2023年經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)春期末復(fù)習(xí)文本

《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)１2》期末復(fù)習(xí)文本20２3－０6－11考核方式：本課程的考核形式為形成性考核和期末考試相結(jié)合,成績(jī)由形成性考核作業(yè)成績(jī)和期末考試成績(jī)兩部分組成,其中形成性考核作業(yè)成績(jī)占考核成績(jī)的3０%,期末考試成績(jī)占考核成績(jī)的70%．課程考核成績(jī)滿分10０分，60分以上為合格,可以獲得課程學(xué)分.試題類型:試題類型分為單項(xiàng)選擇題、填空題和解答題.三種題型分?jǐn)?shù)的比例為：?jiǎn)芜x擇題15%,填空題1５%，解答題7０％.內(nèi)容比例:微積分占５８％，線性代數(shù)占42%考核形式:期末考試采用閉卷筆試形式，卷面滿分為10０分.考試時(shí)間：90分鐘．復(fù)習(xí)建議:1.復(fù)習(xí)依據(jù):（1）重點(diǎn)是本復(fù)習(xí)文本中的綜合練習(xí)題(與期末復(fù)習(xí)小藍(lán)本中的綜合練習(xí)題基本同樣，只是刪去了部分非考試重點(diǎn)內(nèi)容，把這部分內(nèi)容掌握了,考試就沒(méi)有問(wèn)題)(２）作業(yè)１－4（隱函數(shù)求導(dǎo)、微分方程考試不做重點(diǎn),可略去，作業(yè)講評(píng)欄目中有作業(yè)冊(cè)供復(fù)習(xí)用）(3)往屆考試題（在考試指南欄目中)注意:以上三方面的內(nèi)容反復(fù)的較多，所以復(fù)習(xí)量并不大。２．雖然試卷中給出了導(dǎo)數(shù)、積分公式,但要在復(fù)習(xí)時(shí)通過(guò)文本中的練習(xí)題故意識(shí)的記記,要把公式中的x念成u,并注意冪函數(shù)有兩個(gè)特例(）當(dāng)公式記，考試時(shí)才干盡快找到公式并純熟應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算重點(diǎn)要掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;積分的計(jì)算重點(diǎn)是湊微分和分部積分法（要記住常見(jiàn)湊微分類型、分部積分公式)。3.代數(shù)中的兩道計(jì)算題要給予足夠的重視,關(guān)鍵是要純熟掌握矩陣的初等行變換(求逆矩陣，解矩陣方程，方程組的一般解，必須要?jiǎng)邮肿鲱}才干掌握!)微分學(xué)部分考核規(guī)定與綜合練習(xí)題第１章函數(shù)1.理解函數(shù)概念。（1)掌握求函數(shù)定義域的方法，會(huì)求初等函數(shù)的定義域和函數(shù)值。函數(shù)的定義域就是使函數(shù)故意義的自變量的變化范圍。學(xué)生要掌握常見(jiàn)函數(shù)的自變量的變化范圍，如分式的分母不為0,對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，偶次根式下表達(dá)式大于0，等等。(2）理解函數(shù)的相應(yīng)關(guān)系f的含義:f表達(dá)當(dāng)自變量取值為x時(shí)，因變量y的取值為f（x）。(3）會(huì)判斷兩函數(shù)是否相同。（４）了解分段函數(shù)概念,掌握求分段函數(shù)定義域和函數(shù)值的方法。2.掌握函數(shù)奇偶性的判別，知道它的幾何特點(diǎn)。判斷函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，可以用定義去判斷,即(1)若,則為偶函數(shù)；(２)若,則為奇函數(shù)。也可以根據(jù)一些已知的函數(shù)的奇偶性，再運(yùn)用“奇函數(shù)±奇函數(shù)、奇函數(shù)×偶函數(shù)仍為奇函數(shù);偶函數(shù)±偶函數(shù)、偶函數(shù)×偶函數(shù)、奇函數(shù)×奇函數(shù)仍為偶函數(shù)”的性質(zhì)來(lái)判斷。3．了解復(fù)合函數(shù)概念,會(huì)對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解。４．知道初等函數(shù)的概念，牢記常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)（正弦、余弦、正切和余切）的解析表達(dá)式、定義域、重要性質(zhì)?；境醯群瘮?shù)的解析表達(dá)式、定義域、重要性質(zhì)在微積分中常要用到,一定要純熟掌握。5．了解需求、供應(yīng)、成本、平均成本、收入和利潤(rùn)函數(shù)的概念。第2章極限、導(dǎo)數(shù)與微分1．知道一些與極限有關(guān)的概念（1）知道函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充足必要條件是該點(diǎn)左右極限都存在且相等;（2）了解無(wú)窮小量的概念,知道無(wú)窮小量的性質(zhì);（３）了解函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的概念，了解“初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)”的結(jié)論；會(huì)判斷函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性,會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。２.知道一些與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的概念（1)會(huì)求曲線的切線方程(2)知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù),連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo))3.純熟掌握求導(dǎo)數(shù)或微分的方法。(１）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)(或微分)的基本公式(2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)（或微分)的四則運(yùn)算(3）運(yùn)用復(fù)合函數(shù)微分法4．會(huì)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法,掌握極值點(diǎn)的判別方法，會(huì)求函數(shù)的極值。通常的方法是運(yùn)用一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性，也可以運(yùn)用已知的基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷。２．了解一些基本概念。(1）了解函數(shù)極值的概念，知道函數(shù)極值存在的必要條件,知道函數(shù)的極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系；（2)了解邊際概念和需求價(jià)格彈性概念;3.純熟掌握求經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用問(wèn)題(如平均成本最低、收入最大和利潤(rùn)最大等），會(huì)求幾何問(wèn)題中的最值問(wèn)題。掌握求邊際函數(shù)的方法,會(huì)計(jì)算需求彈性。微分學(xué)部分綜合練習(xí)一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)的定義域是（).A.B．Ｃ．Ｄ．且２.下列各函數(shù)對(duì)中,（)中的兩個(gè)函數(shù)相等．A., B．，+1C.， D．，3．設(shè)，則()．A．B.C.D.4.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(）.A.Ｂ.C．D.5.已知，當(dāng)()時(shí)，為無(wú)窮小量．A.B．Ｃ.Ｄ.6.當(dāng)時(shí),下列變量為無(wú)窮小量的是（)A．Ｂ．Ｃ．D．7．函數(shù)在ｘ＝0處連續(xù),則ｋ=( )．A．-2Ｂ.-1Ｃ．１D8．曲線在點(diǎn)(０,1）處的切線斜率為（）.A.Ｂ．Ｃ.D.９．曲線在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為（).A.y=ｘB(niǎo)．ｙ＝2xC.y=xＤ.y=-x１0．設(shè)，則()．Ａ．B．C．D.１1.下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增長(zhǎng)的是()．A．ｓiｎｘB(niǎo)．eｘＣ.x2 D．3-x１２.設(shè)需求量ｑ對(duì)價(jià)格p的函數(shù)為，則需求彈性為Ep＝().A.B．Ｃ．Ｄ.二、填空題1．函數(shù)的定義域是???? ?．２.函數(shù)的定義域是 ? ?.3．若函數(shù),則? ? ? .4.設(shè),則函數(shù)的圖形關(guān)于對(duì)稱．5..6．已知,當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小量．７.曲線在點(diǎn)處的切線斜率是? ???.注意：一定要會(huì)求曲線的切線斜率和切線方程,記住點(diǎn)斜式直線方程8．函數(shù)的駐點(diǎn)是.9.需求量ｑ對(duì)價(jià)格的函數(shù)為,則需求彈性為???．三、計(jì)算題(通過(guò)以下各題的計(jì)算要純熟掌握導(dǎo)數(shù)基本公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則！這是考試的10分類型題）１．已知，求.2.已知，求.３.已知，求.4.已知,求．5．已知,求;６.設(shè),求７.設(shè)，求.8.設(shè)，求.四、應(yīng)用題（以下的應(yīng)用題必須純熟掌握!這是考試的20分類型題)1．設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品個(gè)單位時(shí)的成本函數(shù)為：(萬(wàn)元），求:（１）當(dāng)時(shí)的總成本、平均成本和邊際成本；(2）當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí),平均成本最?。?．某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品,其固定成本為2023元,每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元，對(duì)這種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求規(guī)律為（為需求量，為價(jià)格).試求：(1)成本函數(shù)，收入函數(shù)；（２)產(chǎn)量為多少噸時(shí)利潤(rùn)最大?3．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時(shí)的總成本函數(shù)為C(ｑ)＝20+4q＋０．01q2（元),單位銷售價(jià)格為p=１４－0.01q（元/件），試求：（１）產(chǎn)量為多少時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)成最大?（2）最大利潤(rùn)是多少?4．某廠天天生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的成本函數(shù)為（元）.為使平均成本最低，天天產(chǎn)量應(yīng)為多少？此時(shí)，每件產(chǎn)品平均成本為多少?5．已知某廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為（萬(wàn)元)．問(wèn):要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?參考解答一、單項(xiàng)選擇題１．D2.D３.C4.C５．A6．D７.C8．A９.A１０．B1１.B１2．Ｂ二、填空題１．[-5,2]2．(-5,２）3.4．y軸5．16.7.8.9.三、計(jì)算題1．解:2.解3.解4.解：5.解:由于所以６.解：由于所以7.解:由于所以８．解:由于所以四、應(yīng)用題１．解（1）由于總成本、平均成本和邊際成本分別為:,所以,，(２）令,得（舍去)由于是其在定義域內(nèi)唯一駐點(diǎn),且該問(wèn)題的確存在最小值,所以當(dāng)２0時(shí),平均成本最小.２．解（１)成本函數(shù)=60+2023.由于,即,所以收入函數(shù)==()=．(2)利潤(rùn)函數(shù)=-＝-(6０+2０23)=40--2023且＝(40--２０２3=40-０.2令=0，即40-０．2=0，得＝２00，它是在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)．所以,=２00是利潤(rùn)函數(shù)的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為2０0噸時(shí)利潤(rùn)最大．3.解（1)由已知利潤(rùn)函數(shù)則，令，解出唯一駐點(diǎn).由于利潤(rùn)函數(shù)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為250件時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)成最大，(2）最大利潤(rùn)為（元）４．解由于令,即＝０,得＝１４０，=－１４０(舍去）．＝140是在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn),且該問(wèn)題的確存在最小值.所以＝140是平均成本函數(shù)的最小值點(diǎn),即為使平均成本最低，天天產(chǎn)量應(yīng)為1４0件.此時(shí)的平均成本為(元/件)5.解由于＝=,==令=０,即，得，=-５0(舍去），=50是在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)．所以，=5０是的最小值點(diǎn)，即要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn)50件產(chǎn)品.積分學(xué)部分考核規(guī)定與綜合練習(xí)題第1章不定積分1.理解原函數(shù)與不定積分概念。（1）若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于，即，則稱函數(shù)是的原函數(shù)。（２)原函數(shù)的全體（其中是任意常數(shù)）稱為的不定積分,記為=。(3）知道不定積分與導(dǎo)數(shù)(微分)之間的關(guān)系不定積分與導(dǎo)數(shù)（微分）之間互為逆運(yùn)算，即先積分，再求導(dǎo),等于它自身；先求導(dǎo),再積分,等于函數(shù)加上一個(gè)任意常數(shù),即＝，=，，２．純熟掌握不定積分的計(jì)算方法。(1）第一換元積分法(湊微分法）(2）分部積分法第2章定積分１．了解定積分的概念,知道奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分結(jié)果.要區(qū)別不定積分與定積分之間的關(guān)系。定積分的結(jié)果是一個(gè)數(shù)，而不定積分的結(jié)果是一個(gè)表達(dá)式。若是奇函數(shù),則有2.純熟掌握定積分的計(jì)算方法。3．會(huì)求簡(jiǎn)樸的無(wú)窮限積分。第3章積分應(yīng)用純熟掌握用不定積分求總成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)或其增量的方法。積分學(xué)部分綜合練習(xí)一、單選題１.下列等式不成立的是().對(duì)的答案：AA.B． C.D.2．若，則＝().對(duì)的答案：DＡ.Ｂ.Ｃ.D.注意:重要考察原函數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)３.下列不定積分中，常用分部積分法計(jì)算的是（）．對(duì)的答案：CA.B.C．D．4.若,則f(x)=().對(duì)的答案:CA．B.-Ｃ．D.-5.若是的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是().對(duì)的答案：ＢA．Ｂ.C.D.6．下列定積分中積分值為０的是（)．對(duì)的答案:ＡＡ．B.Ｃ．Ｄ.7．下列定積分計(jì)算對(duì)的的是（).對(duì)的答案:DＡ.B．Ｃ．D．８.下列無(wú)窮積分中收斂的是（)．對(duì)的答案：CA.B.Ｃ.Ｄ.9.無(wú)窮限積分=（）．對(duì)的答案:CA．0B．C．Ｄ.二、填空題1..應(yīng)當(dāng)填寫:注意：重要考察不定積分與求導(dǎo)數(shù)(求微分)互為逆運(yùn)算，一定要注意是先積分后求導(dǎo)(微分）還是先求導(dǎo)（微分）后積分。2.函數(shù)的原函數(shù)是．應(yīng)當(dāng)填寫：-cｏs2x＋c3.若存在且連續(xù),則．應(yīng)當(dāng)填寫:注意:本題是先微分再積分最后在求導(dǎo)。４．若,則.應(yīng)當(dāng)填寫：５.若，則=．應(yīng)當(dāng)填寫:注意:6．．應(yīng)當(dāng)填寫:0注意:定積分的結(jié)果是“數(shù)值”，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為０7.積分 ?? ??.應(yīng)當(dāng)填寫:０注意:奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的定積分為０8.無(wú)窮積分是? ? ．應(yīng)當(dāng)填寫:收斂的三、計(jì)算題（以下的計(jì)算題要純熟掌握!這是考試的10分類型題）1．解:=＝2．計(jì)算解:3.計(jì)算解：4．計(jì)算解:５．計(jì)算解:==6.計(jì)算解：＝7.解：===8．解:=-=＝9．解:====1注意：純熟解答以上各題要注意以下兩點(diǎn)(１）常見(jiàn)湊微分類型一定要記?。ǎ?分部積分：,?？嫉挠腥N類型要清楚。四、應(yīng)用題（以下的應(yīng)用題必須純熟掌握!這是考試的20分類型題)投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬(wàn)元）,且邊際成本為＝2x+40(萬(wàn)元/百臺(tái)）．試求產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時(shí),可使平均成本達(dá)成最低.解:當(dāng)產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí),總成本的增量為==1００(萬(wàn)元)又==令,解得.x=6是惟一的駐點(diǎn)，而該問(wèn)題的確存在使平均成本達(dá)成最小的值。所以產(chǎn)量為６百臺(tái)時(shí)可使平均成本達(dá)成最小.２．已知某產(chǎn)品的邊際成本(x)=2（元／件）,固定成本為０,邊際收益(x)=12-０.02x,問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大?在最大利潤(rùn)產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)5０件，利潤(rùn)將會(huì)發(fā)生什么變化?解：由于邊際利潤(rùn)=1２-0.0２ｘ–2=10-０.０2x令=０,得x=５00；x=500是惟一駐點(diǎn)，而該問(wèn)題的確存在最大值.所以,當(dāng)產(chǎn)量為50０件時(shí)，利潤(rùn)最大.當(dāng)產(chǎn)量由５０0件增長(zhǎng)至５50件時(shí),利潤(rùn)改變量為=50０-５25=－２５(元)即利潤(rùn)將減少25元.3．生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(x)=8ｘ(萬(wàn)元/百臺(tái)）,邊際收入為(x)=100－2x（萬(wàn)元/百臺(tái)),其中ｘ為產(chǎn)量,問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí),利潤(rùn)最大?從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)２百臺(tái)，利潤(rùn)有什么變化?解：(x）=(x)-(x)=（１0０–2x)–８ｘ=10０–1０ｘ令(x）＝0,得x＝10(百臺(tái));又x=10是L(x)的唯一駐點(diǎn),該問(wèn)題的確存在最大值,故x＝1０是L(x)的最大值點(diǎn),即當(dāng)產(chǎn)量為1０(百臺(tái)）時(shí)，利潤(rùn)最大．又△即從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)將減少2０萬(wàn)元.? 4.已知某產(chǎn)品的邊際成本為（萬(wàn)元/百臺(tái)),為產(chǎn)量(百臺(tái)),固定成本為１8(萬(wàn)元）,求最低平均成本.解:由于總成本函數(shù)為=當(dāng)＝0時(shí)，C(0)=1８,得ｃ=1８;即Ｃ()=又平均成本函數(shù)為令,解得=3（百臺(tái))，該題的確存在使平均成本最低的產(chǎn)量.所以當(dāng)q=3時(shí)，平均成本最低．最底平均成本為(萬(wàn)元／百臺(tái)）5.設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為（萬(wàn)元），其中x為產(chǎn)量，單位：百噸．銷售x噸時(shí)的邊際收入為（萬(wàn)元/百噸）,求：(1）利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量;（2)在利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1百噸，利潤(rùn)會(huì)發(fā)生什么變化?解：(１)由于邊際成本為,邊際利潤(rùn)=１4–2x令，得ｘ＝7;由該題實(shí)際意義可知，x=7為利潤(rùn)函數(shù)L（ｘ)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn)．因此,當(dāng)產(chǎn)量為7百噸時(shí)利潤(rùn)最大.(２）當(dāng)產(chǎn)量由7百噸增長(zhǎng)至8百噸時(shí)，利潤(rùn)改變量為=-１(萬(wàn)元）即利潤(rùn)將減少１萬(wàn)元.線性代數(shù)部分考核規(guī)定與綜合練習(xí)題第2章矩陣1．了解或理解一些基本概念（1)了解矩陣和矩陣相等的概念；（2)了解單位矩陣、數(shù)量矩陣和對(duì)稱矩陣的定義和性質(zhì)；（3)理解矩陣可逆與逆矩陣概念,知道矩陣可逆的條件；（4)理解矩陣初等行變換的概念。2．純熟掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置等運(yùn)算，掌握這幾種運(yùn)算的有關(guān)性質(zhì)；3．純熟掌握用矩陣的初等行變換求矩陣的秩、逆矩陣，解矩陣方程。第3章線性方程組1.了解線性方程組的有關(guān)概念：n元線性方程組、線性方程組的矩陣表達(dá)、系數(shù)矩陣、增廣矩陣、一般解。2．理解并純熟掌握線性方程組的有解鑒定定理；純熟掌握用消元法求線性方程組的一般解。3．純熟掌握線性方程組解得情況鑒定定理線性代數(shù)部分綜合練習(xí)題一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)A為矩陣,B為矩陣，則下列運(yùn)算中（）可以進(jìn)行.對(duì)的答案：AA.ＡBB．ABＴC.Ａ+BＤ．ＢAT2．設(shè)為同階可逆矩陣,則下列等式成立的是()對(duì)的答案：ＢA．B．Ｃ.Ｄ．注意:轉(zhuǎn)置矩陣、逆矩陣的性質(zhì)要記住3.以下結(jié)論或等式對(duì)的的是（）.對(duì)的答案:CA.若均為零矩陣,則有B.若，且，則Ｃ．對(duì)角矩陣是對(duì)稱矩陣Ｄ．若,則４.設(shè)是可逆矩陣，且,則（)．對(duì)的答案：ＣA.B.C.D.注意：由于Ａ（I+B)=I，所以I＋B5.設(shè)，，是單位矩陣,則=()．對(duì)的答案：DA.B.C．Ｄ.6.設(shè)，則ｒ(A)＝（)．對(duì)的答案:CA.4B.3Ｃ．27.設(shè)線性方程組的增廣矩陣通過(guò)初等行變換化為，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為（）對(duì)的答案：AA.１B.2C.38．線性方程組解的情況是（)．對(duì)的答案:ＡA.無(wú)解Ｂ.只有０解C.有唯一解D．有無(wú)窮多解9．設(shè)線性方程組有無(wú)窮多解的充足必要條件是（）．對(duì)的答案:DA．B.C.D．10.設(shè)線性方程組有唯一解,則相應(yīng)的齊次方程組（）．Ａ.無(wú)解B.有非零解C．只有零解Ｄ．解不能擬定對(duì)的答案:C二、填空題1.若矩陣Ａ=,B=，則ATＢ=