靜電能量與力

關(guān)于靜電能量與力第一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

用場(chǎng)源（電荷和電位）表示靜電能量討論前提線(xiàn)性系統(tǒng)；電場(chǎng)建立無(wú)限緩慢，忽略能量的輻射；沒(méi)有動(dòng)能，只考慮位能。明確幾點(diǎn)：帶電系統(tǒng)的靜電能量是由外界提供的能量轉(zhuǎn)化而獲得的；帶電系統(tǒng)的靜電能量等于將各電荷元從無(wú)限遠(yuǎn)移來(lái)過(guò)程中外力作的功，即外力所做的功等于帶電系統(tǒng)能量的增加；帶電系統(tǒng)的形成過(guò)程實(shí)際上就是建立電場(chǎng)的過(guò)程，帶電系統(tǒng)的靜電能量分布在電場(chǎng)所在的整個(gè)空間中。第二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日電荷之間具有相互作用能（電位能），當(dāng)電荷間相對(duì)位置發(fā)生變化或系統(tǒng)電荷量發(fā)生變化時(shí)，靜電能轉(zhuǎn)化為其它形式的能量。假設(shè)q1、q2從相距無(wú)窮遠(yuǎn)移至相距為r。先把q1從無(wú)限遠(yuǎn)移至A點(diǎn)，因q2與A點(diǎn)相距仍然為無(wú)限，外力做功等于零。一、電荷系統(tǒng)的靜電能量（1）兩個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)第三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日再把q2從無(wú)限遠(yuǎn)移至B點(diǎn)，外力要克服q1的電場(chǎng)力做功，其大小等于系統(tǒng)電勢(shì)能的增量。V2是q1在B點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)，V∞是q1在無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)。所以第四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日同理，先把q2從無(wú)限遠(yuǎn)移B點(diǎn)，再把q1移到點(diǎn)，外力做功為V1是q2在A點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)。兩種不同的遷移過(guò)程，外力做功相等。根據(jù)功能原理，外力做功等于系統(tǒng)的相互作用能W。第五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日可改寫(xiě)為

Vi為qi處的電位，表示在給定的點(diǎn)電荷系中，除第i個(gè)點(diǎn)電荷之外的其他所有點(diǎn)電荷在第i個(gè)點(diǎn)電荷處所激發(fā)的電位。第六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日依次把q1、q2、q3從無(wú)限遠(yuǎn)移至所在的位置。把q1

移至A點(diǎn)，外力做功再把q2

移至B點(diǎn)，外力做功最后把q3

移至C點(diǎn)，外力做功（2）三個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)第七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日三個(gè)點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)的相互作用能量（電勢(shì)能）第八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日可改寫(xiě)為V1是q2和q3在q1

所在處產(chǎn)生的電位.V2是q1和q3在q2

所在處產(chǎn)生的電位.V3是q1和q2在q3

所在處產(chǎn)生的電位.第九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日推廣至由n個(gè)點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)，其相互作用能（電位能）為Vi是除qi外的其它所有電荷在qi

所在處產(chǎn)生的電位。（3）多個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)第十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日以體電荷分布為例，設(shè)想不斷把體電荷元dV從無(wú)窮遠(yuǎn)處遷移到物體上，系統(tǒng)的靜電能為是體電荷元處的電位。同理，面分布電荷系統(tǒng)的靜電能為：二、電荷連續(xù)分布導(dǎo)體系統(tǒng)的靜電能量第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日以平板電容器C為例，計(jì)算電容器兩極板A和B分別帶有電量和，兩極板間電勢(shì)差為時(shí)，所具有的靜電能量。外力作功，使原來(lái)無(wú)電場(chǎng)的電容器兩極間建立了靜電場(chǎng)！三、靜電場(chǎng)的能量密度與總能量第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)電容器極板帶電，兩板電勢(shì)差為時(shí)，把電荷元從板移到板，外力克服電場(chǎng)力作功為

若使電容器兩板帶電和，外力總功即為電容器靜電能量。即第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日平板電容器的能量電能貯藏在電場(chǎng)中，靜電場(chǎng)能量的體密度為上式雖然從特例導(dǎo)出，但這是一個(gè)普遍適用公式，對(duì)任意電場(chǎng)都是正確的，因此，計(jì)算任一帶電系統(tǒng)整個(gè)電場(chǎng)的總能量為其積分遍及電場(chǎng)所占有的整個(gè)空間。第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日電荷增量設(shè)將dq電荷移至電場(chǎng)中外源做功四、帶電系統(tǒng)靜電能量的一般推導(dǎo)過(guò)程第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日推廣2：若是帶電導(dǎo)體系統(tǒng)，靜電能量為推廣1：若是連續(xù)分布的電荷，

注意上式建立在靜電場(chǎng)是位場(chǎng)的基礎(chǔ)上，只適用于靜電場(chǎng)。第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日推廣3：若是n個(gè)點(diǎn)電荷的系統(tǒng)，靜電能量為只含互有能固有能和相互作用能固有能將一個(gè)帶電體視為無(wú)窮多個(gè)帶電體元。將這無(wú)窮多個(gè)帶電體元從無(wú)限分散狀態(tài)聚集成該帶電體，外力所作的功即為該帶電體的固有能?；ビ心馨迅鲄^(qū)域的電荷放置到各自給定位置所需的功?；蛘哒f(shuō)，將各帶電體從現(xiàn)有位置彼此分開(kāi)到無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，他們之間的靜電力所做的功定義為帶電體間的互有能。第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)空間有兩個(gè)電荷分布區(qū)

說(shuō)明要把一定量的電荷壓縮到幾何上的一個(gè)點(diǎn)需要克服無(wú)窮大的斥力，需要作無(wú)窮大的功。同理，線(xiàn)電荷的固有能也為無(wú)窮大。對(duì)點(diǎn)、線(xiàn)電荷只研究互有能。點(diǎn)電荷qV11V22當(dāng)?shù)谑隧?yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

半徑為a的球面帶電荷Q，球心放一點(diǎn)電荷q，求靜電能量。球面電荷的固有能例解qQ在球面產(chǎn)生的電位Q在球心建立的電位q在球面產(chǎn)生的電位把點(diǎn)電荷從移至球面電荷中心所需作的功第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

用場(chǎng)量表示靜電能量能量矢量衡等式若用公式計(jì)算第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日定義能量密度各向同性均勻媒質(zhì)適用于靜電場(chǎng)和時(shí)變場(chǎng)因當(dāng)時(shí)，面積分為零，故第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

半徑為a的球面帶面電荷Q，球心放一點(diǎn)電荷q，求靜電能量。例解q點(diǎn)電荷的固有能第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

試求平板電容器的靜電能量。例

平行板電容器解帶電導(dǎo)體系統(tǒng)電容能量的計(jì)算式第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

試求真空中體電荷密度為的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。由場(chǎng)量求靜電能量例解一第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

由場(chǎng)源求靜電能量球內(nèi)任一點(diǎn)的電位解二第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

原子可看成由帶正電荷q的原子核被體電荷分布的負(fù)電荷云-q包圍，試求原子結(jié)合能。前例中當(dāng)時(shí)

原子結(jié)構(gòu)模型例解第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.靜電力

(ElectrostaticForce)1）根據(jù)電場(chǎng)定義計(jì)算靜電力注意上式使用的條件只適用于均勻介質(zhì)式中的電場(chǎng)E不包括dq本身的貢獻(xiàn)矢量積分第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

多導(dǎo)體系統(tǒng)(K打開(kāi))虛位移法2）根據(jù)電場(chǎng)能量計(jì)算靜電力

在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，導(dǎo)體p發(fā)生位移dg后,系統(tǒng)發(fā)生的功能過(guò)程為：外源提供能量

=

靜電能量增量+

電場(chǎng)力所作功常電荷系統(tǒng)（K打開(kāi)）第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

取消外源后，電場(chǎng)力做功必須靠減少電場(chǎng)中靜電能量來(lái)實(shí)現(xiàn)。表明常電位系統(tǒng)（K閉合）

多導(dǎo)體系統(tǒng)(K閉合)p外源提供能量的增量第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場(chǎng)力做功。表明注意

dg廣義坐標(biāo)：距離、面積、體積、角度。第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日廣義力×廣義坐標(biāo)=功

廣義坐標(biāo)距離面積體積角度廣義力機(jī)械力表面張力壓強(qiáng)轉(zhuǎn)矩單位NN/mN/m2Nm

f廣義力：企圖改變某一個(gè)廣義坐標(biāo)的力。滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)關(guān)系：

廣義力是代數(shù)量，根據(jù)

f的“±”號(hào)判斷力的方向。廣義力的正方向?yàn)閺V義坐標(biāo)增加的方向。第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日常電位系統(tǒng)試求圖示平行板電容器兩極板間的電場(chǎng)力。平行板電容器取d為廣義坐標(biāo)（相對(duì)位置坐標(biāo)）

負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)力的方向企圖使廣義坐標(biāo)d減小，即電容增大。例解一第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日常電荷系統(tǒng)當(dāng)滿(mǎn)足所設(shè)條件，兩種計(jì)算結(jié)果相同解二第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

圖示一球形薄膜帶電表面，半徑為a，其上帶電荷為q，試求薄膜單位面積所受的電場(chǎng)力。

取體積為廣義坐標(biāo)f的方向是廣義坐標(biāo)V增加的方向，表現(xiàn)為膨脹力。N/m2

球形薄膜例解第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)庫(kù)侖定律，點(diǎn)電荷q處的電場(chǎng)應(yīng)用虛位移法圖示為半徑為R、接電壓U0的導(dǎo)體球位于點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中，試求導(dǎo)體球所受的電場(chǎng)力。

應(yīng)用鏡像法例解Q第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

沿廣義坐標(biāo)增大的方向

設(shè)為常電荷系統(tǒng)

設(shè)為常電位系統(tǒng)

虛位移法的結(jié)果不正確，因?yàn)橄到y(tǒng)不屬于常電位系統(tǒng)，也不是常電荷系統(tǒng)。第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日3）根據(jù)法拉第觀點(diǎn)計(jì)算靜電力（Farade’sreview）

法拉第認(rèn)為，在場(chǎng)中沿通量線(xiàn)作一通量管，沿其軸向受到電場(chǎng)的縱張力，垂直于軸線(xiàn)方向受到側(cè)壓力，縱張力和側(cè)壓力大小相等，為：

電位移管受力情況

物體受力情況第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

如平板電容器極板受力大?。簶O板單位面積受力大小：應(yīng)用法拉第對(duì)電場(chǎng)清晰和形象化的描述可以定性的分析判斷帶電系統(tǒng)受力情況法拉第觀點(diǎn)的作用第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用法拉第觀點(diǎn)可以對(duì)一些電場(chǎng)力問(wèn)題進(jìn)行定量的計(jì)算。第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

計(jì)算平板電容器中介質(zhì)分界面上的壓強(qiáng)。圖(a)若，則力由指向。(a)(b)例解第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D(b)分界面受力總是從大的介質(zhì)指向小的介質(zhì)。若，則力由指向。(b)結(jié)論當(dāng)有電場(chǎng)垂直或平行于兩種介質(zhì)分界面時(shí)，作用在分界面處的力總是和界面垂直。第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

帶電長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)位于大地上方，試分析導(dǎo)線(xiàn)正下方介質(zhì)的受力情況。例分析應(yīng)用法拉第觀點(diǎn)受到膨脹力同時(shí)受到向上的力第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力有限差分法鏡像法,電軸法分離變量法直接積分法數(shù)值法解析法邊值問(wèn)題邊界條件電位基本方程D

的散度基本物理量E、D基本實(shí)驗(yàn)定律（庫(kù)侖定律）靜電場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)E

的旋度第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日靜態(tài)場(chǎng)的應(yīng)用靜電分離SteadyFieldApplications靜電噴涂第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日變壓器（6kV:250kV