2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考講練專題01空間幾何體導(dǎo)學(xué)案文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE20學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題01空間幾何體學(xué)習(xí)目標(biāo)1．進(jìn)一步認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征；能畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，并能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型；3.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖;4。了解空間圖形的不同表示形式-—平行投影與中心投影；5。記住柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積公式,并會(huì)應(yīng)用.二、知識(shí)梳理1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母,如五棱柱。幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等。表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐。幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分.分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等。表示:用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)。幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形；②側(cè)面是梯形；③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)。圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體。幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。圓錐:定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體。幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。圓臺(tái):定義:用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分。幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)。球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體.幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑.2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影)；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖-—斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：①原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變;②原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積（1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，為斜高，l為母線）(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式(4）球體的表面積和體積公式:V=；S=三、典型例題例1：根據(jù)下列對(duì)幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述，說(shuō)出幾何體的名稱．(1）由六個(gè)面圍成，其中一個(gè)面是凸五邊形，其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形;（2)一個(gè)等腰梯形繞著兩底邊中點(diǎn)的連線所在的直線旋轉(zhuǎn)180°形成的封閉曲面所圍成的圖形；(3）一個(gè)直角梯形繞較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體．【方法規(guī)律】根據(jù)所給的幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述，結(jié)合所學(xué)幾何體的結(jié)構(gòu)特征畫圖或找模型做出判斷。變式練習(xí)1。斜四棱柱的側(cè)面是矩形的面最多有(）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【答案】C【解析】如圖所示,在斜四棱柱AC′中,若AA′不垂直于AB,則DD′也不垂直于DC，所以四邊形ABB′A′和四邊形DCC′D′就不是矩形，但面AA′D′D和面BB′C′C可以為矩形．故選C。例2.如圖，ABCD是一水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，AB∥CD，AD⊥CD，且BC與y軸平行,若AB＝6，CD＝4，BC＝2eq\r（2），則該平面圖形的實(shí)際面積是________．【解析】由斜二測(cè)直觀圖的作圖規(guī)則知,該平面圖形是梯形，且AB、CD的長(zhǎng)度不變，仍為6和4，高BC＝4eq\r（2）,∴S＝eq\f（1，2）(4＋6）×4eq\r（2）＝20eq\r(2).【方法規(guī)律】eq\x（直觀圖）→eq\x（\a\al（斜二測(cè)畫,法規(guī)則））→eq\x（原幾何體)→eq\x(面積）變式練習(xí)2.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm），則該幾何體的體積是(）A．8cm3B．12cm3C。eq\f（32,3)cm3D.eq\f（40，3）cm3【答案】C例3。如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個(gè)平面所截,剩下部分母線長(zhǎng)的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是________．【解析】在該幾何體的上面，再補(bǔ)一個(gè)倒立的同樣幾何體，則構(gòu)成底面半徑為r，高為a＋b的圓柱．∴其體積為eq\f（1，2)πr2(a＋b)．【方法規(guī)律】當(dāng)幾何體是一個(gè)不規(guī)則圖形，無(wú)法直接利用公式來(lái)計(jì)算其體積，可通過(guò)割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體后再利用公式計(jì)算．變式練習(xí)3。如圖(1）所示,已知正方體面對(duì)角線長(zhǎng)為a，沿陰影面將它切割成兩塊，拼成如圖(2)所示的幾何體，那么此幾何體的全面積為(）(1)(2)A．(1＋2eq\r(2））a2B．(2＋eq\r(2))a2C．（3－2eq\r（2)）a2D．(4＋eq\r（2))a2【答案】B【解析】正方體的邊長(zhǎng)為eq\f（\r（2），2）a，新幾何體的全面積S＝2×eq\f(\r（2)，2)a×a＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r（2）,2)a）)2＋2×a×eq\f(a，2）＝(2＋eq\r(2）)a2.例4。如圖所示，圓臺(tái)母線AB長(zhǎng)為20cm，上、下底面半徑分別為5cm和10cm，從母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到B點(diǎn)，求這條繩子長(zhǎng)度的最小值．【分析】利用圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖轉(zhuǎn)化到平面圖形解決．變式練習(xí)4.圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為5cm的正方形ABCD，從A到C圓柱側(cè)面上的最短距離為（)A．10cmB。eq\f（5，2）eq\r(π2＋4）cmC．5eq\r(2)cmD．5eq\r（π2＋1）cm【答案】B【解析】如圖所示，沿母線BC展開(kāi)，曲面上從A到C的最短距離為平面上從A′到C的線段的長(zhǎng)．∵AB＝BC＝5，∴A′B＝eq\x\to(AB）＝eq\f（1,2）×2π×eq\f(5，2）＝eq\f(5，2）π.∴A′C＝eq\r（A′B2＋BC2)＝eq\r(\f(25,4）π2＋25)＝5eq\r(\f（π2,4)＋1）＝eq\f(5,2）eq\r（π2＋4)（cm)．四、課堂練習(xí)1。用一個(gè)平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是（）【答案】B【解析】D選項(xiàng)為主視圖或側(cè)視圖，俯視圖中顯然應(yīng)有一個(gè)被遮擋的圓,所以內(nèi)圓是虛線，故選B2.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．eq\f（1,2）B．eq\f(2，3)C．1D．2【答案】C3。一個(gè)橫放的圓柱形水桶,桶內(nèi)的水占底面周長(zhǎng)的四分之一,那么當(dāng)桶直立時(shí)，水的高度與桶的高度的比為_(kāi)________。【答案】（π-2）：4π【解析】橫放時(shí)水桶底面在水內(nèi)的面積為。V水=,直立時(shí)V水=πR2x,∴x：h=(π—2):4π4.棱長(zhǎng)為2cm的正方體容器盛滿水,把半徑為1cm的銅球放入水中剛好被淹沒(méi)。然后再放入一個(gè)鐵球，使它淹沒(méi)水中，要使流出來(lái)的水量最多，這個(gè)鐵球的半徑應(yīng)該為多大？【答案】五、課后練習(xí)1。棱長(zhǎng)為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為()A．eq\f(a3,3）B．eq\f（a3，4）C．eq\f（a3,6)D．eq\f(a3,12）【答案】C【解析】連接正方體各面中心構(gòu)成的八面體由兩個(gè)棱長(zhǎng)為eq\f(\r（2),2）a的正四棱錐組成，正四棱錐的高為eq\f(a，2)，則八面體的體積為V＝2×eq\f(1，3)×（eq\f(\r(2)，2）a）2·eq\f(a,2）＝eq\f（a3，6）．故選C。2.如圖是一個(gè)物體的三視圖，則此三視圖所描述的物體是下列哪個(gè)幾何體？()【答案】D【解析】由俯視圖可知該幾何體為旋轉(zhuǎn)體，由正視圖、側(cè)視圖可知該幾何體是由圓錐、圓柱組合而成．3.如圖，一個(gè)平面圖形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面圖形的面積為（)eq\f(\r（2）,4）a2B．2eq\r(2）a2C．a(chǎn)2D．2a2【答案】B【解析】由直觀圖還原出原圖，如圖，在原圖中找出對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度進(jìn)而求出面積．所以S＝a·2eq\r(2)a＝2eq\r(2）a2.4。一塊正方形薄鐵片的邊長(zhǎng)為4cm，以它的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫弧，沿弧剪下一個(gè)扇形（如右圖所示），用這塊扇形鐵片圍成一個(gè)圓錐筒,則這個(gè)圓錐筒的容積等于____cm3?！敬鸢浮縠q\f(\r(15)，3)π5。一個(gè)幾何體的三視圖（單位：m）如圖1。3。16所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3.【答案】9π＋18【解析】由三視圖知，幾何體下面是兩個(gè)球，球半徑為eq\f(3，2）；上面是長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)、寬、高分別為6、3、1,所以V＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，2）））3×2＋1×3×6＝9π＋18。6。圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為120°、半徑為2的扇形，則圓錐的表面積是________.【答案】eq\f（16,9）π7.如圖所示，正方體ABCD.A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，過(guò)頂點(diǎn)B,D，A1截下一個(gè)三棱錐．(1)求剩余部分的體積；（2)求三棱錐A.A1BD的高。【答案】(1)。eq\f(5,6)a3。(2）.eq\f（\r(3），3)a.【解析】（1)V三棱錐A1。ABD＝eq\f（1,3)S△ABD·A1A＝eq\f(1，3）×eq\f(1,2）·AB·AD·A1A＝eq\f(1,6)a3.故剩余部分的體積V＝V正方體－V三棱錐A1。ABD＝a3－eq\f（1，6）a3＝eq\f(5，6)a3。（2）由(1)知V三棱錐A。A1BD＝V三棱錐A1.ABD＝eq\f(1,6)a3，設(shè)三棱錐A。A1BD的高為h，則V三棱錐A。A1BD＝eq\f（1,3)·S△A1BD·h＝eq\f（1,3)×eq\f（1,2)×eq\f(\r(3），2)(eq\r(2）a)2h＝eq\f(\r（3),6）a2h,故eq\f(\r（3),6)a2h＝eq\f（1,6）a3,解得h＝eq