物理光學(xué)第一章第六節(jié)-光波的傅立葉分析

貫穿本節(jié)的基本思想：

復(fù)雜光波分解為一組不同頻率的單色光波的線性組合；將不同頻率的單色光波線性疊加，獲得任意復(fù)雜光波傅立葉分析方法法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家三角級數(shù)創(chuàng)始人傅立葉提出

1748年,Euler弦振動研究1807年，研究熱的傳播與擴(kuò)散現(xiàn)象1829年狄里赫利(Dirichlet)收斂條件拉格朗日(Lagrange)反對發(fā)表1822年，出版“熱的分析理論”一書中首次公開研究成果傅立葉的兩個主要貢獻(xiàn)——周期信號可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和。非周期信號可用正弦信號的加權(quán)積分表示。發(fā)展簡史：

Poisson、Guass等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。

FFT快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。光波的傅里葉分析1．相同頻率而有任意振幅和位相的單色光波的疊加時，所得到的合成波仍然是單色光波。2．兩個不同頻率的單色光波疊加起來，其結(jié)果就不再是單色波，波形曲線不再是正弦或余弦曲線。3．反過來，任意一個復(fù)雜波也可以分解成一組單色波。非簡諧周期性波的傅里葉級數(shù)表示具有空間周期λ的函數(shù)f(z)，可以表示成一些空間周期為λ的分?jǐn)?shù)倍（即λ，λ/2，λ/3…）的簡諧函數(shù)之和。其數(shù)學(xué)形式為所謂周期波就是在相鄰的相等時間和空間內(nèi)運動完全重復(fù)一次的波.利用傅里葉級數(shù)定理,對于空間角頻率為k的復(fù)雜波f(z)，可以表示成許多空間角頻率為k,2k,3k,…的不同振幅的單色波的疊加.An,Bn是某一空間角頻率的單色波的振幅,表示該單色光波在復(fù)雜波中所占的比例.例：如圖11-41空間周期為λ的矩形波，在一個周期內(nèi)它可用如下函數(shù)表示：f(z)為奇數(shù)即f(z)=-f(-z)：則A0=0，An=0λ/2λ-λ/2zf(z)+1-10圖11-41得到B1=4/π，B2=0，B3=4/(3π)，B4=0，B5=4/(5π)，…該矩形波的傅里葉級數(shù)為：其中第一項成為基波，它的空間角頻率為k=2π/λ，空間頻率為1/λ，是基頻。第二項、第三項是三次諧波和五次諧波[空間頻率m/λ(m≥2)是諧頻]。將上式展開,得通常用一種空間頻譜圖解方法來表示傅里葉分析的結(jié)果。周期性復(fù)雜波的頻譜是離散頻譜。k振幅4/π4/3π4/5π4/7πk3k5k7k傅里葉級數(shù)也可以表示為復(fù)數(shù)形式:其中系數(shù)顯然式(4)級數(shù)中的每一項也都可以看成為一個單色波,所以式(4)式的意義仍然可以理解為周期性復(fù)雜波的分解.非周期性波不是無限次的重復(fù)它的波形,而是只存在于一定的有限范圍之內(nèi)。此時，由于其周期為無窮大，λ→∞，則傅里葉級數(shù)→傅里葉積分：其中：稱A(k)為函數(shù)f(z)的傅里葉變換(頻譜)。傅里葉積分可理解為一個波包可以分解成無窮多個單色波.非周期性波的傅里葉積分表示Ka/2x下面以矩形脈沖非周期函數(shù)(如矩形脈沖電信號或平面光波通過一細(xì)縫后的復(fù)振幅分布)為例,求取它的傅里葉變換及頻譜圖.矩形脈沖函數(shù)可表示為它的頻譜函數(shù)為矩形脈沖非周期函數(shù)的頻譜是連續(xù)譜.波列：一定長度范圍內(nèi)振幅和空間角頻率為常數(shù)的波。若選波列的中點為坐標(biāo)原點，它的函數(shù)形式可寫為：振幅2LA0實際光源發(fā)出的光波的分析它的傅里葉分解頻譜為：（振幅函數(shù)）其強(qiáng)度函數(shù)：（略去常數(shù)因子）I(k)10k0k0-π/Lk0+π/Lπ/Lk其空間頻譜圖是一條連續(xù)曲線強(qiáng)度的第一零值點出現(xiàn)在：則可取波列長度反比于頻譜寬度

作為有效空間角頻率范圍，認(rèn)為波列包含的諸分波的空間角頻率處于這一范圍內(nèi)，由k=2π/λ，則用波長范圍表示為：

由上兩式可知,波列長度2L越長,則波列所包含的單色光波的波長范圍或有效空間頻率范圍就越窄,實際光源發(fā)出的光波的單色性就越好;反之,就越窄,其單色性就越差;當(dāng)波列長度等于無窮大時,和等于零,就得到單色光波.實際上,由于原子間碰撞,引起發(fā)射譜線增寬,大多只能獲得準(zhǔn)單色光,即波長寬度與中心波長之比的光波.若波列的持續(xù)時間Δt的大小與波列長度2L對應(yīng)，的寬窄與對應(yīng)時，波列所包含的單色波的頻率范圍為