卡方檢驗(yàn)與非參數(shù)檢驗(yàn)

卡方檢驗(yàn)和非參數(shù)檢驗(yàn)在總體分布形式已知條件下未知參數(shù)檢驗(yàn)問(wèn)題。但實(shí)際問(wèn)題中總體的分布形式往往是未知的，雖然根據(jù)中心極限定理可以有相當(dāng)?shù)陌盐照J(rèn)為大多數(shù)經(jīng)濟(jì)變量服從或近似服從正態(tài)分布，但有時(shí)為了使所做的統(tǒng)計(jì)推斷更具說(shuō)服力，就需要對(duì)總體的分布形式進(jìn)行檢驗(yàn)。1

本章主要內(nèi)容：（1）總體分布的卡方（）檢驗(yàn)；（2）兩個(gè)比例差異的卡方（）檢驗(yàn)（獨(dú)立樣本）；（3）兩個(gè)以上比例差異的卡方（）檢驗(yàn)（獨(dú)立樣本）；（4）獨(dú)立性的卡方（）檢驗(yàn)；（5）兩個(gè)比例差異的McNEMAR檢驗(yàn)（相關(guān)樣本）；（6）兩個(gè)獨(dú)立總體的非參數(shù)檢驗(yàn)（Wilcoxon秩和檢驗(yàn)）；（7）單因素方差分析的非參數(shù)檢驗(yàn)（Kruskal-Wallis秩檢驗(yàn)）2檢驗(yàn)的基本原理(1)設(shè)x1,x2,,xn為總體X的一組樣本觀察值，F(xiàn)(x)為某一已知分布的分布函數(shù)，1,

2,,

r是的r個(gè)待定參數(shù)，分別是r個(gè)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，以分別代替1,

2,….,r，作原假設(shè)H0：總體X的分布函數(shù)為F(x)(2)將F(x)的定義域劃分為k個(gè)互不相交的區(qū)間(ai,ai+1，i=1,2,…,k；記fi為樣本觀察值x1,x2,…,xn落在第個(gè)區(qū)間(ai,ai+1

內(nèi)的頻數(shù)，并記Pi=P{ai<X≤ai+1}=F(ai+1)-F(ai)

3§.1總體分布的檢驗(yàn)為以F(x)為分布函數(shù)的隨機(jī)變量在區(qū)間(ai,ai+1

上取值的概率，i=1,2,…,k。則當(dāng)H0為真時(shí)，由貝努里定理，當(dāng)n充分大時(shí)，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果的實(shí)際頻率與其概率Pi之間的差異并不顯著，于是顯然可以用統(tǒng)計(jì)量來(lái)刻畫(huà)它們間總的差異的大小。其中nPi為理論頻數(shù)。當(dāng)H0為真時(shí)，下式的值就應(yīng)當(dāng)較小

4(3)可以證明，當(dāng)n充分大時(shí)(n≥50)，若H0為真，則統(tǒng)計(jì)量近似服從(k-r-1)分布。其中r為分布F(x)中待定參數(shù)的個(gè)數(shù)于是在給定顯著性水平下，若就拒絕H0，說(shuō)明總體X的真實(shí)分布函數(shù)與F(x)間存在顯著差異；否則接受H0，即可以認(rèn)為兩者在水平下并無(wú)顯著差異。5

某廠有一臺(tái)經(jīng)常需要維修的設(shè)備，該設(shè)備中有一個(gè)易損壞的重負(fù)荷軸承，設(shè)備故障的主要原因是軸承損壞。為了制定該設(shè)備的維修計(jì)劃和維修預(yù)算，需要了解該軸承的壽命分布。表10.1給出了100個(gè)軸承壽命的觀察數(shù)據(jù)，問(wèn)：該軸承壽命是否服從正態(tài)分布？6

解：由表中數(shù)據(jù)，用Excel可求得=120.95，S2=40.582，故可作原假設(shè)H0：X~N(120，402)將實(shí)軸劃分為如下7個(gè)互不相交的區(qū)間。用Excel的FREQUENCY函數(shù)計(jì)算數(shù)據(jù)落在各區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)，用NORMDIST函數(shù)求出各理論頻數(shù)nPi，統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算如表所示。78取顯著性水平

=0.25(由于原假設(shè)H0是我們希望得到的結(jié)果，為使檢驗(yàn)結(jié)論更具說(shuō)服力，控制的重點(diǎn)應(yīng)是與原假設(shè)H0不真而接受H0的概率，故

應(yīng)取的稍大些)。本例中k=7，r=2，k–r-1=4。故在水平

=0.25下接受原假設(shè)H0，即可認(rèn)為該軸承的使用壽命服從N(120，402)分布。9§.2比例差異的檢驗(yàn)（獨(dú)立樣本）§10.2.1兩個(gè)比例差異的檢驗(yàn)前面，我們研究了兩個(gè)比例的Z檢驗(yàn)。這部分從不同角度檢驗(yàn)數(shù)據(jù)。假設(shè)檢驗(yàn)過(guò)程使用近似卡方（）分布的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)。如果想要比較兩個(gè)獨(dú)立樣本組的分類(lèi)變量，可以做兩維的列聯(lián)表，顯示每組的第1類(lèi)（正向類(lèi)，如“成功”，“是”等）和第2類(lèi)（反向類(lèi)，如“失敗”，“否”等）出現(xiàn)的頻數(shù)，如表所示10為了檢驗(yàn)組一樣本有關(guān)類(lèi)1的比例是否等于第二組樣本有關(guān)類(lèi)1的比例，即假設(shè)檢驗(yàn)為：原假設(shè)為兩比例之間無(wú)顯著差異：備擇假設(shè)為兩比例之間有差異：使用卡方（）檢驗(yàn)的基本思路為：（1）.確定統(tǒng)計(jì)量為

(10.2.1)其中為列聯(lián)表中特定單元的觀測(cè)頻數(shù)，為列聯(lián)表中特定單元的期望頻數(shù)，因此這里的統(tǒng)計(jì)量是觀測(cè)頻數(shù)和期望頻數(shù)差的平方除以每單元的期望頻數(shù)，并對(duì)表中的所有單元格取和求得；11（2）可以證明上述統(tǒng)計(jì)量近似服從自由度為1的分布，因此在顯著性水平下，決策規(guī)則為：如果，拒絕否則，接受。1213應(yīng)用案例

有兩家酒店，為了確定服務(wù)質(zhì)量，要求顧客離開(kāi)時(shí)做滿(mǎn)意度調(diào)查，顧客可能會(huì)再次入?。桓鶕?jù)調(diào)查數(shù)據(jù)得到的列聯(lián)表如表10.5所示。問(wèn)在顯著性水平的情況下，顧客會(huì)回到酒店一和酒店二的比例是否相同。

141516171810.2.2兩個(gè)以上比例差異的檢驗(yàn)

統(tǒng)計(jì)量是觀測(cè)頻數(shù)和期望頻數(shù)差的平方除以每單元的期望頻數(shù)，并對(duì)表中的2×c個(gè)所有單元格取和求得因此統(tǒng)計(jì)量的自由度為1920應(yīng)用案例如果有四家酒店，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)得到的列聯(lián)表如表10.10所示。問(wèn)在顯著性水平的情況下，顧客會(huì)回到這四家酒店的比例是否相同。212223獨(dú)立性檢驗(yàn)24假設(shè)在上面例子中的酒店顧客滿(mǎn)意度的調(diào)查中，向表明不會(huì)再次入住酒店的顧客問(wèn)第二個(gè)問(wèn)題。即不會(huì)再次入住的原因是什么，包括價(jià)格、位置、客房服務(wù)和其他等。調(diào)查結(jié)果的列聯(lián)表如表10.14所示。試問(wèn)在顯著性水平的情況下，不會(huì)再次入住理由與酒店之間是否有聯(lián)系？25262728§10.3兩個(gè)相關(guān)樣本比例差異檢驗(yàn)293031應(yīng)用案例3233如果樣本容量很小，并且無(wú)法確定樣本數(shù)據(jù)是否來(lái)自正態(tài)分布總體，此時(shí)可以選擇以下兩種方法來(lái)分析兩獨(dú)立總體均值間的區(qū)別：（1）用不依賴(lài)于正態(tài)總體假設(shè)的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)；（2）對(duì)于數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)轉(zhuǎn)換后使用合并方差的t檢驗(yàn)。本節(jié)介紹用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)兩組值間是否有差別。在合乎這些檢驗(yàn)的條件下，Wilcoxon秩和檢驗(yàn)和合并方差及獨(dú)立方差的t檢驗(yàn)一樣有效；當(dāng)t檢驗(yàn)假設(shè)不符合時(shí)，Wilcoxon秩和檢驗(yàn)更有效。3410.4兩個(gè)獨(dú)立總體的非參數(shù)分析：Wilcoxon秩和檢驗(yàn)3536應(yīng)用案例37383940§10.5單因素方差分析的非參數(shù)分析：Kruskal-Wallis秩檢驗(yàn)

如果第9章中單因素方差分析的F檢驗(yàn)的正態(tài)分布假設(shè)條件不符合時(shí)，可以使用Kruskal-Wallis秩