排列組合例題整理

排列組合基礎(chǔ)知識講座首先看一道簡單的例題例1：用1、2、3、4四個數(shù)字組成數(shù)字不重復(fù)的二位數(shù)，可以有多少種組法？解答：題目的意思是從4個數(shù)字中隨意選出2個數(shù)字，然后組成一個2位數(shù)，問一共可以組成多少個這樣的2位數(shù)。假設(shè)我們隨意選取1,2，可以組成12和21，雖然都是由1，2組成，但由于位置不同，仍然是兩個不同的數(shù)字。由于和位置有關(guān)，所以這是排列問題。（注意：雖然題目問的是有多少種組法，但仍然屬于排列問題）排列公式的定義如下Pr=n(n-r)!P；也可寫成P（n,r）其中n表示總共的元素個數(shù)，r表示進行排列的元素個數(shù)，！表示階乘，例如6！=6x5x4x3x2x1，5!=5x4x3x2x1，但要特別注意1！=0！=1。假設(shè)n=5,r=3,則（5,3）=605!_5x4x3x2x1（5,3）=60(5-3)! 2x1在這個題目里，總共的元素個數(shù)是4，所以n=4，從所有元素中取出2個進行排列，所以r=2。根據(jù)公式P（4,2）=124! _4x3x2x1P（4,2）=12(4-2)! 2^1因此共有12種組法。下面我們一起來看考試當(dāng)中出現(xiàn)的一個題目：例2.黃、白、藍三個球，從左到右順次排序，有幾種排法？解答：假設(shè)我們已經(jīng)找出了兩種排列方法（黃、白、藍）和（藍、白、黃），可以發(fā)現(xiàn)雖然都是用的一樣的球，但因為和位置有關(guān)，所以還是兩種不同的排法。很明顯這屬于排列問題。在這里，總共的元素個數(shù)是3，所以n=3,從所有元素中取出3個進行排列，所以r=3。根據(jù)公式3! 3x2x1/P（3,3）=一」、,=一:—=6（計算的時候注意0！=1）（3—3）! 1因此共有6種排法。如果我們把這個題目改一改，變成例3黃、白、藍三個球，任意取出兩個，對這兩個球從左到右順次排序，有幾種排法？解答這仍然屬于排列問題，只不過r變成了2。在這里，總共的元素個數(shù)是3，所以n=3，從所有元素中取出2個進行排列，所以r=2。根據(jù)公式

3! 3x2x1/P（3,2）=--、,=一；—=6 （計算的時候注意1!=1）（3-2）! 1因此還是有6種排法。下面我們這個題目再變一下例4黃、白、藍三個球，任意取出兩個，有幾種取法？解答：假設(shè)我們第一次取出黃球，第二次取出白球，或者第一次取出白球，第二次取出黃球，可以發(fā)現(xiàn)雖然順序不同，但都是同一種取法，即（黃，白）和（白，黃）是同一種取法。由于和取出的球的排列位置無關(guān)，因此這屬于組合問題。組合公式的定義如下CrCr=r!（n—r）!Crn也可寫成C（n,r）其中n表示總共的元素個數(shù)，r表示進行組合的元素個數(shù)，！表示階乘，例如6！=6x5x4x3x2x1，5!=5x4x3x2x1，但要特別注意1！=0！=1。假設(shè)n=5,r=3,則5! 5x4x3x2x1C（5,3）= = =30, 2!（5-3）!（2x1）x（2x1）另外，為便于計算，還有個公式請記住Cr=Cn-r例如C（6,2）=C（6,4）3! 3x2x1°五廠=3（計算的時候注意^13! 3x2x1°五廠=3（計算的時候注意^1）=2!（3-=2!（3-2）!因此有3種取法。基礎(chǔ)知識講完后，我們進行一次隨堂模擬考試，下面是公考中曾經(jīng)出現(xiàn)過的題目考試題1.林輝在自助餐店就餐，他準備挑選三種肉類的一種肉類，四種蔬菜中的二種不同蔬菜，以及四種點心中的一種點心。若不考慮食物的挑選次序，則他可以有多少不同選擇方法？解答：這里涉及到了解答排列組合問題中常用到一種方法：分步法。即把完成一件事情的過程分成幾步，每一步的可供選擇的方案數(shù)相乘就是總的可供選擇的方案數(shù)。例如完成一件事情需要兩步，第一步有2種選擇，第二步有3種選擇，如果不考慮完成順序（即先完成第一步再完成第二步，或先完成第二步再完成第一步效果一樣），則總的選擇數(shù)為2乘3等于6。本題中，就餐分成三步，第一步挑選肉類，第二步挑選蔬菜，第三步挑選點心。在每-步的挑選中，由于挑選的物品是同一種類（例如從四種蔬菜中挑選兩種，雖然種類不同，但挑出的仍然是蔬菜，與挑選時的順序無關(guān)），所以每一步的挑選是組合問題。

第一步的選擇數(shù)為C(3,1)二3! _3x2x第一步的選擇數(shù)為C(3,1)二3! _3x2x12!(3-2)!—2x1第二步的選擇數(shù)為C(4,2)二4!第三步的選擇數(shù)為C(4,1)二4x3x2x1/= =62!(4-2)!2xlx2x14! =4x3x2x1=41!(4-1)! 1x3x2x1由于不考慮挑選食物的順序，所以總共有C(3,1)xC(4,2)xC(4,1)=3x6x4=72種考試題2.將五封信投入3個郵筒，不同的投法共有()解答：這個題也采用分步法。分成五步，第一步將第一封信投入郵筒，第二步將第二封信投入郵筒，……第五步將第五封信投入郵筒。在每一步中，每一封信都有三個郵筒的選擇，即可選擇數(shù)是3。由于結(jié)果與五封信的投遞次序無關(guān)，所以共有3x3x3x3x3=243考試題3：從編號為1-9的隊員中選6人組成一個隊，問有多少種選法？解答：這個題和例題1有相似處，但要注意隊與隊之間的區(qū)別只與組成隊員有關(guān)，而與隊員的排列順序無關(guān)。例如，1,2,3,4,5,6號隊員組成一隊，不論他們怎么排列，123456和654321仍然是同一只隊。因為和位置無關(guān)，所以這是組合問題。總共的元素個數(shù)是9，所以n=9,從所有元素中任意取出6個元素進行組合，所以r=6。根據(jù)公式C(9,6)C(9,6)=一-—=846!(9-6)!因此有84種取法。(注意：考試時只要求知道計算公式C(9,6)，不要求具體計算)員行測排列組合問題的七大解題策略2009年11月19日10:13中公教育鄒繼陽排列組合問題是歷年公務(wù)員考試行測的必考題型，并且隨著近年公務(wù)員考試越來越熱門，國考中這部分題型的難度也在逐漸的加大，解題方法也趨于多樣化。解答排列組合問題，必須認真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題；同時要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運用基本原理和公式進行分析，還要注意講究一些策略和方法技巧。一、 排列和組合的概念排列：從n個不同元素中，任取m個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。組合：從n個不同元素種取出m個元素拼成一組，稱為從n個不同元素取出m個元素的一個組合。二、 七大解題策略特殊優(yōu)先法特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮。對于有附加條件的排列組合問題，一般采用：先考慮滿足特殊的元素和位置，再考慮其它元素和位置。例：從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有()(A)280種(B)240種(C)180種(D)96種正確答案：【B】解析：由于甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，所以翻譯工作就是“特殊”位置，因此翻譯工作從剩下的四名志愿者中任選一人有C(4,1)=4種不同的選法，再從其余的5人中任選3人從事導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔三項不同的工作有A(5,3)=60種不同的選法，所以不同的選派方案共有C(4,1)XA(5,3)=240種，所以選B。A(5,3)=5X4X3=60科學(xué)分類法問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先元素(即組合)后排列。對于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對各種不同情況，進行科學(xué)分類，以便有條不紊地進行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生。同時明確分類后的各種情況符合加法原理，要做相加運算。例：某單位邀請10為教師中的6為參加一個會議，其中甲，乙兩位不能同時參加，則邀請的不同方法有()種。A.84B.98C.112D.140正確答案【D】解析：按要求：甲、乙不能同時參加分成以下幾類：a。甲參加，乙不參加，那么從剩下的8位教師中選出5位，有C(8,5)=56種;b。 乙參加，甲不參加，同(a)有56種；c。 甲、乙都不參加，那么從剩下的8位教師中選出6位，有C(8,6)=28種。故共有56+56+28=140種。間接法即部分符合條件排除法，采用正難則反，等價轉(zhuǎn)換的策略。為求完成某件事的方法種數(shù)，如果我們分步考慮時，會出現(xiàn)某一步的方法種數(shù)不確定或計數(shù)有重復(fù)，就要考慮用分類法，分類法是解決復(fù)雜問題的有效手段，而當(dāng)正面分類情況種數(shù)較多時，則就考慮用間接法計數(shù)。例：從6名男生，5名女生中任選4人參加競賽，要求男女至少各1名，有多少種不同的選法？A.240B.310C.720D.1080正確答案【B】解析：此題從正面考慮的話情況比較多，如果采用間接法，男女至少各一人的反面就是分別只選男生或者女生，這樣就可以變化成C(11，4)-C(6,4)-C(5,4)=310。捆綁法所謂捆綁法，指在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰元素視作一個整體參與排序，然后再單獨考慮這個整體內(nèi)部各元素間順序。注意：其首要特點是相鄰，其次捆綁法一般都應(yīng)用在不同物體的排序問題中。例：5個男生和3個女生排成一排，3個女生必須排在一起，有多少種不同排法？A.4240B.4320C.4450D.4480正確答案【B】解析：采用捆綁法，把3個女生視為一個元素，與5個男生進行排列，共有A(6，6)=6x5x4x3x2種，然后3個女生內(nèi)部再進行排列，有A(3,3)=6種，兩次是分步完成的，應(yīng)采用乘法，所以排法共有：A(6,6)XA(3,3)=4320(種)。插空法所謂插空法，指在解決對于某幾個元素要求不相鄰的問題時，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。注意：a。首要特點是不鄰，其次是插空法一般應(yīng)用在排序問題中。b。 將要求不相鄰元素插入排好元素時，要注釋是否能夠插入兩端位置。c。 對于捆綁法和插空法的區(qū)別，可簡單記為“相鄰問題捆綁法，不鄰問題插空法”。例：若有甲、乙、丙、丁、戊五個人排隊，要求甲和乙兩個人必須不站在一起，且甲和乙不能站在兩端，則有多少排隊方法？A.9B.12C.15D.20正確答案【B】解析：先排好丙、丁、戊三個人，然后將甲、乙插到丙、丁、戊所形成的兩個空中，因為甲、乙不站兩端，所以只有兩個空可選，方法總數(shù)為A(3,3)XA(2,2)=12種。插板法所謂插板法，指在解決若干相同元素分組，要求每組至少一個元素時，采用將比所需分組數(shù)目少1的板插入元素之間形成分組的解題策略。注意：其首要特點是元素相同，其次是每組至少含有一個元素，一般用于組合問題中。例：現(xiàn)有8個完全相同的籃球全部分給3個班級，每班至少1個球，問共有多少種不同的分法？A.28B.21C.32D.48正確答案【B】解析：解決這道問題只需要將8個籃球分成三組，然后依次將每一組分別分給一個班級即可。因此問題只需要把8個籃球分成三組即可，于是可以將8個籃球排成一排，然后用兩個板插到8個籃球所形成的空里，即可順利的把8個籃球分成三組。因為每個班級至少分得一個籃球，因此兩個板不能放在同一個空里且板不能放在兩端，于是其放板的方法數(shù)是C(7，2)=21(種)。選“一”法，類似除法對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)。這里的“選一”是說：和所求“相似”的排列方法有很多，我們只取其中的一種。例：五人排隊甲在乙前面的排法有幾種？A.60B.120C.150D.180正確答案【A】解析：五個人的安排方式有5!=120種，其中包括甲在乙前面和甲在乙后面兩種情形(這里沒有提到甲乙相鄰不相鄰，可以不去考慮)，題目要求之前甲在乙前面一種情況，所以答案是A(5,5)：A(2,2)二60種。以上方法是解決排列組合問題經(jīng)常用的，注意理解掌握。最后，行測中數(shù)量關(guān)系的題目部分難度比較大，答題耗時比較多，希望考試調(diào)整好答題的心態(tài)和答題順序，在備考過程中掌握好技巧和方法，提高答題的效率。行測的五大模塊有：常識判斷、言語理解、數(shù)量關(guān)系、判斷推理、資料分析中，數(shù)量關(guān)系有其特殊性，就是因為需要一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這和其他四個模塊不一樣，對于其他四個模塊，即使題目做錯了，但至少拿到題目能動筆，華圖公務(wù)員考試研究中心的專家在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，數(shù)量關(guān)系中有的題目考生完全不知道如何下手，特別是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)稍差的同學(xué)。而數(shù)學(xué)題型中，排列組合、容斥問題等無疑是相對來說最需要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的部分了。首先，排列組合涉及到排列跟組合，也涉及到加法原理和乘法原理。排列和組合之間有關(guān)系：與順序有關(guān)用排列，也就是A，與順序無關(guān)用組合，即C；加法原理和乘法原理之間也有關(guān)系：分類用加法，分步用乘法。但加法原理、乘法原理和排列、組合之間沒有關(guān)系，很多人覺得排列組合問題很難就是弄混了這一點。下面我們來詳細講解。舉個例子：一個人從武漢到北京有3種交通工具可以選：飛機、火車、汽車，假設(shè)飛機有3種班次可以選，火車有3種班次可以選，汽車有2種班可以選，那么從武漢到北京共有多少選選擇？答案應(yīng)該是3+3+2=8種。因為這是在分類，將從武漢去北京的方式分為3類，選了其中一個就不能再選第2個，所以用加法原理；再舉個例子：一個人從武漢坐火車去北京，由于沒有直達，只能從南京轉(zhuǎn)，即要先從武漢去南京，再從南京去北京，其中從武漢到南京有3種選擇，從南京到北京有2種選擇，則從武漢經(jīng)過南京到北京有多少種選擇？答案是3X2=6種。因為這是在分步，將從武漢到北京的過程分2步，第一步從武漢去南京，第二步從南京去北京，所以整體上是分步，用乘法原理。例1：林輝在自助餐廳就餐，他準備挑選三種肉類中的一種肉類，四種蔬菜中的兩種不同蔬菜，以及四種點心中的一種點心。若不考慮食物的挑選次序，則他可以有多少種不同的選擇方法？()A.4B.24C.72D.144這個題目整體上來說是在分步，將林輝挑選食物分為3步：第一步挑肉，第二步挑蔬菜，第三步挑點心。所以整體上是在分步，用乘法原理。其中第一步挑肉，從四種肉種選一個，有4種選法；第二步挑蔬菜，從四種蔬菜里挑兩種，有4x3/(2x1)二6種選法；第三步挑點心，從4種點心種選一個，有4種選法。整體上用乘法原理，所以共有4x6x3=72種選法，選C例2：有顏色不同的四盞燈，每次使用一盞、兩盞、三盞或四盞，并按一定的次序掛在燈桿上表示信號，問共可表示多少種不同的信號？A.24種B.48種C.64種D.72種這個題目整體上來說是在分類，將用等表示信號分為四類：1、用一盞燈表示信號；2、用兩盞燈表示信號；3、用二盞燈表示信號；4、用四盞燈表示信號。其中用一盞燈表示信號即從四盞燈里選一盞燈并排序，有四種信號；用兩盞燈表示信號即從四盞燈中選兩盞出來并排序，有4X3=12種信號；用二盞燈表示信號即從四盞燈中選二盞燈出來并排序，有4X3X2=24種方法；用四盞燈表示信號即從四盞燈中選四盞燈出來并排序，有4X3X2X1=24種方法。整體上來說是分類用加法原理，所以共有4+12+24+24=64種信號，選C?？偟膩碚f，排列組合問題雖然很難，但只要分清楚什么時候是分類什么時候是分步，并算清楚每一類或每一步的方法數(shù)（此時往往是用排列或者組合，注意是否與順序有關(guān)），如果是分類再把每一類的方法數(shù)加起來，如果是分步就把每一步的方法數(shù)撐起來。遵循這樣的解題思路，才能更準確的解決排列組合這一較難的專題。排列組合問題是公務(wù)員考試當(dāng)中必考題型，題量一般在一到兩道，近年國考這部分題型的難度逐漸在加大，解題方法也越來越多樣化，所以在掌握了基本方法原理的基礎(chǔ)上，還要求我們熟悉主要解題思想。那首先什么排列、組合呢？排列：從n個不同元素中，任取m個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。組合：從n個不同元素種取出m個元素拼成一組，稱為從n個不同元素取出m個元素的一個組合。解答排列組合問題，首先必須認真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運用基本原理和公式進行分析，同時還要注意講究一些策略和方法技巧。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。解決排列組合問題有幾種相對比較特殊的方法。下面通過例題逐個掌握：一、相鄰問題---捆綁法 不鄰問題---插空法對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可?！纠}1】一張節(jié)目表上原有3個節(jié)目，如果保持這3個節(jié)目的相對順序不變，再添進去2個新節(jié)目，有多少種安排方法？

A.20B.12C.6D.4A.20B.12C.6D.4【答案】A?！窘馕觥渴紫?，從題中之3個節(jié)目固定，固有四個空。所以一、兩個新節(jié)目相鄰的的時候：把它們捆在一起，看成一個節(jié)目，此時注意：捆在一起的這兩個節(jié)目本身也有順序，所以有：C(4，1)X2=4X2=8種方法。二、兩個節(jié)目不相鄰的時候：此時將兩個節(jié)目直接插空有：A(4,2)=12種方法。綜上所述，共有12+8=20種。二、 插板法一般解決相同元素分配問題，而且對被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零)，只對分成的份數(shù)有要求?！纠}2】把20臺電腦分給18個村，要求每村至少分一臺，共有多少種分配方法？A.190 B.171 C.153 D.19【答案】B。【解析】此題的想法即是插板思想：在20電腦內(nèi)部所形成的19個空中任意插入17個板，這樣即把其分成18份，那么共有：C(19，17)=C(19,2)=171種。三、 特殊位置和特殊元素優(yōu)先法對有限制的排列組合問題中的特殊元素或特殊位置優(yōu)先考慮?！纠}2】從6名運動員中選4人參加4X100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的參賽方案各有多少種？A.120 B.240 C.180 D.60【答案】B。【解析】方法一：特殊位置優(yōu)先法：首先填充第一棒，第一棒共有5個元素可供選擇，其次第4棒則有4個元素可以選擇；然后第2棒則有4個元素可以選擇，第3棒則有3個元素可以選擇。則共有5X4X4X3=240種。方法二：特殊元素優(yōu)先法：首先考慮甲元素的位置第一類，甲不參賽有A(5,4)=120種排法；第二類，甲參賽，因只有兩個位置可供選擇，故有2種排法；其余5人占3個位置有A(5,3)=60種占法，故有2X60=120種方案。所以有120+120=240種參賽方案。四、 逆向考慮法對于直接從正面算比較復(fù)雜的排列、組合題，我們就要學(xué)會間接的方法。正方體8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體？A.70 B.64 C.61 D.58【答案】D?！窘馕觥克髥栴}的方法數(shù)二任意選四點的組合數(shù)-共面四點的方法數(shù)，共C（8，4）-12=70-12=58個。五、 分類法解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素性質(zhì)進行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，保證每步獨立，達到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏?！纠}3】五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有A.120種 B.96種C.78種D.72種【答案】C。【解析】由題意可先安排甲，并按其分類討論：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A（4,4）=24種排法；2）若甲在第二，三，四位上，則有3X3X3X2X1=54種排法，由分類計數(shù)原理，排法共有24+54=78種，選C。專家點評：解排列與組合并存的問題時，一般采用先選（組合）后排（排列）的方法