高中數(shù)學(xué)北師大版2第三章推理與證明歸納與類比 學(xué)業(yè)分層測評7

學(xué)業(yè)分層測評(七)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．對命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的()A．一條中線上的點，但不是中心B．一條垂線上的點，但不是垂心C．一條角平分線上的點，但不是內(nèi)心D．中心【解析】由正四面體的內(nèi)切球可知，內(nèi)切球切于四個面的中心．【答案】D2．下列推理正確的是()A．把a(b＋c)與loga(x＋y)類比，則有l(wèi)oga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(b＋c)與sin(x＋y)類比，則有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把(ab)n與(a＋b)n類比，則有(x＋y)n＝xn＋ynD．把(a＋b)＋c與(xy)z類比，則有(xy)z＝x(yz)【解析】乘法的結(jié)合律與加法結(jié)合律相類比得(xy)z＝x(yz)．故選D.【答案】D3．設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，類比這個結(jié)論可知：四面體S-ABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體S-ABC的體積為V，則R＝()\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)【解析】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．則四面體的體積為V四面體S-ABC＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).【答案】C4．在等差數(shù)列{an}中，若an>0，公差d≠0，則有a4a6>a3a7.類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，公比q≠1，則關(guān)于b5，b7，b4，bA．b5b7>b4b8 B．b7b8>b4b5C．b5＋b7<b4＋b8 D．b7＋b8<b4＋b5【解析】b5＋b7－b4－b8＝b1(q4＋q6－q3－q7)＝b1[q3(q－1)＋q6(1－q)]＝b1[－q3(q－1)2(1＋q＋q2)]<0，∴b5＋b7<b4＋b8.【答案】C5．已知結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點，G是三角形ABC的重心，則eq\f(AG,GD)＝2”．若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長都相等的四面體A-BCD中，若△BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點O到四面體各面的距離都相等”，則eq\f(AO,OM)＝()A．1 B．2C．3 D．4【解析】如圖，設(shè)正四面體的棱長為1，即易知其高AM＝eq\f(\r(6),3)，此時易知點O即為正四面體內(nèi)切球的球心，設(shè)其半徑為r，利用等體積法有4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)?r＝eq\f(\r(6),12)，故AO＝AM－MO＝eq\f(\r(6),3)－eq\f(\r(6),12)＝eq\f(\r(6),4)，故AO∶OM＝eq\f(\r(6),4)∶eq\f(\r(6),12)＝3∶1.【答案】C二、填空題6．(2023·日照高二檢測)二維空間中圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)S＝πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l；三維空間中球的二維測度(表面積)S＝4πr2，三維測度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S.已知四維空間中“超球”的三維測度V＝8πr3，猜想其四維測度W＝________.【導(dǎo)學(xué)號：67720234】【解析】因為V＝8πr3，所以W＝2πr4，滿足W′＝V.【答案】2πr47．在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑為r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，將此結(jié)論類比到空間有______________________________．【解析】Rt△ABC類比到空間為三棱錐A-BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圓類比到空間為三棱錐A-BCD的外接球．【答案】在三棱錐A-BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，則三棱錐A-BCD的外接球半徑R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)8．等差數(shù)列有如下性質(zhì)：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則當(dāng)bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)時，數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列；類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若數(shù)列{cn}是正項等比數(shù)列，則當(dāng)dn＝________時，數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列．【解析】類比等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，可猜測dn＝eq\r(n,c1c2…cn)時，{dn}為等比數(shù)列．【答案】eq\r(n,c1c2…cn)三、解答題9．如圖3-1-13①，在平面內(nèi)有面積關(guān)系eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，寫出圖3-1-13②中類似的體積關(guān)系，并證明你的結(jié)論．①②圖3-1-13【解】類比eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，有eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).證明：如圖，設(shè)C′，C到平面PAB的距離分別為h′，h.則eq\f(h′,h)＝eq\f(PC′,PC)，故eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(\f(1,3)S△PA′B′·h′,\f(1,3)S△PAB·h)＝eq\f(PA′·PB′·h′,PA·PB·h)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).10．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有什么樣的等式成立？【解】在等差數(shù)列{an}中，由a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．[能力提升]1．已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是其高的eq\f(1,3)，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是()A．正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,2)B．正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,3)C．正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,4)D．正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,5)【解析】原問題的解法為等面積法，即S＝eq\f(1,2)ah＝3×eq\f(1,2)ar?r＝eq\f(1,3)h，類比問題的解法應(yīng)為等體積法，V＝eq\f(1,3)Sh＝4×eq\f(1,3)Sr?r＝eq\f(1,4)h，即正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,4).【答案】C2．(2023·廣東一模)以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角形”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)為()A．2017×22015 B．2017×22014C．2016×22015 D．2016×22014【解析】由題意知數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，且第一行數(shù)的公差為1，第二行數(shù)的公差為2，第三行數(shù)的公差為4，…，第2015行數(shù)的公差為22014，第1行的第一個數(shù)為2×2－1，第2行的第一個數(shù)為3×20，第3行的第一個數(shù)為4×21，…第n行的第一個數(shù)為(n＋1)×2n－2，第2016行只有一個數(shù)M，則M＝(1＋2016)×22014＝2017×22014，故選B.【答案】B3．類比“等差數(shù)列”的定義，寫出“等和數(shù)列”的定義，并解答下列問題：已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，那么a18＝__________，這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為__________．【解析】定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，從第二項起每一項與它前一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．由上述定義，得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n為奇數(shù)，,3，n為偶數(shù)，))故a18＝3.從而Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n－\f(1,2)，n為奇數(shù)，,\f(5,2)n，n為偶數(shù).))【答案】3Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n－\f(1,2)，n為奇數(shù)，,\f(5,2)n，n為偶數(shù)))4．(1)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與x軸交于A，B兩點，點P是橢圓C上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別與y軸交于點M，N，求證：eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))為定值b2－a2；(2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與x軸交于A，B兩點，點P是雙曲線C上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別與y軸交于點M，N，求證eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))為定值，并寫出這個定值(不要求寫出解題過程)．【解】(1)證明如下：設(shè)點P(x0，y0)(x0≠±a)，依題意，得A(－a,0)，B(a,0)，所以直線PA的方程為y＝eq\f(y0,x0＋a)(x＋a)．令x＝0，得yM＝eq\f(ay0,x0＋a)，同理得yN＝－eq\f(ay0,x0－a)，所以yMyN＝eq\f(a2y\o\al(2,0),a2－x\o\al(2,0)).又因為點P(x0，y0)在橢圓上，所以eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2