專題26活用隱圓的五種定義妙解壓軸題（原卷版）

專題26活用隱圓的五種定義妙解壓軸題【題型歸納目錄】題型一：隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)題型二：隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值題型三：隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90°題型四：隱圓的第四定義：邊與對(duì)角為定值、對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值題型五：隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值【典例例題】題型一：隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)例1.（2022?和平區(qū)校級(jí)月考）平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,C,。滿足|D4HO8|=|OC|=2,且DA.DB=DB.DC=DC.DA=-2,動(dòng)點(diǎn)、P,M滿足|4P|=1,PM=MC,則I的最大值為（）437+6>/3D37+2而643八49A.B.C.—D.—4444例2.（2022春?溫州期中）已知府是單位向量，ab=0,若向量c滿足d+G|=1,則|d-b|的取值范圍是（）A.（V2-1,V2+1]B.[1,V2+1]C.10,2]￡>.[6-1,逐+1]例3.（2022?延邊州一模）如果圓。-4）2+。，-。）2=8上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為0,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）A.（-3,3）B.（-1J）C.（-3,1）D.（-3,一3）例4.（2022?花山區(qū)校級(jí)期末）設(shè)點(diǎn)例為直線x=2上的動(dòng)點(diǎn)，若在圓0:/+）,2=3上存在點(diǎn)n,使得/OMN=30。,則M的縱坐標(biāo)的取值范圍是（）A.f-1,1]/?.C.[-2yf2,242]D.12222例5.（2022?廣元模擬）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,C,。滿足1941=10^1=1031=2,DA.BC=DB.AC=DC.AB=0,動(dòng)點(diǎn)尸，M滿足|A戶|=1,PM=MC,則|8而『的最大值為.題型二：隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值例6.（2022?普陀區(qū)二模）如圖，AA8C是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)尸在AA8C所在的平面內(nèi)，且|為）+|而『+|西|2=心為常數(shù)）下列結(jié)論中，正確的是（）A.當(dāng)Ovavl時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)B.當(dāng)。=1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)C.當(dāng)。>1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)D.當(dāng)。為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)。是有限個(gè)例7.(2022?江蘇模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O:/+y2=],圓M:(x+g+3)2+(>-2〃)2=1(〃為實(shí)數(shù)).若圓O和圓M上分別存在點(diǎn)P,Q,使得/O0P=3O。，則〃的取值范圍為.例8.(2022?通州區(qū)月考)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，P(2,2),Q(0,T)為兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在直線x=-l上，動(dòng)點(diǎn)N滿足N0+NQ2=16,則IPM+PN」的最小值為.例9.(2022?鹽城三模)已知A,B,C,。四點(diǎn)共面，BC=2,AB^+AC2=20,8=3。(，則|3萬(wàn)|的最大值為.例10.(2022?大武口區(qū)校級(jí)期末)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=l,點(diǎn)A(T0),點(diǎn)尸是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則1=|幺|2+|。4|2的最大值為，最小值為.例11.(2022?大觀區(qū)校級(jí)期中)正方形ABCD與點(diǎn)?在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長(zhǎng)為1,且|PA|2+|PB|2=|PC|2,求|PQ|的取值范圍.例12.己知。。:。一3)2+()，—4)2=1,點(diǎn)4—1,0)，倒1,0),點(diǎn)尸是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的〃點(diǎn)坐標(biāo).題型三：隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90°例13.(2022春?湖北期末)已知2,b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量,若向量滿足他-3)?指-2己=0,則任I的最大值是()A.V2B.—C.—D.—225例14.(2022春?龍風(fēng)區(qū)校級(jí)期末)已知圓C:(x-l)2+(y-3)2=10和點(diǎn)M(5"),若圓C上存在兩點(diǎn)A,ZT使得則實(shí)數(shù)/的取值范圍是3A.[3,5]B.[2,4]C.[2,6]D.[1,5]例15.(2022?荊州區(qū)校級(jí)期末)已知M,N是圓0:/+尸=4上兩點(diǎn)，點(diǎn)。(1,2),旦「而?尸曾=(),則|M/V|的最小值為()A.V5-1B.75-V3C.瓜-6D.x/6-72例16.(2022?浙江期中)已知點(diǎn)4(1一〃?,0),8(1+〃?,0),若圓C:/+y2-8x-8y+31=0上存在一點(diǎn)P,使得？4_LQ8,則實(shí)數(shù)，〃的最大值是()4.4B.5C.6D.7例17.(2022?彭州市校級(jí)月考)設(shè)〃wR,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線％+如，=0和過定點(diǎn)笈的動(dòng)直線皿-+3=0交于點(diǎn)P(x,y),貝I」|E41+1P31的取值范圍是()A.[75,2x/51B.[2n/5,4C.[加，4⑹D.fVlO,2后例18.（2022?安徽校級(jí)月考）設(shè)加eA,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線4+%，+〃?=0和過定點(diǎn)3的動(dòng)直線加-y+2=0交于點(diǎn)P（x,y）,則|PA|+1|的取值范圍是（）4.[6,26]B.[710,275]C.lVl（j,4x/5]/^.[2石,4石]例19.（2022?北京模擬）己知〃好/?,過定點(diǎn)4的動(dòng)直線爾+y=0和過定點(diǎn)8的動(dòng)直線工-“，-m+3=0交于點(diǎn)尸，則|24|+6口或的取值范圍是（）A.（加,2洞艮（x/10,x/301C.而，而）D[710,2710]例20.（2022春?大理市校級(jí)期末）己知圓C:（x-3尸+（），-4尸=1和兩點(diǎn)4-〃?,0）,8（〃?,0）,（〃?（））.若圓C上存在點(diǎn)夕，使得NAPB=9O。，則機(jī)的最小值為（）A.74.6C.5D.4例21.（2022春?紅崗區(qū)校級(jí)期末）已知圓。:/+），2-61-8），+24=0和兩點(diǎn)A（t〃,0）,B（m,（））（/〃>（））,若圓C上存在點(diǎn)尸，使得而1戶=（）,則〃?的最大值與最小值之差為（）A.\B.2C.3D.4例22.（2022?蘭州一模）已知圓6尸+（y-l）2=1和兩點(diǎn)A（T,0）,即,0）（/>0）,若圓C上存在點(diǎn)P，使得NAPB=90°,則當(dāng)，取得最大值時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（）4G李&（乎，|）c.（1,亭皿（苧,1）例23.（2022?海淀區(qū)校級(jí)三模）過直線/:y=2x+。上的點(diǎn)作圓Uf+y2=i的切線，若在直線/上存在一點(diǎn)”，使得過點(diǎn)M的圓C的切線MP，M0（。，Q為切點(diǎn)）滿足NPMQ=90。，則〃的取值范圍是（）A.[-10,10]B.[-V10,ViO]C.（-00,-10]J[l0,+00）Z）.（-00,-x/io]|jl>/io,+00）例24.（2022春?東陽(yáng)市校級(jí)期中）如圖，四邊形人OCA中，OA1OC,CA1CB,AC=2,C8=0,則08的長(zhǎng)度的取值范圍是.例25.（2022春?淮安校級(jí)期中）若實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，點(diǎn)P（-l,0）在動(dòng)直線如+價(jià)+c=0上的射影為M,點(diǎn)N坐標(biāo)為（3,3）,則線段例N長(zhǎng)度的最小值是.題型四：隱圓的第四定義：邊與對(duì)角為定值、對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值例26.（2022?長(zhǎng)治模擬）已知1,b是平面向量，G是單位向量，若非零向量4與？的夾角為工，向量5,3。滿足52-60?方+8=0,則|。一6|的最小值為.例27.（2022春?瑤海區(qū)月考）在平面四邊形A8C。中，連接對(duì)角線8。，已知CD=9,友）=16,/BDC=90。,sinA=±,則對(duì)角線AC的最大值為（）5A.27及16C.10D.25

例28.（2022秋?沈河區(qū)校級(jí)期中）設(shè)向量3，5,滿足：|町=|〃|=1,@正=一一，＜a-c,b-c＞=60°,2則|司的最大值為（）A.2B.V3C.近D.\例29.（2022?閘北區(qū)一?模）在平面內(nèi)，設(shè)A,8為兩個(gè)不同的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足：萬(wàn)?》8=產(chǎn)4為實(shí)常數(shù)）,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為（）A.圓4.橢圓C.雙曲線Q.不確定例30.（2022?和平區(qū)校級(jí)一模）如圖，梯形48CZ）中，AB//CD,AE?=2,CD=4,BC=AD=&E和廠分別為4）與8c的中點(diǎn)，對(duì)于常數(shù)在梯形A88的四條邊上恰好有8個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得尸E?P尸=/成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是（）A?（—,）B?（——,—）C?（——,—）D.（9——）4204444204例31.（2022?寧城縣一模）如圖，正方形A8CZ）的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)石，尸分別在邊AD,BC上，且。石=2AE,CF=2BF.如果對(duì)于常數(shù)力,在正方形ABC。的四條邊上，有且只有6個(gè)不同的點(diǎn)尸使得。巨?P戶=4成立，那么4的取值范圍是（）A.（0,7）5.（4,7）C.（0,4）0.（-5,16）例32.（2022?黃浦區(qū)校級(jí)三模）在邊長(zhǎng)為8的正方形中，M是4c的中點(diǎn)，N是D4邊上的一點(diǎn)，旦|ON|=3|N4|,若對(duì)于常數(shù)〃？，在正方形A8CD的邊上恰有6個(gè)不同的點(diǎn)?滿足：PM?PZ=m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.題型五：隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值例33.（2022?湖南?長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）古希臘三大數(shù)學(xué)家之一阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中指出：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)左（攵＞0且的點(diǎn)的軌跡是圓，已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A（6,0）,8（2石，0）,直線依-38（2石，0）,直線依-3」《+2=0,曲線C上動(dòng)點(diǎn)「滿足則曲線C與直線I相交于M、N兩點(diǎn),A.也B.VlOC.2亞D.2而例34.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐兒里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q,尸的距離之比\MQ\扁=〃丸＞0乂/1）,那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為x2+y2=1,其中，定點(diǎn)。為x釉上一點(diǎn)，定點(diǎn)尸的坐標(biāo)為，:,。］乂=3,若點(diǎn)8（1/），則31MH+|M8|的最\7小值為（）A.屈B.VhC.屈D.Vp7例35.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯（公元前262年~公元前190年），古希臘人，與阿基米德、歐幾里得一起被譽(yù)為占希臘三大數(shù)學(xué)家.阿波羅尼斯研究了眾多平面軌跡問題，其中阿波羅尼斯圓是他的論著中的一個(gè)著名問題：已知平面上兩點(diǎn)A,&則所有滿足周二%（2>0,且人用）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓.已知平面內(nèi)的兩個(gè)相異定點(diǎn)P,。，動(dòng)點(diǎn)M滿足|例閆=2|阿，記M的軌跡為C,若與C無(wú)公共點(diǎn)的直線/上存在點(diǎn)R,使得|加國(guó)的最小值為6,且最大值為10,則。的長(zhǎng)度為（）A.27VB.4%C.SttD.T6兀例36.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)以%>。且左力1）的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)4,B間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)P與A,B距離之比滿足：|PA|=G|P8|,當(dāng)P、A、B三點(diǎn)不共線時(shí)，△PA8面積的最大值是（）A.2&B.2C.&D.V2例37.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知兩定點(diǎn)戶（一；,0）,0（加,0）,<-4，動(dòng)點(diǎn)M與P、Q的距離\m（A,_之比扁=4（2>0且丸工1），那么點(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，若其方程為./+）,2=4,則幾十〃?的值為（）A.-88.—4C.0D.4例38.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：己知?jiǎng)狱c(diǎn)”與兩個(gè)定點(diǎn)A,8的距離之比為4（2>0,且丸口），那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)戶滿足周=石，則|幺「+歸城的最大值為（）A.16+8>/35.8+4石C.7+4730.3+6例39.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262?公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)左（后>0且4工1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.己經(jīng)5。，0）,A（3,0）,動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿足舒=2,則動(dòng)點(diǎn)尸軌跡與圓（x-2y+y2=］的位置關(guān)系是（）A.相交B.相離C內(nèi)切。.外切例40.（2022?河南省杞縣高中高三階段練習(xí)（理））古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262~公元前