高中數(shù)學排列組合問題的幾種基本方法

從n個不同元素中,任取m個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2.組合的定義:從n個不同元素中,任取m個元素,并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.3.排列數(shù)公式:4.組合數(shù)公式:1.排列的定義:排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系:與順序有關的為排列問題,與順序無關的為組合問題.2/6/20231排列組合綜合問題高二荊亮2/6/20232例1.7人排成一排.甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？♀♀♀

♀♀解：分兩步進行：♀♀幾個元素不能相鄰時,先排一般元素，再讓特殊元素插空.第1步，把除甲乙外的一般人排列：第2步，將甲乙分別插入到不同的間隙或兩端中(插空)：↑

↑

↑

↑

↑↑解決一些不相鄰問題時，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使問題得以解決.1.插空法：2/6/20233變

學校組織老師學生一起看電影，同一排電影票12張。8個學生，4個老師，要求老師在學生之間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？解先排學生共有種排法,然后把老師插入學生之間的空檔，共有7個空檔可插,選其中的4個空檔,共有種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為種.結論1

插空法:對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.分析此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時就要特殊對待.所涉及問題是排列問題.2/6/20234相鄰元素的排列，可以采用“局部到整體”的排法，即將相鄰的元素局部排列當成“一個”元素，然后再進行整體排列.2.捆綁法例2.6人排成一排.甲、乙兩人必須相鄰,有多少種不的排法?♀♀♀

♀♀

♀解：（1）分兩步進行：甲乙第一步，把甲乙排列(捆綁)：第二步，甲乙兩個人的梱看作一個元素與其它的排隊：♀♀幾個元素必須相鄰時,先捆綁成一個元素，再與其它的進行排列.2/6/20235變

5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種不同的排法?

解

因為女生要排在一起,所以可以將3個女生看成是一個人,與5個男生作全排列,有種排法,其中女生內部也有種排法,根據(jù)乘法原理,共有種不同的排法.結論2

捆綁法:要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也可以作排列.分析此題涉及到的是排隊問題,對于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她們要相鄰,因此可以將她們看成是一個元素來解決問題.2/6/20236例4.5個人站成一排，甲總站在乙的右側的有多少種站法？幾個元素順序一定的排列問題，一般是先排列，再消去這幾個元素的順序.或者，先讓其它元素選取位置排列，留下來的空位置自然就是順序一定的了.3.除法消序法(留空法)解法1：將5個人依次站成一排，有解法2：先讓甲乙之外的三人從5個位置選出3個站好，有種站法，然后再消去甲乙之間的順序數(shù)∴甲總站在乙的右側的有站法總數(shù)為種站法，留下的兩個位置自然給甲乙有1種站法∴甲總站在乙的右側的有站法總數(shù)為2/6/20237變式：如下圖所示,有5橫8豎構成的方格圖,從A到B只能上行或右行共有多少條不同的路線?解:如圖所示→1↑①→2↑②↑③→3→4→5↑④→6→7將一條路經抽象為如下的一個排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四個↑和七個→組成!所以,四個↑和七個→一個排序就對應一條路經,所以從A到B共有條不同的路徑.也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④順序一定的排列，有種排法.2/6/20238n個相同小球放入m(m≤n)個盒子里,要求每個盒子里至少有一個小球的放法等價于n個相同小球串成一串從間隙里選m-1個結點剪截成m段.例4.某校準備參加今年高中數(shù)學聯(lián)賽,把16個選手名額分配到高三年級的1-4個教學班,每班至少一個名額,則不同的分配方案共有___種.4.隔板法：解：問題等價于把16個相同小球放入4個盒子里,每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題.將16個小球串成一串，截為4段有種截斷法，對應放到4個盒子里.因此，不同的分配方案共有455種.2/6/20239n個相同小球放入m(m≤n)個盒子里,要求每個盒子里至少有一個小球的放法等價于n個相同小球串成一串從間隙里選m-1個結點剪截成m段.變式：某校準備參加今年高中數(shù)學聯(lián)賽,把16個選手名額分配到高三年級的1-4個教學班,每班的名額不少于該班的序號數(shù),則不同的分配方案共有___種.解：問題等價于先給2班1個，3班2個，4班3個，再把余下的10個相同小球放入4個盒子里,每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題.將10個小球串成一串，截為4段有種截斷法，對應放到4個盒子里.因此，不同的分配方案共有84種.2/6/202310變：在高二年級中的8個班,組織一個12個人的年級學生分會,每班要求至少1人,名額分配方案有多少種?解

此題可以轉化為:將12個相同的白球分成8份,有多少種不同的分法問題,因此須把這12個白球排成一排,在11個空檔中放上7個相同的黑球,每個空檔最多放一個,即可將白球分成8份,顯然有種不同的放法,所以名額分配方案有種.結論3

隔板轉化模型法:對于某些較復雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉化思想,將其化歸為簡單的、具體的問題來求解.分析此題若直接去考慮的話,就會比較復雜.但如果我們將其轉換為等價的其他問題,就會顯得比較清楚,方法簡單,結果容易理解.2/6/2023115.另兩種轉化模型法2/6/202312例5（1）袋中有不同的5分硬幣23個,不同的1角硬幣10個,如果從袋中取出2元錢,有多少種取法?解

把所有的硬幣全部取出來,將得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3個5分或1個5分與1個1角,所以共有種取法.結論4

剩余法:在組合問題中,有多少取法,就有多少種剩法,他們是一一對應的,因此,當求取法困難時,可轉化為求剩法.分析

此題是一個組合問題,若是直接考慮取錢的問題的話,情況比較多,也顯得比較凌亂,難以理出頭緒來.但是如果根據(jù)組合數(shù)性質考慮剩余問題的話,就會很容易解決問題.2/6/202313例5（2）

期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學之前考,有多少種不同的安排順序?解

不加任何限制條件,整個排法有種,“語文安排在數(shù)學之前考”,與“數(shù)學安排在語文之前考”的排法是相等的,所以語文安排在數(shù)學之前考的排法共有種.結論5

對等法:在有些題目中,它的限制條件的肯定與否定是對等的,各占全體的二分之一.在求解中只要求出全體,就可以得到所求.分析對于任何一個排列問題,就其中的兩個元素來講的話,他們的排列順序只有兩種情況,并且在整個排列中,他們出現(xiàn)的機會是均等的,因此要求其中的某一種情況,能夠得到全體,那么問題就可以解決了.并且也避免了問題的復雜性.2/6/2023146.剔除法從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.例6.從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經過坐標原點的直線有_________條.解：所有這樣的直線共有條，其中不過原點的直線有條，∴所得的經過坐標原點的直線有210-180＝30條.排列組合應用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答這類應用題時，要注意使用相關知識對答案進行取舍.2/6/202315變：某班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種?解

43人中任抽5人的方法有種,正副班長,團支部書記都不在內的抽法有種,所以正副班長,團支部書記至少有1人在內的抽法有種.結論6

排除法:有些問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中排除.分析此題若是直接去考慮的話,就要將問題分成好幾種情況,這樣解題的話,容易造成各種情況遺漏或者重復的情況.而如果從此問題相反的方面去考慮的話,不但容易理解,而且在計算中也是非常的簡便.這樣就可以簡化計算過程.2/6/202316互斥分類--分類法先后有序--位置法反面明了--排除法相鄰排列--捆綁法分隔排列--插空法

。。。。。。。。。。。2/6/202317小結:本節(jié)課我們學習了解決排列組合應用題的一些解題技巧,具體有插入法,捆綁法,轉化法,剩余法,對等法,排異法;對于不同的題目,根據(jù)它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對于一些比較復雜的問題,我們可以將幾種技巧結合起來應用,便于我們迅速準確地解題.在這些技巧中所涉及到的數(shù)學思想方法,例如:分類討論思想,變換思想,特殊化思想等等,要在應用中注意掌握.2/6/202318④要明確堆的順序時，必須先分堆后再把堆數(shù)當作元素個數(shù)作全排列.②若干個不同的元素局部“等分”有ｍ個均等堆,要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以m!①若干個不同的元素“等分”為ｍ個堆,要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以m!③非均分堆問題，只要按比例取出分完再用乘法原理作積.分組（堆）問題的六個模型：①無序不等分；②無序等分；③無序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)處理問題的原則：分組（堆）問題2/6/202319有四項不同的工程，要發(fā)包給三個工程隊，要求每個工程隊至少要得到一項工程.共有多少種不同的發(fā)包方式？

解：要完成發(fā)包這件事，可以分為兩個步驟：⑴先將四項工程分為三“堆”，有種分法；⑵再將分好的三“堆”依次給三個工程隊，有3!＝6種給法.∴共有6×6＝36種不同的發(fā)包方式.分組（堆）問題2/6/202320練習：

有12個人，按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)．（1）分為兩組，一組7人，一組5人；（2）分為甲、乙兩組，甲組7人，乙組5人；（3）分為甲、乙兩組，一組7人，一組5人；（4）分為甲、乙兩組，每組6人；（5）分為兩組，每