2）平面平面，，，，，取中點，則，，，即為所求二面角的平面角，，，面與面所成的銳二面角余弦值為．3．（2021·全國高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)詳見解析(2)【解析】（（1）因為AB=AD,O為BD中點，所以AO⊥BD因為平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因為平面BCD，所以AO⊥CD(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,連FM因為AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC因為FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME則為二面角E-BC-D的平面角,因為,為正三角形,所以為直角三角形因為,從而EF=FM=平面BCD,所以4．（2021·重慶高三三模）如圖正三棱柱的所有棱長均為2，分別是棱的中點.（1）求證：面；（2）求三棱錐的體積；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）證明：因為是三棱柱，所以，又，，所以，所以，平面，面，所以面；（2）解：由（1）可得，，所以，其中為點到平面的距離，因為正三棱柱的所有棱長均為2，所以，故，所以三棱錐的體積為；（3）解：設二面角，，的平面角分別為，，，則，所以，過點作于點，連結(jié)，則，所以，，同理可得，，，所以，故二面角的余弦值為．5．（2021·廣東珠海市·高三二模）如圖，圓柱，矩形為過軸的圓柱的截面，點為弧的中點，點為的中點.（1）求證：平面；（2）若，三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）矩形為過軸的圓柱的截面，設，連接，則為中點，如圖：點為弧的中點，則CC1是圓柱OO1的母線，是矩形，點為的中點，則，，有四邊形是平行四邊形，，平面，平面，所以平面；（2）設圓錐底面半徑，由點C是弧AB中點得，因，三棱錐的體積為，平面，三棱錐的體積，即，得，，取中點，連接，如圖：因，平面平面，則有平面，而，則，，，，為二面角的平面角，由，得：.所以二面角的余弦值為.6．（2021·江蘇蘇州市·常熟中學高三三模）如圖，在多面體ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四邊形ACDE為直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，∠ABC=60°，CD=1，AE=AC=2，F(xiàn)為BE的中點．（1）當BC的長為多少時，DF⊥平面ABE．（2）求平面ABE與平面BCD所成的銳二面角的大?。敬鸢浮浚?）BC=2；（2）60°．【解析】（1）取AB的中點G，連接FG，CG，∵F為BE的中點∴，又∵，∴∴四邊形CDFG為平行四邊形，∴CG//DF∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面∴AE⊥平面ABC，∴AE⊥CG，要使DF⊥平面ABE，則只需CG⊥平面ABE，由線面垂直定理，只需，故BC=2.BC=2時，，又，，平面，所以平面，即DF⊥平面ABE；（2）過B作BHCD，則，連接，所以平面平面＝，證明如下：設平面平面平面＝，由，平面，平面，得平面，所以，即，而平面的交線只有一條，所以．由（1），同理，所以，則即所求二面角的平面角而，∴所成銳二面角為.7．（2021·江蘇揚州市·高三其他模擬）如圖，四棱錐中，平面，，，，，，平面.（1）證明：平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：∵平面，平面，平面平面，∴，∵，∴，∵，∴，，∵，，∴∴，∴，又∵平面，平面，∴，∵，∴平面.（2）∵與平面所成角為，∴，∴，∵平面，過作于點，連接，因為平面，而平面，所以，因為，所以平面，而平面，所以，所以即為所求二面角的平面角，因為，，所以，∵，∴，∴.8．（2021·遼寧錦州市·高三一模）如圖，在正三棱柱中，為的中點，若，.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：連接，交于，連接，因為四邊形為矩形，所以為中點，又因為為的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）解：取中點，過作于，連接，因為為正三棱柱，所以，平面平面，所以平面，于是在平面內(nèi)的射