高中數(shù)學(xué)人教A版5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式學(xué)業(yè)分層測評13

學(xué)業(yè)分層測評（十三）(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、選擇題1．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．那么下列命題總成立的是()A．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，則當(dāng)k≤5時，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，則當(dāng)k≥8時，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，則當(dāng)k≥4時，均有f(k)≥k2成立【解析】根據(jù)題中條件可知：由f(k)≥k2，必能推得f(k＋1)≥(k＋1)2，但反之不成立，因為D中f(4)＝25＞42，故可推得k≥4時，f(k)≥k2，故只有D正確．【答案】D2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于任意x＞0和正整數(shù)n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋eq\f(1,xn－4)＋eq\f(1,xn－2)＋eq\f(1,xn)≥n＋1”時，需驗證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為()A．n0＝1 B．n0＝2C．n0＝1,2 D.以上答案均不正確【解析】需驗證：n0＝1時，x＋eq\f(1,x)≥1＋1成立．【答案】A3．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<f(n)(n≥2，n∈N＋)的過程，由n＝k到n＝k＋1時，左邊增加了()【導(dǎo)學(xué)號：32750070】A．1項B．k項C．2k－1項D．2k項【解析】1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)－1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＝eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)，∴共增加2k項．【答案】D4．若不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)>eq\f(m,24)對大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為()A．12 B．13C．14 D.不存在【解析】令f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，易知f(n)是單調(diào)遞增的，∴f(n)的最小值為f(2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,12).依題意eq\f(7,12)>eq\f(m,24)，∴m<14.因此取m＝13.【答案】B5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)＜eq\f(13,14)(n≥2，n∈N＋)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時不等式左邊()A．增加了一項eq\f(1,2k＋1)B．增加了兩項eq\f(1,2k＋1)，eq\f(1,2k＋2)C．增加了B中兩項但減少了一項eq\f(1,k＋1)D．以上各種情況均不對【解析】∵n＝k時，左邊＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)，n＝k＋1時，左邊＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)，∴增加了兩項eq\f(1,2k＋1)，eq\f(1,2k＋2)，少了一項eq\f(1,k＋1).【答案】C二、填空題6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”時，第一步的驗證為________．【解析】當(dāng)n＝1時，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．【答案】21＋1≥12＋1＋27．證明eq\f(n＋2,n)＜1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n)＜n＋1(n＞1)，當(dāng)n＝2時，要證明的式子為________．【解析】當(dāng)n＝2時，要證明的式子為2＜1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＜3.【答案】2＜1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＜38．在△ABC中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)成立；在四邊形ABCD中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)成立；在五邊形ABCDE中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π)成立．猜想在n邊形A1A2…An中，類似成立的不等式為________．【解析】由題中已知不等式可猜想：eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋eq\f(1,A3)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π)(n≥3且n∈N＋)．【答案】eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋eq\f(1,A3)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π)(n≥3且n∈N＋)三、解答題9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝eq\f(1,2)，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．(1)判斷eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(2)證明：Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋…＋Seq\o\al(2,n)≤eq\f(1,2)－eq\f(1,4n).【解】(1)S1＝a1＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,S1)＝2.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，∴eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝2.故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列．(2)證明：①當(dāng)n＝1時，Seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4×1)，不等式成立．②假設(shè)n＝k(k≥1，且k∈N＋)時，不等式成立，即Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋…＋Seq\o\al(2,k)≤eq\f(1,2)－eq\f(1,4k)成立，則當(dāng)n＝k＋1時，Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋…＋Seq\o\al(2,k)＋Seq\o\al(2,k＋1)≤eq\f(1,2)－eq\f(1,4k)＋eq\f(1,4k＋12)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－\f(1,k＋12)))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)·eq\f(k2＋k＋1,kk＋12)<eq\f(1,2)－eq\f(1,4)·eq\f(k2＋k,kk＋12)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4k＋1).即當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立．由①②可知對任意n∈N＋不等式成立．10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x，數(shù)列{an}滿足條件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，證明：an≥2n－1(n∈N*)．【證明】由f(x)＝eq\f(1,3)x3－x，得f′(x)＝x2－1.因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)，(1)當(dāng)n＝1時，a1≥1＝21－1，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，不等式成立，即ak≥2k－1，當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1.又k≥1，∴22k≥2k＋1，∴n＝k＋1時，ak＋1≥2k＋1－1，即不等式成立．根據(jù)(1)和(2)知，對任意n∈N＋，an≥2n－1成立．[能力提升]1．對于正整數(shù)n，下列不等式不正確的是()A．3n≥1＋2n B．≥1－C．≤1－ 【解析】排除法，取n＝2，只有C不成立．【答案】C2．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“eq\f(3×5×…×2n－1,2×4×…×2n－2)＜eq\r(2n－1)”時，n的最小取值n0應(yīng)為________.【導(dǎo)學(xué)號：32750071】【解析】n0＝1時不成立，n0＝2時，eq\f(3,2)＜eq\r(3)，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，故n0＝2.【答案】23．設(shè)a，b均為正實數(shù)(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，則M，N的大小關(guān)系為____________________eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(提示：利用貝努利不等式，令x＝\f(b,a))).【解析】當(dāng)n＝1時，M＝a＋b＝N，當(dāng)n＝2時，M＝(a＋b)2，N＝a2＋2ab＜M，當(dāng)n＝3時，M＝(a＋b)3，N＝a3＋3a2b＜M，歸納得M≥N.【答案】M≥N4．已知f(x)＝eq\f(xn－x－n,xn＋x－n)，對于n∈N＋，試比較f(eq\r(2))與eq\f(n2－1,n2＋1)的大小并說明理由．【解】據(jù)題意f(x)＝eq\f(xn－x－n,xn＋x－n)＝eq\f(x2n－1,x2n＋1)＝1－eq\f(2,x2n＋1)，∴f(eq\r(2))＝1－eq\f(2,2n＋1).又eq\f(n2－1,n2＋1)＝1－eq\f(2,n2＋1)，∴要比較f(eq\r(2))與eq\f(n2－1,n2＋1)的大小，只需比較2n與n2的大小即可，當(dāng)n＝1時，21＝2＞12＝1，當(dāng)n＝2時，22＝4＝22，當(dāng)n＝3時，23＝8＜32＝9，當(dāng)n＝4時，24＝16＝42，當(dāng)n＝5時，25＝32＞52＝25，當(dāng)n＝6時，26＝64＞62＝36.故猜測當(dāng)n≥5(n∈N＋)時，2n＞n2，下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．(1)當(dāng)n＝5時，不等式顯然成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥5且k∈N＋)時，不等式成立，即2k＞k2.則當(dāng)n＝