常用邏輯語言

常用邏輯語言一、命題及其關(guān)系命題的定義我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的語句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫假命題.命題的結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)中，具有“若p，則q”這種形式的命題是常見的，我們把這種命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.復(fù)合命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫復(fù)合命題.邏輯聯(lián)結(jié)詞且定義：一般地，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作paq，讀作“p且q”.邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與日常語言中的“并且”、“及”、“和”相當.可以用“且”定義集合的交集：AIB={x1(xgA)a3gB)}.判斷命題paq的真假當p、q都為真命題，paq就為真命題；當p、q兩個命題中只要有一個命題為假命題，paq就為假命題.或定義：一般地，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p或q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作pvq，讀作“p或q”.邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”的意義和日常語言中的“或者”相當.可以用“或”定義集合的并集：AUB={x1(xgA)v(xgB)}.判斷命題pvq的真假當p、q兩個命題中，只要有一個命題為真命題時，pvq為真命題；當p、q兩個命題都為假命題，pvq為假命題非定義：一般地，對命題p加以否定，得到一個新的命題，記作-p，讀作“非p”或“p的否定”.邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”(也稱為“否定”)的意義是由日常語言中的“不是”“全盤否定”“問題的反面”等抽象而來.有「(「P)=p成立.可以用“非”來定義集合A在全集U中的補集：^A={xeUI—i(xeA)}={xeUIx任A}.判斷—p命題的真假—p和p不能同真同假，其中一個為真，另一個必定為假.復(fù)合問題的真值表:pqp△qpVq—p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真全稱量詞與存在量詞全稱量詞定義：短語“對所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“V”表示，含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.全稱命題的否定：全稱命題q:VxeA，q(x)；它的否定是—q:3xeA，—q(x).將全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，再否定它的性質(zhì).存在量詞定義：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常用叫做參在量詞，用符號“3”表示，含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.存在性命題的否定：存在性命題p:3xeA，p(x)；它的否定是—p:VxeA，—p(x).將存在量詞變?yōu)槿Q量詞，再否定它的性質(zhì).二、四種命題四種命題的形式：用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用-p和-q來表示p和q的否定，于是四種命題的形式就是：原命題：若p，則q;逆命題：若q，則p;否命題：如果-p，則-q;逆否命題：如果-q，則-p.關(guān)于逆命題、否命題與逆否命題，也可以如下表述：交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題.如：同位角相等，兩直線平行.它的逆命題就是：兩條直線平行，同位角相等.同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題如上例的否命題是：同位角不相等，兩直線補平行.交換原命題的條件個結(jié)論，并同時否定，所得的命題是逆否命題.如上例：兩條直線不平行，同位角不相等.四種命題的相互關(guān)系(1)四種命題以及它們之間的關(guān)系.原命題為真，它的逆命題不一定為真；如：原命題“若a—0，則ab—0”是真命題，它的逆命題“若ab—0，則a—0”是假命題..原命題為真，它的否命題不一定為真；如：原命題“若a—0，則ab—0”是真命題，它的否命題“若a。0，則ab。0”是假命題..原命題為真，它的逆否命題一定為真；如：原命題“若a—0，則ab—0”是真命題，它的否命題“若ab。0，則a。0”是假命題..互為逆否的命題是等價命題，它們同真同假，綜上所述：在一個命題的四種命題中，真命題的個數(shù)要么是0個，要么是2個，要么是4個.一般四種命題的真假性，有且僅有一下四種情況：原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假命題的否定與否命題的區(qū)別若命題為“若p，則q”，則其命題的否定：“若p，則「q”，而其否命題是：“若「p，則「q”.三、充分條件與必要條件充分條件與必要條件一般的，“若p則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可以推出q.記作：pnq充要條件：一般的，如果既有pnq，又有qnq，記作poq.此時，說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件.充分條件、必要條件、充要條件理解(1)從邏輯推理關(guān)系上看若pnq，但q。＞p，則p是q的充分而不必要條件；若qnp，且p。＞q，那么p是q的必要不充分條件；若pnq，但qnp(或pnq且-pn-q)，則p是q的充要條件；若p。＞q，且q。＞p，則p既不是q的充分不必要條件.(1)從集合與集合之間關(guān)系看若AcB，則A是B的充分而不必要條件；若A^B，，那么A是B的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；若A①B,B①A，則A既不是B的充分不必要條件.

▲甄▲甄【例1】下列是命題的是（ ）歐幾里得《原本》是現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)著作之一;x2N0；今天雨下的真大！0.5是整數(shù)嗎？【例2】有下列命題：①2004年10月1日是國慶節(jié)，又是中秋節(jié)；②10的倍數(shù)一定是5的倍數(shù)；TOC\o"1-5"\h\z梯形不是矩形；④方程X2=1的解X=±1其中使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題有（ ）A1個B2個 C3個 D4個【例3】下面有四個命題：①若-a不屬于N，則a屬于N；②若agN,bgN,則a+b的最小值為2:③x2+1=2x的解可表示為{1,1}.其中真命題的個數(shù)為（ ）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【例4】命題p:奇函數(shù)一定有f（0）=0；命題q:函數(shù)j=x+1的單調(diào)遞減區(qū)間是[-1,0）U（0,1].X則下列四個判斷中正確的是（）A.p真q真B.p真q假C.p假q真 D. p假q假【例5】給出下列三個命題:①若a3b>-1，則NM—1+a1+b②若正整數(shù)m②若正整數(shù)m和n滿足mWn,貝則fm（n一m）W2；設(shè)P（氣，七）為圓q：x2+j2=9上任一點，圓02以Q（a,b）為圓心且半徑為1.當（a一x）2+（b一j）2=1時，圓O與圓O相切；其中假命題的個數(shù)為（ ）A.0 B.1 C.2 D.3【例6】下面有五個命題：函數(shù)y=sin4%-cos4x的最小正周期是兀.終邊在y軸上的角的集合是"Ia=號,keZ>.在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個公共點.把函數(shù)y=3sin]2x+；]的圖象向右平移三得到y(tǒng)=3sin2x的圖象.函數(shù)y=sinfx-習(xí)在(0,n)上是減函數(shù).TOC\o"1-5"\h\z其中真命題的序號是 .【例7】設(shè)有兩個命題：〃：不等式IxI+1x+1I>a的解集為R,命題q:f(x)=-(7-3a)x在R上為減函數(shù).如果兩個命題中有且只有一個是真命題，那么實數(shù)a的取值范圍是 .【例8】已知命題p:3xeR,x2+2ax+a<0,則命題p的否定是 ;若命題p為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是 .【例9】已知命題p:士>0,2x=3，則( )A. 「p:Vx<0， 2x牛3 B. 「p:Vx>0， 2x牛3C. —p:3x>0， 2x豐3 d. —p:3x<0， 2x豐3【例10】命題：VxeR，x2>0的否定是.【例11】下列命題中，真命題是(x,一xx,一x1A.BxeR,sin2—+cos2—=—2 22C.BxeR,x2+x=-1B.Vxe(0，兀),sinx>cosxD.Vxe(0,+3),ex>1+x【例12【例12】已知命題p：BxeR,x一2>1gx命題q：VxeR,x2>0,則()A.A.命題pvq是假命題B.命題paq是真命題C.C.命題pv(_iq)是假命題D.命題p△(_iq)是真命題rr【例13rr【例13】設(shè)a,b是向量，rr命題“若a=-b,則|a|=|b|”的逆命題是(A.A.若a豐—b，貝a。|b|B.若a=—b,貝a。|b|C.C.若|a。㈣，則a?！猙D.若|a=b|,則a=—b【例14】命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定是( )..A?所有不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)B?所有能被2整除的數(shù)都不是偶數(shù)存在一個不能被2整除的數(shù)是偶數(shù)存在一個能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)【例15】寫出下列命題的否命題，并判斷否命題的真假.命題p:“若ac>0,則二次方程ax2+bx+c=0沒有實根"；命題q:“若x豐a且x。b，貝x2—(a+b)x+ab。0”；命題r:“若(x—1)(x—2)=0，則x=1或x=2”.命題l:“AABC中，若AC=90。，則/A、ZB都是銳角”;命題s:“若abc=0，則a,b,c中至少有一個為零”.【例16】下列說法中，正確的是（ ）命題“若am2vbm2，則a<b”的逆命題是真命題命題“3xeR,x2-x>0”的否定是：“VxeR,x2-x<0”命題“p或q”為真命題，則命題“p”和命題“q”均為真命題已知xeR，^g“x>1”是“x>2”的充分不必要條件【例17】已知a,beR.下列四個條件中，使a>b成立的必要而不充分的條件是（ ）A.a>b-1 B.a>b+1 C.IaI>IbI D.2a>2b【例18】已知a，p表示兩個不同的平面，m為平面a內(nèi)的一條直線，則“alp”是“mip-的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【例19】下列四個命題中“k=1”是“函數(shù)y=cos2kx-sin2kx的最小正周期為?！钡某湟獥l件；“a=3”是“直線ax+2y+3a=0與直線3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要條件；x2+4函數(shù)y=——的最小值為2\：x2+3其中假命題的為 將你認為是假命題的序號都填上）【例20】“a>1”是“對任意的正數(shù)x，不等式2x+a>1成立”的（ ）條件x

A.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【例21】已知命題p:-4<k<0；命題q:函數(shù)y=kx2-kx-1的值恒為負.則命題p是命題q成立的( )A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【例22】"m=L'是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直"2的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.非充分非必要條件【例23】若不等式|x-^<1成立的充分不必要條件是2<x<3,則實數(shù)m的取值范圍是【例24】命題p:方程x2+mx+1=0有兩個不等的正實數(shù)根，命題q:方程4x2+4(m+2)x+1=0無實數(shù)根若“p或q”為真命題，求m的取值范圍【例25】已知命題p:1-x3W2；q:x2-2x+1-m2W0(m>0)，若—p是—q的必要非充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.課堂檢測【習(xí)題1】下列命題中正確的是（ ）“若X2+產(chǎn)。0，則們〉不全為零”的否命題“正多邊形都相似”的逆命題“若m>0，則X2+x-m=0有實根”的逆否命題“若X-枳是有理數(shù)，則X是無理數(shù)”的逆否命題TOC\o"1-5"\h\zA.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④【習(xí)題2】已知命題p:女eR,QX2+2X+1<0.若命題p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是 .【習(xí)題3】下列命題中正確的是（ ）若命題p為真命題，命題q為假命題，則命題“p△q"為真命題“sina=!”是“以=蘭”的充分不必要條件2 6l為直線，a，p錯誤!未找到引用源。為兩個不同的平面，若l±P，a±p，則l〃a命題"VxeR,2x>0”的否定是勺X0eR,2x°<0”【習(xí)題4】已知條件p:IX+11>2，條件q:x>a，且「p是「q的充分不必要條件，則a的取值范圍可以是（ ）A.a31 B.aW1 C.a3-1D.aW-3【習(xí)題5】"a=2”