數(shù)值分析-第1章緒論修復(fù)的

二、誤差的概念1、絕對誤差與絕對誤差限例:若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長，大約為1.45米，求1.45米的絕對誤差。1.45米的絕對誤差=？不知道！是近似值的絕對誤差,簡稱為誤差。

定義：設(shè)是準(zhǔn)確值，為

的一個(gè)近似值，稱但實(shí)際問題往往可以估計(jì)出不超過某個(gè)正數(shù)，即則稱為絕對誤差限，有了絕對誤差限,就可以知道的范圍為即落在內(nèi)。在應(yīng)用上，常常采用下列寫法來刻劃的精度。2、相對誤差與相對誤差限定義：設(shè)是準(zhǔn)確值，是近似值，是近似值的誤差，通常取為近似值的相對誤差，記作，稱一般情況下是不知道的，怎么辦？事實(shí)上，當(dāng)較小時(shí)是的二次方項(xiàng)級(jí),故可忽略不計(jì).相應(yīng)地，若正數(shù)滿足

則稱為的相對誤差限。3、有效數(shù)字定義：如果則說近似表示準(zhǔn)確到小數(shù)后第位，并從這第位起直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為有效數(shù)字，并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為有效位數(shù)。如果一個(gè)近似數(shù)的所有數(shù)字均為有效數(shù)字，則稱之為有效數(shù)。由上述定義故若取作的近似值，就有五位有效數(shù)字。若取作的近似值，就有六位有效數(shù)字。取作的近似值，就有三位有效數(shù)字。注：若一近似數(shù)是由原真值經(jīng)四舍五入得到，則必為有效數(shù).定義:若近似值的誤差限是某一位的半個(gè)單位,也即，若有位有效數(shù)字。則稱其中，是1到9中的一個(gè)數(shù)字；是0到9中一個(gè)數(shù)字；為整數(shù)，且該位到的左邊第一位非零數(shù)字共有位,就說有位有效數(shù)字。由上述定義故的近似值分別有三位、五位和六位有效數(shù)字。4、相對誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系Th1.1：

則

至少具有位有效數(shù)字。對于用式表示的近似數(shù)，若具有位有效數(shù)字，則其相對誤差限為反之，若的相對誤差限為Th1.2：

設(shè)反之,若的相對誤差的絕對值大于，其中為整數(shù),為正整數(shù),。有位有效數(shù)字。則至多若至多有位有效數(shù)字,即是有效數(shù)字,而不是有效數(shù)字,則的相對誤差的絕對值必大于;證明：不是有效數(shù)字

反之,若

則

不是有效數(shù)字，

即至多有位有效數(shù)字.

§4

數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)一、四則運(yùn)算的誤差估計(jì)兩個(gè)近似數(shù)與,其誤差限分別為及,它們進(jìn)行加減乘除運(yùn)算得到的誤差限分別為二、函數(shù)誤差估計(jì)當(dāng)自變量有誤差時(shí)，計(jì)算函數(shù)值也會(huì)產(chǎn)生誤差，其誤差限可利用函數(shù)的Taylor展開式進(jìn)行估計(jì)。

設(shè)是一元函數(shù)，的近似值為,以近似，其誤差限記作，可用Taylor展開

介于之間.取絕對值得假定與的比值不太大,,可忽略的高階項(xiàng),于是可得計(jì)算函數(shù)的誤差限為

當(dāng)為多元函數(shù)時(shí)計(jì)算,如果的近似值為,則的近似為于是函數(shù)值的誤差由Taylor展開,得：于是誤差限為而的相對誤差限為(1.3.1)(1.3.2)例:已測得某場地長的值為,寬的值為,已知,.試求面積的絕對誤差限與相對誤差限.解:因

其中由式(1.3.1)得而于是絕對誤差限為相對誤差限為§5

算法的數(shù)值穩(wěn)定性

數(shù)值計(jì)算在設(shè)計(jì)算法時(shí)首先關(guān)心的是由它產(chǎn)生的計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性，而算法的穩(wěn)定性與舍入誤差是否增長密切相關(guān)。一個(gè)算法如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)（即誤差），而在計(jì)算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱其為數(shù)值不穩(wěn)定。

例：求定積分的值.解：直接積分可產(chǎn)生遞推公式若取初值可得遞推公式按公式就可以逐步算出注意此公式精確成立，且Whathappened?!不穩(wěn)定的算法！這就是誤差傳播所引起的危害!

NYBJ蝴蝶效應(yīng)——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗的北京就刮起臺(tái)風(fēng)來了？！這是一個(gè)病態(tài)問題由題設(shè)中的遞推公式（1）可看出，

的誤差擴(kuò)大了5倍后傳給

，因而初值

的誤差對以后各步這就造成的計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重失真。計(jì)算結(jié)果的影響，隨著

的增大愈來愈嚴(yán)重。要怎么做才能解決這個(gè)問題呢?可求得I90.017，按改寫后的公式可逐次求得不妨設(shè)I9I10，于是由將公式變?yōu)?/p>

I80.019I70.021 I60.024I80.028 I40.034I30.043 I20.058I10.088 I00.182穩(wěn)定的算法！

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。注：遞推公式(1)的舍入誤差以5的冪次增長進(jìn)行傳播，因此是數(shù)值不穩(wěn)定的，而遞推公式(2)的舍入誤差在一定范圍內(nèi)以0.2的冪次進(jìn)行傳播，隨著n的增大，誤差逐步減少，因此該算法是數(shù)值穩(wěn)定的。

因此，可以看出數(shù)值不穩(wěn)定的算法是不能使用的，實(shí)際計(jì)算中對任何輸入數(shù)據(jù)都是數(shù)值穩(wěn)定的算法，稱為無條件穩(wěn)定。而對某些數(shù)據(jù)數(shù)值穩(wěn)定，對其它數(shù)據(jù)數(shù)值不穩(wěn)定的算法，稱為條件穩(wěn)定。1.要避免兩個(gè)相近的數(shù)相減在數(shù)值計(jì)算中，兩個(gè)相近的數(shù)作減法時(shí)有效數(shù)字會(huì)損失。例:

求的值。當(dāng)x=1000，y的準(zhǔn)確值為0.01580

§6數(shù)值計(jì)算中應(yīng)該注意的一些原則類似地

(2)若將原式改寫為則y=0.01581(1)直接相減有3位有效數(shù)字！只有1位有效數(shù)字2.盡量避免絕對值太小的數(shù)作分母例：如分母變?yōu)?.0011，也即分母只有0.0001的變化時(shí)結(jié)果相差這么大!3.避免大數(shù)吃小數(shù)精確解為算法1：利用求根公式例：用單精度計(jì)算的根。在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.1010，取單精度時(shí)就成為：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010算法2：先解出再利用注：求和時(shí)從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算1+2+3+…+40+1094.簡化計(jì)算步驟，避免誤差積累。一般來說，計(jì)算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度為例：多項(xiàng)式求值：給定的x求下列n次多項(xiàng)式的值。

解：1.用一般算法，即直接求和法；

2.逐項(xiàng)求和法；3.秦九韶方法(即Hornor算法）；先計(jì)算x2,x3,…,xn,再作線性組合，需做2n-1次乘法和n次加法。解法一：直接求和法解法二：逐項(xiàng)求和法按順序依次計(jì)算每一項(xiàng)的值再求和，需做n(n+1)/2次乘法和n次加法。解法三：秦九韶算法（即Horner算法）只需做n次乘法和n次加法。且可以遞推實(shí)現(xiàn)。計(jì)算機(jī)上使用的算法常采用遞推化的形式，遞推化的基本思想是把一個(gè)復(fù)雜的計(jì)算過程歸結(jié)為簡單過程的多次重復(fù)。這種重復(fù)在程序上表現(xiàn)為循環(huán)。遞推化的優(yōu)點(diǎn)是簡化結(jié)構(gòu)和節(jié)省計(jì)算量。算法的遞推性例：用秦九韶方法求多項(xiàng)式p(x)在x=-2處的值解：

Ka5-KvK00