第11章 塑性極值原理和上限法

第10章塑性極值原理和上限法第9章功平衡法和上限法及其應(yīng)用

§9.1功平衡法§9.2極值原理及上限法§9.3速度間斷面及其速度特性§9.4Johnson上限模式及應(yīng)用§9.5Aviztur上限模式及應(yīng)用

采用近似解法求解金屬塑性加工變形力學(xué)問題，據(jù)原理有兩類：一類是根據(jù)力平衡條件求近似解，如工程法；另一類是根據(jù)能量原理求近似解，如功平衡法和上限法等。

功平衡法是利用塑性變形過程的功平衡原理來求解變形力的近似解；極值原理是根據(jù)虛功原理和最大塑性功耗原理，確定物體總位能接近于最低狀態(tài)下，即物體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)下變形力的近似解?！?.1功平衡法

功平衡法是利用塑性變形過程中的功平衡原理來計(jì)算變形力的一種近似方法，又稱變形功法。

功平衡原理是指：塑性變形過程外力沿其位移方向上所作的外部功（WP）等于物體塑性變形所消耗的應(yīng)變功（Wd）和接觸摩擦功（Wf）之和，即：對于變形過程的某一瞬時，上式可寫成功增量形式：WP=Wd+WfdWP=dWd+dWf

dWP為外力所作功的增量

dWd為塑性變形功增量

dWf為接觸摩擦所消耗功的增量單元體積的塑性變形功增量為

若接觸面S上摩擦切應(yīng)力及其方向的位移增量為duf，則外力P沿其作用方向產(chǎn)生的位移增量為duP，則于是由功平衡方程，得到了總的變形力P為由于塑性變形總是不均勻的，計(jì)算是比較困難的，通?？砂淳鶆蜃冃渭僭O(shè)確定，故變形功法又稱為均勻變形功法?！?.2極值原理及上限法

極值原理包括上限定理和下限定理，都是根據(jù)虛功原理和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析問題的出發(fā)點(diǎn)不同。

上限定理是按運(yùn)動學(xué)許可速度場（主要滿足速度邊界條件和體積不變條件）來確定變形載荷的近似解，這一變形載荷它總是大于（理想情況下才等于）真實(shí)載荷，即高估的近似值，故稱上限解；

下限定理僅按靜力學(xué)許可應(yīng)力場（主要滿足力的邊界條件和靜力平衡條件）來確定變形載荷的近似解，它總是小于（理想情況下才等于）真實(shí)載荷，即低估的近似解，故稱下限解。

虛功原理：穩(wěn)定平穩(wěn)狀態(tài)的變形體中，當(dāng)給予變形體一幾何約束所許可的微小位移（因?yàn)樵撐灰浦皇菐缀渭s束所許可，實(shí)際上并未發(fā)生，故稱虛位移）時，則外力在此虛位移上所作的功（稱虛功），必然等于變形體內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛應(yīng)變功，其表達(dá)式為：

最大塑性功消耗原理：在一切許可的塑性應(yīng)變增量（應(yīng)變速度）或許可的應(yīng)力狀態(tài)中，以符合增量理論關(guān)系的應(yīng)力狀態(tài)或塑性應(yīng)變增量（應(yīng)變速度）所耗塑性應(yīng)變功耗（或功率消耗）最大。

上限定理是根據(jù)運(yùn)動學(xué)許可速度場來分析變形載荷的，設(shè)所擬運(yùn)動學(xué)許可速度場為，由幾何關(guān)系確定的應(yīng)變速度場，再由該應(yīng)變速度場按幾何方程與增量理論確定的應(yīng)力場為。而變形體中實(shí)際的應(yīng)力場為，于是根據(jù)虛功原理和塑性功耗原理可以導(dǎo)出在一般情況下塑性加工中常用的上限定理的功率表達(dá)形式為：式中，為真實(shí)載荷。

用上限法計(jì)算塑性加工過程的極限載荷的關(guān)鍵在于擬設(shè)塑性變形區(qū)內(nèi)的虛擬運(yùn)動學(xué)許可速度場，這種速度場應(yīng)滿足以下三個條件：（1）速度邊界條件；（2）體積不變條件；

(3)保持變形區(qū)內(nèi)物質(zhì)的連續(xù)性。而與此速度場對應(yīng)的應(yīng)力場則不一定要求滿足力平衡條件和力的邊界條件。上限法中虛擬的運(yùn)動學(xué)許可速度場模式有三種：（1）Johnson模式，通常稱為簡化滑移線場的剛性三角形上限模式，主要適用于平面應(yīng)變問題。（2）Avitzur模式，通常稱為連續(xù)速度場的上限模式，它既可適用平面應(yīng)變問題、軸對稱問題，也可用于某些三維問題，用途比較廣泛。（3）上限單元技術(shù)（UBET）,目前比較實(shí)用的是圓柱坐標(biāo)系的圓環(huán)單元技術(shù)。它可用于解軸對稱問題，以及某些非對稱軸的三維問題?！?.3速度間斷面及其速度特性速度間斷面速端圖及速度間斷量的計(jì)算

速端圖是以代表剛性區(qū)內(nèi)一不動點(diǎn)O為所有速度矢量的起始點(diǎn)（也稱為基點(diǎn)或極點(diǎn)），所作變形區(qū)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)速度矢量端點(diǎn)的軌跡圖形，它是研究平面應(yīng)變問題時，確定剛性界面和接觸摩擦界面上相對滑動速度（即速度間斷量）的一個重要工具。矩形斷面板條平面應(yīng)變壓縮問題

§9.4

Johnson上限模式及應(yīng)用

基本思路：塑性變形區(qū)由若干個剛性三角形構(gòu)成，塑性變形時完全依靠三角形場間的相對滑動產(chǎn)生，變形過程中每一個剛性塊是一個均勻速度場，塊內(nèi)不發(fā)生塑性變形，于是塊內(nèi)的應(yīng)變速度上限功率表達(dá)式求解的基本步驟根據(jù)變形的具體情況，或參照該問題的滑移線場，確定變形區(qū)的幾何位置與形狀，再根據(jù)金屬流動的大體趨勢，將變形區(qū)劃分為若干個剛性三角形塊；根據(jù)變形區(qū)劃分剛性三角形塊情況，以及速度邊界條件，繪制速端圖；根據(jù)所作幾何圖形，計(jì)算各剛性三角形邊長及速端圖計(jì)算各剛性塊之間的速度間斷量，然后計(jì)算其剪切功率消耗；求問題的最佳上限解，一般劃分的剛性三角形塊時，幾何形狀上包含若干個待定幾何參數(shù)，所以須對待定參數(shù)求其極值，確定待定參數(shù)的具體數(shù)值以及最佳的上限解。例一：平?jīng)_頭壓入半無限體各塊間的剪切功率p?(W/2)·vo=k(OB·ΔvOB+AB·ΔvAB+BC·ΔvBC+AC·ΔvAC+CD·ΔvCD)例二板條平面應(yīng)變擠壓

§9.5Aviztur上限模式及應(yīng)用

基本思路：用一個連續(xù)速度場vi=fi(x,y,z)來描述整個變形區(qū)內(nèi)金屬質(zhì)點(diǎn)的流動考慮塑性區(qū)與剛性區(qū)界面上速度的間斷性及摩擦功率的影響N=Nd+Nt+Nf+Nq塑性變形功率消耗

速度間斷面上剪切功率消耗

接觸面上摩擦功率消耗

附加外力消耗的（取“+”號）或向系統(tǒng)輸入的附加功率（取“-”號）

總的塑性變形功耗

基本能量方程

例一：直角坐標(biāo)平面應(yīng)變問題

——考慮側(cè)鼓時板坯的平錘壓縮例二：極坐標(biāo)平面應(yīng)變問題

——寬板的平輥軋制

例三：圓柱坐標(biāo)軸對稱問題

——圓盤的鐓粗

例四：球坐標(biāo)軸對稱問題

——圓棒的拉拔或擠壓

一.概述極值原理包括上限定理和下限定理。上限定理：按運(yùn)動學(xué)許可速度場（主要滿足速度邊界條件和體積不變條件）來確定變形載荷的近似解，這一變形載荷總是大于（理想情況下才等于）真實(shí)載荷，即高估近似值，故稱上限解。下限定理：按靜力學(xué)許可應(yīng)力場（主要滿足力的邊界條件和靜力平衡條件）來確定變形載荷的近似解，它總是小于（理想情況下才等于）真實(shí)載荷，即低估近似解，故稱下限解。根據(jù)虛功原理和最大散逸功原理得出的。

上限解、下限解與精確解的比較上限法優(yōu)點(diǎn)適用于平面應(yīng)變問題，軸對稱和三維問題，如非軸對稱型材的擠壓、拉拔、軋制與鍛壓等。上限法由設(shè)計(jì)速度場入手，速度場直觀、易想象，可借助于試驗(yàn)，如網(wǎng)格試驗(yàn)，得到金屬的流線，再由設(shè)計(jì)的流函數(shù)去求機(jī)動許可速度場。上限法便于與計(jì)算機(jī)結(jié)合，自動將工件分為矩形，三角形截面單元，每一單元均對應(yīng)一定的相鄰關(guān)系和一定的力學(xué)特征。將標(biāo)準(zhǔn)模式塊的組合關(guān)系輸入后，計(jì)算機(jī)可優(yōu)化處理。通過虛單元法，模擬工件與工具間的接觸面上單位壓力分布及進(jìn)行模具的設(shè)計(jì)。二、虛功原理與基本能量方程式

變形體的虛功原理可表述如下：如對載荷系（力系）作用下處于平衡狀態(tài)的變形體給予一符合約束條件的微小虛位移時，則外力在虛位移上所作的虛功，必等于變形體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛功（虛應(yīng)變能、功增量）?，F(xiàn)設(shè)一處于平衡受力狀態(tài)的塑性變形體，其體積為V，總表面積S分為ST和Su兩部分，ST上的表面力Ti已知，Su的位移增量dui(或位移速度)已知，變形體,應(yīng)變增量場為(或應(yīng)變速率),根據(jù)虛功原理有:的應(yīng)力場為場為若以代替，以代替，功增量變?yōu)楣β剩瑒t虛功率方程為對于剛塑性體，由于應(yīng)力球張量不做功，故上式又可寫成三、速度間斷

實(shí)際上，在剛塑性變形體內(nèi)可能存在位移（增量）或速度不連續(xù)的情況，這點(diǎn)必須考慮。現(xiàn)設(shè)變形體被速度間斷面SD分成①和②兩個區(qū)域；在微段dSD上的速度間斷情況如下圖所示。根據(jù)塑性變形體積不變條件可知，垂直于dSD上的速度分量必須相等，即，而切向速度分量可以不等，造成①、②區(qū)的相對滑動。其速度間斷值為

速度間斷面就是沿SD的一個速度急劇而連續(xù)變化的薄層區(qū)，如下圖所示。

變形體由于存在速度間斷，要消耗一定的剪切功率，其值為如果變形體內(nèi)存在若干個速度間斷面，則所消耗的功率等于各個面所消耗功率的總和。于是，對于變形體存在速度間斷時的虛功（率）方程應(yīng)為:（當(dāng)變形體處于塑性屈服狀態(tài)，=K剪切屈服強(qiáng)度）裂紋形成的功率剪切功率的消耗虛應(yīng)變功率消耗外力所作的虛功率四、最大散逸功原理

對于剛塑性體而言，若應(yīng)變增量場一定，在所有滿足屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力場中，與該應(yīng)變增量場符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力場所做的塑性功增量為最大，其表達(dá)式為式中，、是符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力偏量（場）和應(yīng)變是滿足同一屈服準(zhǔn)則的任意應(yīng)力偏量（場）。增量（場）；這時，的矢量必然也垂直于的矢量端點(diǎn)處的屈服軌跡，故同樣存在如下的關(guān)系式將上述兩式對時間求導(dǎo)，則得如果與符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)變增量場為五、上限法原理

用上限法計(jì)算極限載荷時，只假設(shè)塑變區(qū)的位移狀態(tài)為動可容速度場（或位移場），它滿足下列三個條件：1）滿足速度（或位移）的邊界條件，即在位移面上，＝或＝，或?yàn)榻o定的真實(shí)速度或真實(shí)位移。2）變形體在變形時保持連續(xù)形，不發(fā)生重疊和開裂3）滿足體積不變條件

現(xiàn)設(shè)有一動可容位移增量場,且變形體內(nèi)存在速度間斷面,其上的位移增量間斷值為,如下圖所示：將虛功方程用于動可容位移增量場和真實(shí)應(yīng)力場,參照變形體存在速度間斷時的虛功（率）方程可得 由最大散逸功原理可知將上式代入(1)式，并考慮到在上，，故得(2)Su上真實(shí)表面力Ti所作的功增量虛擬動可位移增量場所作的功增量虛擬速度間斷面

上所消耗的剪切功增量ST上真實(shí)表面力Ti在上所作的功增量由于上式右邊三項(xiàng)之和即為所求虛擬變形功增量，也即上虛擬表面力所作功增量:而（2）式的左邊項(xiàng)為上真實(shí)表面力所作的功增量。它可簡寫為

（3）式（2）、（3）即為上限定理得數(shù)學(xué)表達(dá)式，它可表述為：在上，與任一動可容位移增量場對應(yīng)的表面力所做的功增量，總是大于或等于真實(shí)表面力在真實(shí)位移增量場上所做的功增量。若以、分別代替和，則式(2)中的各項(xiàng)變?yōu)橄鄳?yīng)的功率，因而得（4）式（3）、（4）還表明，由上所確定的載荷,總是大于或等于真實(shí)表面力所確定的載荷P（即真實(shí)載荷）。為了獲得合理的上限載荷，通常需要設(shè)計(jì)多個動可容位移增量場（或速度場），分別求出相應(yīng)的載荷，其中最小的一個就是最接近于真實(shí)載荷的上限解。（1）Johnson模式，通常