第一節(jié)預(yù)備知識(shí)

在一切理論成就中，未必有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的卓越勝利了。

恩格斯1微積分2高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教材《微積分》范培華章學(xué)誠(chéng)劉西垣編著中國(guó)商業(yè)出版社3前言

現(xiàn)代的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)融合了大量的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握其主體內(nèi)容成為一個(gè)大學(xué)生的必備技能。

本課程主要介紹三塊內(nèi)容：微積分學(xué)、級(jí)數(shù)理論和常微分方程，其中微積分學(xué)分為一元微積分學(xué)和多元微積分學(xué)，上冊(cè)主要介紹一元微積分學(xué)，其余在下冊(cè)介紹。

通過(guò)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不但使學(xué)生具備學(xué)習(xí)后續(xù)其他數(shù)學(xué)課程和專業(yè)課程所需要的基本數(shù)學(xué)知識(shí)，而且還使學(xué)生在數(shù)學(xué)的抽象性、邏輯性與嚴(yán)密性方面受到必要的訓(xùn)練和熏陶，使他們具有理解和運(yùn)用邏輯關(guān)系、研究和領(lǐng)會(huì)抽象事物、認(rèn)識(shí)和利用數(shù)形規(guī)律的初步能力。因此，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅關(guān)系到學(xué)生在整個(gè)大學(xué)期間甚至研究生期間的學(xué)習(xí)質(zhì)量，而且還關(guān)系到學(xué)生的思維品質(zhì)、思辨能力、創(chuàng)造潛能等科學(xué)和文化素養(yǎng)。高等數(shù)學(xué)教學(xué)既是科學(xué)的基礎(chǔ)教育，又是文化基礎(chǔ)教育，是素質(zhì)教育的一個(gè)重要的方面。

4同時(shí)發(fā)明了微積分，微積分研究的主要對(duì)象就是函數(shù)。

微積分(Calculus)是一門以變量為研究對(duì)象、以極限方法作為研究工具的數(shù)學(xué)學(xué)科，應(yīng)用極限方法研究各類變化率問(wèn)題和幾何學(xué)中曲線的切線問(wèn)題，就產(chǎn)生了微分學(xué)；應(yīng)用極限方法研究諸如曲邊梯形的面積等涉及到微小量無(wú)窮積累的問(wèn)題，就產(chǎn)生了積分學(xué)。英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲5

牛頓，是英國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家。1642年12月25日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村,1727年3月20日在倫敦病逝。

牛頓1661年入英國(guó)劍橋大學(xué)三一學(xué)院，1665年獲文學(xué)士學(xué)位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他制定了一生大多數(shù)重要科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖。1667年回劍橋后當(dāng)選為三一學(xué)院院委，次年獲碩士學(xué)位。1669年任盧卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造幣廠監(jiān)督，并移居倫敦。1703年任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)。1706年受女王安娜封爵。他晚年潛心于自然哲學(xué)與神學(xué)。

牛頓在科學(xué)上最卓越的貢獻(xiàn)是微積分和經(jīng)典力學(xué)的創(chuàng)建。6萊布尼茨，德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人；1646年7月1日生于萊比錫，1716年11月14日卒于德國(guó)的漢諾威。他父親是萊比錫大學(xué)倫理學(xué)教授，家庭豐富的藏書引起他廣泛的興趣。1661年入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，又曾到耶拿大學(xué)學(xué)習(xí)幾何，1666年在紐倫堡阿爾特多夫取得法學(xué)博士學(xué)位。他當(dāng)時(shí)寫的論文《論組合的技巧》已含有數(shù)理邏輯的早期思想，后來(lái)的工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。

1667年他投身外交界，曾到歐洲各國(guó)游歷。1676年到漢諾威，任腓特烈公爵顧問(wèn)及圖書館的館長(zhǎng)，并常居漢諾威，直到去世。萊布尼茨的多才多藝在歷史上很少有人能和他相比，他的著作包括數(shù)學(xué)、歷史、語(yǔ)言、生物、地質(zhì)、機(jī)械、物理、法律、外交等各個(gè)方面。7一、微積分的實(shí)際背景

1.瞬時(shí)速度

2.曲線的切線斜率

3.曲邊圖形的面積

二、微積分學(xué)的思想方法

運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展乃至質(zhì)變，是微積分的根本思想方法，但運(yùn)動(dòng)、變化的定量刻畫卻表現(xiàn)在它的反面，即相對(duì)靜止之中，也就是說(shuō)，用定量的方法來(lái)刻畫變量的變化。

8三、微積分學(xué)的基本結(jié)構(gòu)

比如做家具：

原料：函數(shù)工具：極限產(chǎn)品一：導(dǎo)數(shù)產(chǎn)品二：積分方式一方式二9第一章

函數(shù)及其圖形10由于實(shí)踐和各門科學(xué)自身發(fā)展的需要，到了16世紀(jì)，對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的研究成為自然科學(xué)的中心問(wèn)題.與之相適應(yīng)，數(shù)學(xué)在經(jīng)歷了兩千多年的發(fā)展之后進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)代，即變量數(shù)學(xué)的時(shí)代.作為在運(yùn)動(dòng)中變化的量(變量)及它們之間的依賴關(guān)系的反映，數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了變量和函數(shù)的概念.例如，伽利略發(fā)現(xiàn)自由落體下落的距離s與經(jīng)歷的時(shí)間t的平方成正比，得到著名的公式

確定了變量t與s之間的依賴關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系，這就是自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)表述.11數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)，就是要找出反映各種實(shí)際問(wèn)題中變量的變化規(guī)律，即其中所蘊(yùn)含的變量之間的函數(shù)關(guān)系.函數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，微積分研究函數(shù)的一些局部的和整體的性態(tài).本章介紹函數(shù)的一般概念，幾種常用的表示方式，最基本的函數(shù)類——初等函數(shù)，函數(shù)的性質(zhì)，以及經(jīng)濟(jì)學(xué)中幾種常用的函數(shù).12第一節(jié)預(yù)備知識(shí)一、集合及其運(yùn)算集合是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念.具有某種指定性質(zhì)的事物的總體稱為一個(gè)集合。組成這個(gè)集合的事物稱為這個(gè)集合的元素。

通常用大寫字母A、B、C等表示集合，用小寫字母a、b、c等表示集合的元素。

如果a是集合A的元素，則記作aA，讀作a屬于A；如果a不是集合A的元素，則記作

，或，讀作a不屬于A。13

由有限個(gè)元素構(gòu)成的集合稱為有限集，由無(wú)限多個(gè)元素構(gòu)成的集合稱為無(wú)限集。不含任何元素的集合稱為空集，記為?。集合的表示法通常有兩種：1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái).2、描述法：即用刻畫集合中全體元素的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明.例如：例如：14常見(jiàn)數(shù)集的記號(hào)：

自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集正整數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)軸本書中如無(wú)特別說(shuō)明，均限于實(shí)數(shù)范圍內(nèi)。151、包含如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱集合A是集合B的子集.記作。例如：2、相等如果集合A和B互相包含，即且,則稱A和B的相等，記作。BA集合之間的關(guān)系：161、并集合之間的運(yùn)算：BA例如，則基本性質(zhì)：172、交BA例如，則基本性質(zhì)：183、差BAAB例如，表示全體無(wú)理數(shù)組成的集合。基本性質(zhì)：19二、絕對(duì)值及其基本性質(zhì)設(shè)x為一實(shí)數(shù)，則其絕對(duì)值定義為幾何意義：|x|表示數(shù)軸上點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離。|x-

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