高中數(shù)學人教A版第二章統(tǒng)計隨機抽樣 優(yōu)秀

2.1.2系統(tǒng)抽樣1．記住系統(tǒng)抽樣的方法和步驟．(重點)2．會用系統(tǒng)抽樣從總體中抽取樣本．(難點)3．能用系統(tǒng)抽樣解決實際問題．(易錯易混點)[基礎·初探]教材整理1系統(tǒng)抽樣的概念閱讀教材P58上半部分內(nèi)容，完成下列問題．先將總體中的個體逐一編號，然后按號碼順序以一定的間隔k進行抽取，先從第一個間隔中隨機地抽取一個號碼，然后按此間隔逐個抽取即得到所需樣本．某影院有40排座位，每排有46個座位，一個報告會上坐滿了聽眾，會后留下座號為20的所有聽眾進行座談，這是運用了()A．抽簽法 B．隨機數(shù)表法C．系統(tǒng)抽樣法 D．放回抽樣法【解析】此抽樣方法將座位分成40組，每組46個個體，會后留下座號為20的相當于第一組抽20號，以后各組抽取20＋46n，符合系統(tǒng)抽樣特點．【答案】C教材整理2系統(tǒng)抽樣的步驟閱讀教材P58下半部分內(nèi)容，完成下列問題．一般地，假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，我們可以按下列步驟進行系統(tǒng)抽樣：1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)總體個數(shù)較多時可以用系統(tǒng)抽樣．()(2)系統(tǒng)抽樣的過程中，每個個體被抽到的概率不相等．()(3)用系統(tǒng)抽樣從N個個體中抽取一個容量為n的樣本，要平均分成n段，每段各有eq\f(N,n)個號碼．()【答案】(1)√(2)×(3)×2．有20個同學，編號為1～20，現(xiàn)在從中抽取4人的作文卷進行調(diào)查，用系統(tǒng)抽樣方法確定所抽的編號為()A．5,10,15,20 B．2,6,10,14C．2,4,6,8 D．5,8,11,14【解析】將20分成4個組，每組5個號，間隔等距離為5.【答案】A3．已知標有1～20號的小球20個，按下面方法抽樣(按從小號到大號排序)：(1)以編號2為起點，采用系統(tǒng)抽樣抽取4個球，則這4個球的編號的平均值為________；(2)以編號3為起點，采用系統(tǒng)抽樣抽取4個球，則這4個球的編號的平均值為________．【解析】這20個小球分4組，每組5個，(1)若以2號為起點，則另外三個球的編號依次為7,12,17，這4球編號平均值為eq\f(2＋7＋12＋17,4)＝.(2)若以3號為起點，則另外三個球的編號依次為8,13,18，這4球編號平均值為eq\f(3＋8＋13＋18,4)＝.【答案】(1)(2)[小組合作型]系統(tǒng)抽樣的概念(1)某商場欲通過檢查部分發(fā)票及銷售記錄來快速估計每月的銷售金額，采用如下方法：從某本發(fā)票的存根中隨機抽一張，如15號，然后按順序?qū)?5號，115號，165號，…，發(fā)票上的銷售金額組成一個調(diào)查樣本．這種抽取樣本的方法是()A．抽簽法 B．隨機數(shù)法C．系統(tǒng)抽樣法 D．以上都不對(2)為了解1200名學生對學校某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為30的樣本，考慮采用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔k＝________.【精彩點撥】解決此類問題的關鍵是根據(jù)系統(tǒng)抽樣的概念及特征，抓住系統(tǒng)抽樣適用的條件作出判斷．【嘗試解答】(1)上述抽樣方法是將發(fā)票平均分成若干組，每組50張，從第一組抽出了15號，以后各組抽15＋50n(n∈N*)號，符合系統(tǒng)抽樣的特點．(2)根據(jù)樣本容量為30，將1200名學生分為30段，每段人數(shù)即間隔k＝eq\f(1200,30)＝40.【答案】(1)C(2)40判斷一個抽樣是否為系統(tǒng)抽樣：1首先看是否在抽樣前知道總體是由什么組成，多少個個體，2再看是否將總體分成幾個均衡的部分，并在每一個部分中進行簡單隨機抽樣，3最后看是否等距抽樣.[再練一題]1．下列抽樣問題中最適合用系統(tǒng)抽樣法抽樣的是()A．從全班48名學生中隨機抽取8人參加一項活動B．一個城市有210家百貨商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．為了掌握各商店的營業(yè)情況，要從中抽取一個容量為21的樣本C．從參加模擬考試的1200名高中生中隨機抽取100人分析試題作答情況D．從參加模擬考試的1200名高中生中隨機抽取10人了解某些情況【解析】A．總體容量較小，樣本容量也較小，可采用抽簽法；B.總體中的個體有明顯的層次不適宜用系統(tǒng)抽樣法；C.總體容量較大，樣本容量也較大，可用系統(tǒng)抽樣法；D.若總體容量較大，樣本容量較小時可用隨機數(shù)表法．【答案】C系統(tǒng)抽樣的方案設計某校高中三年級的295名學生已經(jīng)編號為1,2，…，295，為了了解學生的學習情況，要按1∶5的比例抽取一個樣本，請用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽取，并寫出過程．【精彩點撥】按1∶5的比例確定樣本容量，再按系統(tǒng)抽樣的步驟進行，關鍵是確定第1段的編號．【嘗試解答】按照1∶5的比例抽取樣本，則樣本容量為eq\f(1,5)×295＝59.抽樣步驟是：(1)編號：按現(xiàn)有的號碼；(2)確定分段間隔k＝5，把295名同學分成59組，每組5人，第1組是編號為1～5的5名學生，第2組是編號為6～10的5名學生，依次下去，第59組是編號為291～295的5名學生；(3)采用簡單隨機抽樣的方法，從第一組5名學生中抽出一名學生，不妨設編號為l(1≤l≤5)；(4)那么抽取的學生編號為l＋5k(k＝0,1,2，…，58)，得到59個個體作為樣本，如當l＝3時的樣本編號為3,8,13，…，288,293.當總體容量能被樣本容量整除時，分段間隔k＝eq\f(N,n)；當用系統(tǒng)抽樣抽取樣本時，通常是將起始數(shù)s加上間隔k得到第2個個體編號s＋k，再加k得到第3個個體編號s＋2k，依次進行下去，直到獲取整個樣本.[再練一題]2．某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學生的學號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本．已知3號、29號、42號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的學號是()A．10 B．11C．12 D．16【解析】分段間隔k＝eq\f(52,4)＝13，可推出另一個同學的學號為16，故選D.【答案】D[探究共研型]系統(tǒng)抽樣的特點探究1系統(tǒng)抽樣有哪些特點？【提示】(1)系統(tǒng)抽樣適用于總體容量較大，且個體之間無明顯差異的情況；(2)剔除多余的個體及第1段抽樣用簡單隨機抽樣的方法；(3)系統(tǒng)抽樣是等可能抽樣，每個個體被抽到的可能性相等．探究2怎樣判斷一種抽樣是否為系統(tǒng)抽樣？【提示】判斷一種抽樣是否為系統(tǒng)抽樣，關鍵有兩點：(1)是否在抽樣前知道總體是由什么構(gòu)成的，抽樣的方法能否保證每個個體被抽到的機會均等；(2)是否能將總體分成幾個均衡的部分，在每個部分中是否能進行簡單隨機抽樣．探究3在系統(tǒng)抽樣中，N不一定能被n整除，那么系統(tǒng)抽樣還公平嗎？【提示】在系統(tǒng)抽樣中，(1)若N能被n整除，則將比值eq\f(N,n)作為分段間隔k.由于起始編號的抽取采用簡單隨機抽樣的方法，因此每個個體被抽取的可能性是一樣的．(2)若N不能被n整除，則用簡單隨機抽樣的方法從總體中剔除幾個個體，使得總體中剩余的個體數(shù)能被n整除，再確定樣本．因此每個個體被抽取的可能性還是一樣的．所以，系統(tǒng)抽樣是公平的．為了了解參加某種知識競賽的1003名學生的成績，抽取一個容量為50的樣本，選用什么抽樣方法比較恰當？簡述抽樣過程．【精彩點撥】eq\x(編號)→eq\x(剔除)→eq\x(再編號)→eq\x(分段)→eq\x(在第一段上抽樣)→eq\x(在其他段上抽樣)→eq\x(成樣)【嘗試解答】(1)隨機地將這1003個個體編號為1,2,3，…，1003；(2)利用簡單隨機抽樣，先從總體中隨機剔除3個個體，剩下的個體數(shù)1000能被樣本容量50整除，然后將1000個個體重新編號為1,2,3，…，1000；(3)將總體按編號順序均分成50組，每組包括20個個體；(4)在編號為1,2,3，…，20的第一組個體中，利用簡單隨機抽樣抽取一個號碼，比如是18；(5)以18為起始號碼，每間隔20抽取一個號碼，這樣得到一個容量為50的樣本：18,38,58，…，978,998.當總體容量不能被樣本容量整除時，可以先從總體中隨機剔除幾個個體，但要注意的是剔除過程必須是隨機的，也就是總體中的每個個體被剔除的機會均等.剔除幾個個體后使總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除.[再練一題]3．從某廠生產(chǎn)的802輛轎車中抽取80輛測試某項性能．請用系統(tǒng)抽樣方法進行抽樣，并寫出抽樣過程．【解】第一步，先從802輛轎車中剔除2輛轎車(剔除方法可用隨機數(shù)法)；第二步，將余下的800輛轎車編號為1,2，…，800，并均勻分成80段，每段含k＝eq\f(800,80)＝10個個體；第三步，從第1段即1,2，…，10這10個編號中，用簡單隨機抽樣的方法抽取一個號(如5)作為起始號；第四步，從5開始，再將編號為15,25，…，795的個體抽出，得到一個容量為80的樣本．1．為了了解參加某次知識競賽的1252名學生的成績，決定采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，那么從總體中應隨機剔除的個體數(shù)目為()A．2 B．3C．4 D．5【解析】因為1252＝50×25＋2，所以應隨機剔除2個個體，故選A.【答案】A2．為了了解某地參加計算機水平測試的5008名學生的成績，從中抽取了200名學生的成績進行統(tǒng)計分析，運用系統(tǒng)抽樣方法抽取樣本時，每組的容量為()A．24 B．25C．26 D．28【解析】因為5008＝200×25＋8，所以選B.【答案】B3．要從160名學生中抽取容量為20的樣本，用系統(tǒng)抽樣法將160名學生從1～160編號．按編號順序平均分成20組(1～8號，9～16號，…，153～160號)，若第16組應抽出的號碼為125，則第一組中按此抽簽方法確定的號碼是()A．7 B．5C．4 D．3【解析】由系統(tǒng)抽樣知第一組確定的號碼是125－15×8＝5.【答案】B4．在一個個體數(shù)目為2003的總體中，利用系統(tǒng)抽樣抽取一個容量為100的樣本，則總體中每個個體被抽到的機會為_________．【解析】因為采用系統(tǒng)抽樣的方法從個體數(shù)目為2003的總體中抽取一個樣本容量為100的樣本，每個個體被抽到的可能性都相等，于是每個個體被抽到的機會都是eq\f(100,2003).【答案】eq\f(100,2003)5．中秋節(jié)，相關部門對某食品廠生產(chǎn)的303盒中秋月餅進行質(zhì)量檢驗，需要從中抽取10盒，請用系統(tǒng)抽樣的方法完成對此樣本的抽?。窘狻?1)將303盒月餅用隨機的方式編號；(2)從總體中用簡單隨機抽樣的方式剔除3盒月餅，將剩下的月餅重新用000～299編號，并等距分成10段；(3)在第一段000,001,002，…，029這三十個編號中用簡單隨機抽樣確定起始號碼l；(4)將編號為l，l＋30，l＋2×30，l＋3×30，…，l＋9×30的個體抽出，組成樣本．學業(yè)分層測評(十)系統(tǒng)抽樣(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．為了檢查某城市汽車尾氣排放執(zhí)行情況，在該城市的主要干道上抽取車牌末尾數(shù)字為5的汽車檢查，這種抽樣方法為()A．抽簽法 B．隨機數(shù)表法C．系統(tǒng)抽樣法 D．其他抽樣【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的概念可知，這種抽樣方法是系統(tǒng)抽樣．【答案】C2．中央電視臺“動畫城節(jié)目”為了對本周的熱心小觀眾給予獎勵，要從已確定編號的一萬名小觀眾中抽出十名幸運小觀眾．現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取，每段容量為()A．10 B．100C．1000 D．10000【解析】將10000個個體平均分成10段，每段取一個，故每段容量為1000.【答案】C3．系統(tǒng)抽樣又稱為等距抽樣，從N個個體中抽取n個個體為樣本，抽樣間距為k＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(N,n)))(取整數(shù)部分)，從第一段1,2，…，k個號碼中隨機抽取一個號碼i0，則i0＋k，…，i0＋(n－1)k號碼均被抽取構(gòu)成樣本，所以每個個體被抽取的可能性是()A．相等的 B．不相等的C．與i0有關 D．與編號有關【解析】系統(tǒng)抽樣是公平的，所以每個個體被抽到的可能性都相等，與i0編號無關，故選A.【答案】A4．從編號為1～50的50枚最新研制的某種型號的導彈中隨機抽取5枚進行發(fā)射實驗，若采用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，則所選取5枚導彈的編號可能是()A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43C．1,2,3,4,5 D．2,4,8,16,32【解析】據(jù)題意從50枚中抽取5枚，故分段間隔k＝eq\f(50,5)＝10，故只有B符合條件．【答案】B5．從2004名學生中選取50名組成參觀團，若采用下面的方法選?。合壤煤唵坞S機抽樣從2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法進行，則每人入選的機會()A．不全相等 B．均不相等C．都相等 D．無法確定【解析】系統(tǒng)抽樣是等可能的，每人入選的機率均為eq\f(50,2004).【答案】C二、填空題6．下列抽樣中不是系統(tǒng)抽樣的是________．①從標有1～15號的15個球中，任選3個作樣本，按從小號到大號排序，隨機選起點i0(1≤i0≤5)，以后選i0＋5，i0＋10號入選；②工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，用傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車間前，檢驗人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件產(chǎn)品進行檢驗；③進行某一市場調(diào)查，規(guī)定在商場門口隨機抽一個人進行詢問調(diào)查，直到調(diào)查到事先規(guī)定的調(diào)查人數(shù)為止；④在報告廳對與會聽眾進行調(diào)查，通知每排(每排人數(shù)相等)座位號為14的觀眾留下來座談．【解析】選項③不是系統(tǒng)抽樣，因事先不知道總體，抽樣方法不能保證每個個體等可能入選，其余3個間隔都相同，符合系統(tǒng)抽樣的特征．【答案】③7．某班有學生48人，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知座位號分別為6,30,42的同學都在樣本中，那么樣本中另一位同學的座位號應該是________.【解析】由題意，分段間隔k＝eq\f(48,4)＝12，所以6應該在第一組，所以第二組為6＋12＝18.【答案】188．已知某商場新進3000袋奶粉，為檢查其三聚氰胺是否達標，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取150袋檢查，若第1組抽出的號碼是11，則第61組抽出的號碼為________．【解析】分段間隔是eq\f(3000,150)＝20，由于第1組抽出的號碼為11，則第61組抽出的號碼為11＋(61－1)×20＝1211.【答案】1211三、解答題9．為了了解某地區(qū)今年高一學生期末考試數(shù)學成績，擬從參加考試的15000名學生的數(shù)學成績中抽取容量為150的樣本．請寫出用系統(tǒng)抽樣抽取的過程．【解】(1)對全體學生的數(shù)學成績進行編號：1,2,3，…，15000.(2)分段：由于樣本容量與總體容量的比是1∶100，我們將總體平均分為150個部分，其中每一部分含100個個體．(3)在第一部分，即1號到100號用簡單隨機抽樣抽取一個號碼，比如是56.(4)以56作為起始數(shù)，然后順次抽取156,256,356，…，14956，這樣就得到一個樣本容量為150的樣本．10．某校有2008名學生，從中抽取20人參加體檢，試用系統(tǒng)抽樣進行具體實施．【解】(1)將每個人隨機編一個號由0001至2008；(2)利用隨機數(shù)表法找到8個號將這8名學生剔除；(3)將剩余的2000名學生重新隨機編號0001至2000；(4)分段，取間隔k＝eq\f(2000,20)＝100，將總體平均分為20段，每段含100個學生；(5)從第一段即為0001號到0100號中隨機抽取一個號l；(6)按編號將l,100＋l,200＋l，…，1900＋l共20個號碼選出，這20個號碼所對應的學生組成樣本．[能力提升]1．從2016名學生中選取50名學生參加數(shù)學競賽，若采用下面方法選?。合扔煤唵坞S機抽樣從2016人中剔除16人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取50人，則在2016人中，每個人入選的機會()A．都相等，且為eq\f(50,2016) B．不全相等C．均不相等 D．都相等，且為eq\f(1,40)【解析】因為在系統(tǒng)抽樣中，若所給的總體個數(shù)不能被樣本容量整除，則要先剔除幾個個體，本題要先剔除16人，然后再分組，在剔除過程中，每個個體被剔除的機會相等，所以每個個體被抽到包括兩個過程，一是不被剔除，二是被選中，這兩個過程是相互獨立的，所以，每個人入選的機會都相等，且為eq\f(50,2016).【答案】A2．將參加夏令營的600名學生編號為：001,002，…，600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學生分住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495在第Ⅱ營區(qū)，從496到600在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為()A．26,16,8 B．25,17,8C．25,16,9 D．24,17,9【解析】依題意及系統(tǒng)抽樣的意義可知，將這600名學生按編號依次分成50組，每組有12名學生，第k(k∈N*)組抽中的號碼是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300得k≤eq\f(103,4)，因此第Ⅰ營區(qū)被抽中的人數(shù)是25；令300