2023年經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)春積分部分期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(08春）積分部分期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)第二部分一元函數(shù)積分學(xué)第一、二章,不定積分和定積分考試規(guī)定:⑴理解原函數(shù)與不定積分概念，了解定積分概念，知道不定積分與導(dǎo)數(shù)（微分)之間的關(guān)系；例如:,而⑵純熟掌握積分基本公式和直接積分法；⑶掌握第一換元積分法(湊微分法）、分部積分法;⑷知道無(wú)窮限積分的收斂概念,會(huì)求簡(jiǎn)樸的無(wú)窮限積分.重點(diǎn)：原函數(shù)、不定積分和定積分概念、積分的性質(zhì)、積分基本公式、第一換元積分法、分部積分法、無(wú)窮限積分第三章積分應(yīng)用考試規(guī)定：(１)純熟掌握用不定積分和定積分求總成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)或其增量的方法;(2)了解微分方程的幾個(gè)概念，掌握簡(jiǎn)樸的可分離變量的微分方程的解法，會(huì)求一階線性微分方程的解．重點(diǎn):積分的幾何應(yīng)用、積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用、常微分方程典型例題一、單項(xiàng)選擇題１.在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過(guò)點(diǎn)（1,3)的曲線為（）．A.Ｂ.C．D．答案:C２.下列函數(shù)中,(）是的原函數(shù)．A.－B.C．D．答案：C３.下列等式不成立的是(?)．A.?B． C．?Ｄ.選擇D4．若，則=（）.A．B.C．Ｄ.答案：D５．( ).A. B. C．?D.答案:B６.若，則ｆ(x）=（).A．B．-C．Ｄ.-答案：C７.若是的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是().A.B.Ｃ．D.答案:B8．下列定積分中積分值為0的是（).A．B．C.D．答案：A9．下列無(wú)窮積分中收斂的是（）.Ａ.Ｂ.C.D．答案:C1０.下列微分方程中,( )是線性微分方程.A．?B． C．?D．答案:Ｄ11.微分方程的階是（）．A．4B.3C.2D.答案:C二、填空題1. ??．答案:2．。答案:３．函數(shù)f(ｘ）=ｓin2ｘ的原函數(shù)是 ???? ．答案：4.若，則．答案：5.若,則=．答案:6..答案:0７. ???? ．答案：０8．無(wú)窮積分是 ? ．答案:１9.是階微分方程.答案：二階10．微分方程的通解是? ?? ．答案:三、計(jì)算題2.不定積分定、積分的計(jì)算積分基本公式,牛頓——萊布尼茨公式,積分計(jì)算方法：直接積分法,換元積分法和分部積分法計(jì)算下列積分(1）解==（2)解:(３)解：＝(4)解:＝（答案:（５）解:（6)解=四、應(yīng)用題用不定積分或定積分求總成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)或其增量。平均成本最小和利潤(rùn)最大環(huán)節(jié)：(１)找出求最值的函數(shù)（假如是平均成本最小,要先從邊際成本得到成本函數(shù)，再得到平均成本函數(shù);假如是求利潤(rùn)最大,經(jīng)?？梢灾苯拥玫竭呺H利潤(rùn)）；(2)求其一階導(dǎo)數(shù),找出駐點(diǎn)(唯一)(3）說(shuō)明１.投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬(wàn)元),且邊際成本為＝2x+40（萬(wàn)元/百臺(tái)）.試求產(chǎn)量由4百臺(tái)增至６百臺(tái)時(shí)總成本的增量,及產(chǎn)量為多少時(shí),可使平均成本達(dá)成最低.解當(dāng)產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí),總成本的增量為==1０0(萬(wàn)元)又=＝令，解得.x=6是惟一的駐點(diǎn),而該問(wèn)題的確存在使平均成本達(dá)成最小的值.所以產(chǎn)量為6百臺(tái)時(shí)可使平均成本達(dá)成最小.２.已知某產(chǎn)品的邊際成本為（萬(wàn)元/百臺(tái)),ｘ為產(chǎn)量(百臺(tái))，固定成本為18(萬(wàn)元),求最低平均成本.解:由于總成本函數(shù)為＝當(dāng)ｘ=０時(shí),Ｃ（0)＝１8,得c=18即C(ｘ）=又平均成本函數(shù)為令，解得ｘ=３（百臺(tái))該題的確存在使平均成本最低的產(chǎn)量.所以當(dāng)x=3時(shí)，平均成本最低.最底平均成本為(萬(wàn)元/百臺(tái))３.生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(x)=8x（萬(wàn)元/百臺(tái))，邊際收入為(ｘ)=100-2ｘ(萬(wàn)元/百臺(tái)），其中x為產(chǎn)量，問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái),利潤(rùn)有什么變化?解:已知(x)=８ｘ（萬(wàn)元/百臺(tái)),（x）=10０-2x，則令，解出唯一駐點(diǎn)由該題實(shí)際意義可知，x=1０為利潤(rùn)函數(shù)L(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．因此,當(dāng)產(chǎn)量為10百臺(tái)時(shí)利潤(rùn)最大．從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)２百臺(tái)，利潤(rùn)的改變量為(萬(wàn)元)即利潤(rùn)將減少20萬(wàn)元.4.設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為(萬(wàn)元),其中x為產(chǎn)量,單位:百噸.銷售x百噸時(shí)的邊際收入為（萬(wàn)元/百噸),求:(1)利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量；（2)在利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1百噸,利潤(rùn)會(huì)發(fā)生什么變化？解:（1)由于邊際成本為，邊際利潤(rùn)=14–2x令,得x=7由該題實(shí)際意義可知