2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 三定問題及最值（精講）（原卷版）

9.6三定問題及最值（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考法一定點(diǎn)【例1】（2021·貴州貴陽市·貴陽一中高三月考（理））已知橢圓：的離心率為，且過橢圓的右焦點(diǎn)有且僅有一條直線與圓：相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)圓與軸的正半軸交于點(diǎn).已知直線斜率存在且不為0，與橢圓交于，兩點(diǎn)，滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn))，證明：直線過定點(diǎn).【一隅三反】1．（2021·?？谥袑W(xué)高三月考）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）若過的直線與坐標(biāo)軸不垂直，它與橢圓交于，兩點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，試判斷直線是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.2．（2021·九龍坡區(qū)·重慶市育才中學(xué)）阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積等于，且橢圓的焦距為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)是軸上的定點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，已知A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，已知三點(diǎn)共線，試探究直線是否過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.3．（2021·湖北）已知橢圓T：經(jīng)過以下四個(gè)不同點(diǎn)中的某三個(gè)點(diǎn)：，，，．（1）求橢圓T的方程；（2）將橢圓T上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來的倍，橫坐標(biāo)不變，得到橢圓E．已知M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)F是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線，分別交橢圓E于G，H（G，H分別異于M，N點(diǎn)）兩點(diǎn)，試判斷直線是否恒過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．考法二定值【例2】（2021·河南高三月考（文））已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，證明：直線的斜率與直線的斜率之和為定值.【一隅三反】1．（2021·重慶高三月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且C過點(diǎn).點(diǎn)P，Q在C上，且直線PQ不與坐標(biāo)軸垂直.（1）求C的方程；（2）若直線MP，MQ的斜率存在，分別記為，，證明：PQ過O點(diǎn)的充要條件是.2．（2021·全國高三（理））已知橢圓的離心率為，兩焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）我們稱圓心在橢圓上運(yùn)動(dòng)，半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”，過原點(diǎn)作橢圓的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率存在，記為，．①求證：為定值；②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．3（2021·福建高三月考）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，直線的傾斜角為60°，原點(diǎn)到直線的距離是．（1）求的方程；（2）過上任一點(diǎn)作直線，分別交于，（異于的兩點(diǎn)），且，，探究是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由．4（2021·沙坪壩區(qū)·重慶八中）與橢圓（，且）相關(guān)的兩條直線稱為橢圓的準(zhǔn)線，擁有豐富的幾何性質(zhì).已知直線是位于橢圓右側(cè)的一條準(zhǔn)線，橢圓上的點(diǎn)到的距離的最大值為，最小值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線的方程；（2）設(shè)橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，且不在軸上，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，為橢圓的左焦點(diǎn)，求證：的周長(zhǎng)為定值.考法三定直線【例3】（2021·全國高三月考（理））在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)曲線與軸交于、兩點(diǎn)，過定點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)（與、不重合），證明：直線，的交點(diǎn)在定直線上．【一隅三反】1．（2021·安徽高三（理））已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交橢圓于，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，是直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，問：直線與的交點(diǎn)是否在一條定直線上？請(qǐng)說明你的理由．2．（2021·福建莆田·高三）曲線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)的距離與它到直線x=4的距離之比等于22，過點(diǎn)M(4,0)且與x軸不重合的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A,B（1）求C的方程；（2）求證：△ABF內(nèi)切圓的圓心在定直線上．3（2021·江蘇泰州市·高三）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上異于的一點(diǎn)，軸于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過動(dòng)點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求證：直線l與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）求證：點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)．考法四最值（范圍）【例4】（2021·河南高三月考（文））已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時(shí)，.（1）求拋物線的方程；（2）若，為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值.【一隅三反】1．（2021·云南玉溪·高三月考（理））已知拋物線：，過點(diǎn)的直線交拋物線于，，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求拋物線的方程；（2）過作與直線垂直的直線交拋物線于，．求四邊形面積的最小值．2（2021·長(zhǎng)沙市·湖南師大附中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離等于.動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知，過