高中數學蘇教版1第3章導數及其應用3．4導數在實際生活中的應用 第3章

導數在實際生活中的應用1.掌握利用導數解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題的方法.(重點)2.提高學生綜合運用導數知識解題的能力，培養(yǎng)化歸轉化的思想意識.(難點)[基礎·初探]教材整理導數的實際應用閱讀教材P93～P96練習以上部分，完成下列問題.1.導數的實際應用導數在實際生活中有著廣泛的應用，如用料最省、利潤最大、效率最高等問題一般可以歸結為函數的最值問題，從而可用導數來解決.2.用導數解決實際生活問題的基本思路1.判斷正誤：(1)應用導數可以解決所有實際問題中的最值問題.()(2)應用導數解決實際應用問題，首先應建立函數模型，寫出函數關系式.()(3)應用導數解決實際問題需明確實際背景.()【解析】(1)×.如果實際問題中所涉及的函數不可導、就不能應用導數求解.(2)√.求解實際問題一般要建立函數模型，然后利用函數的性質解決實際問題.(3)√.要根據實際問題的意義確定自變量的取值.【答案】(1)×(2)√(3)√2.生產某種商品x單位的利潤L(x)＝500＋x－，生產________單位這種商品時利潤最大，最大利潤是________.【解析】L′(x)＝1－，令L′(x)＝0，得x＝500，∴當x＝500時，最大利潤為750.【答案】500750[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小組合作型]面積容積的最值問題有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上.設CD＝2x，梯形的面積為S.(1)求面積S關于x的函數，并寫出其定義域；(2)求面積S的最大值.【精彩點撥】(1)建立適當的坐標系，按照橢圓方程和對稱性求面積S關于x的函數式；(2)根據S的函數的等價函數求最大值.【自主解答】(1)依題意，以AB的中點O為原點建立直角坐標系如圖所示，則點C的坐標為(x，y).∵點C在橢圓上，∴點C滿足方程eq\f(x2,r2)＋eq\f(y2,4r2)＝1(y≥0)，則y＝2eq\r(r2－x2)(0<x<r)，∴S＝eq\f(1,2)(2x＋2r)·2eq\r(r2－x2)＝2(x＋r)eq\r(r2－x2)(0<x<r).(2)記S＝4(x＋r)2(r2－x2)(0＜x＜r)則S′＝8(x＋r)2(r－2x)令S′＝0，解得x＝eq\f(1,2)r或x＝－r(舍去).當x變化時，S′，S的變化情況如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(r,2)))eq\f(r,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)，r))S′＋0－Seq\f(3\r(3)r2,2)∴x＝eq\f(1,2)r時，S取得最大值eq\f(3\r(3)r2,2)，即梯形面積S的最大值為eq\f(3\r(3)r2,2).1.求面積、體積的最大值問題是生活、生產中的常見問題，解決這類問題的關鍵是根據題設確定出自變量及其取值范圍，利用幾何性質寫出面積或體積關于自變量的函數，利用導數的方法來求解.2.選擇建立適當的坐標系，利用點的坐標建立函數關系或曲線方程，以利于解決問題.[再練一題]1.用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制容器的底面的一邊長比另一邊長長0.5m，那么高為多少時，容器的容積最大？并求它的最大容積.【解】設容器底面一邊長為xm，則另一邊長為(x＋m，高為eq\f－4x－4x＋,4)＝－2x)m由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1－2x＞0，,x＞0，))解得0＜x＜.設容器的容積為ym3，則y＝x(x＋－2x)＝－2x3＋＋，所以y′＝－6x2＋＋.令y′＝0，則15x2－11x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－eq\f(4,15)(舍去).在定義域(0,內只有x＝1處使y′＝0，x＝1是函數y＝－2x3＋＋在(0,內的唯一的極大值點，也就是最大值點.因此，當x＝1時，y取得最大值，ymax＝－2＋＋＝，這時高為－2×1＝(m).故高為m時，容器的容積最大，最大容積為m3.用料最省、節(jié)能減耗問題如圖3-4-1所示，有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在海岸的同側，乙廠位于離海岸40km的B處，乙廠到海岸的垂足D與A相距50km.兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠鋪設的水管費用分別為每千米3a元和5a元，則供水站圖3-4-1【精彩點撥】先列出自變量，通過三角知識列出水管費用的函數，然后求導，根據單調性求出最小值.【自主解答】設C點距D點xkm，則BD＝40km，AC＝(50－x)km，∴BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(402＋x2)(km).又設總的水管費用為y元，依題意，得y＝3a(50－x)＋5aeq\r(x2＋402)(0≤x≤50)，則y′＝－3a＋eq\f(5ax,\r(x2＋402))，令y′＝0，解得x＝30.當x∈[0,30)時，y′＜0，當x∈(30,50]時，y′＞0,∴當x＝30時函數取得最小值，此時AC＝50－x＝20(km)，即供水站建在A，D之間距甲廠20km處，可使水管費用最省.1.像本例節(jié)能減耗問題，背景新穎，信息較多，應準確把握信息，正確理清關系，才能恰當建立函數模型.2.實際生活中用料最省、費用最低、損耗最小、最節(jié)省時間等都需要利用導數求解相應函數的最小值，此時根據f′(x)＝0求出極值點(注意根據實際意義舍棄不合適的極值點)后，函數滿足左減右增，此時惟一的極小值就是所求函數的最小值.[再練一題]2.某工廠需要建一個面積為512m2【導學號：24830090】【解析】如圖所示，設場地一邊長為xm，則另一邊長為eq\f(512,x)m，因此新墻總長度L＝2x＋eq\f(512,x)(x＞0)，L′＝2－eq\f(512,x2).令L′＝2－eq\f(512,x2)＝0，得x＝16或x＝－16.∵x＞0，∵x＝16.∵L在(0，＋∞)上只有一個極值點，∴它必是最小值點.∵x＝16，∴eq\f(512,x)＝32.故當堆料場的寬為16m，長為32m時，可使砌墻所用的材料最省.【答案】16m32m[探究共研型]利潤最大問題探究1在有關利潤最大問題中，經常涉及“成本、單價、銷售量”等詞語，你能解釋它們的含義嗎？【提示】成本是指企業(yè)進行生產經營所耗費的貨幣計量，一般包括固定成本(如建設廠房、購買機器等一次性投入)和可變成本(如生產過程中購買原料、燃料和工人工資等費用)，單價是指單位商品的價格，銷售量是指所銷售商品的數量.探究2什么是銷售額(銷售收入)？什么是利潤？【提示】銷售額＝單價×銷售量，利潤＝銷售額－成本.探究3根據我們以前所掌握的解決實際應用問題的思路，你認為解決利潤最大問題的基本思路是什么？【提示】在解決利潤最大問題時，其基本思路如圖所示.圖某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a為常數.已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售商品所獲得的利潤最大.【精彩點撥】利用待定系數法先求得參數a的值，由題意列出利潤關于價格的函數關系式，轉化為求函數在(3,6)上的最大值問題.【自主解答】(1)因為x＝5時，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，解得a＝2.(2)由(1)可知，該商品每日銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.從而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)極大值由上表可得，x＝4是函數f(x)在區(qū)間(3,6)內的極大值點，也是最大值點.所以，當x＝4時，函數f(x)取得最大值，且最大值等于42.當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解決最優(yōu)化問題的一般步驟：(1)根據各個量之間的關系列出數學模型；(2)對函數求導，并求出導函數的零點，確定函數極值；(3)比較區(qū)間端點處函數值和極值之間的大小，得到最優(yōu)解.[再練一題]3.某食品廠進行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本為20元，并且每公斤蘑菇的加工費為t元(t為常數，且2≤t≤5)，設該食品廠每公斤蘑菇的出廠價為x元(25≤x≤40)，根據市場調查，日銷售量q與ex成反比，當每公斤蘑菇的出廠價為30元時，日銷售量為100公斤.(1)求該工廠的每日利潤y元與每公斤蘑菇的出廠價x元的函數關系式；(2)若t＝5，當每公斤蘑菇的出廠價為多少元時，該工廠的每日利潤最大？并求最大值.【解】(1)設日銷量q＝eq\f(k,ex)，則eq\f(k,e30)＝100，∴k＝100e30，∴日銷量q＝eq\f(100e30,ex)，∴y＝eq\f(100e30x－20－t,ex)(25≤x≤40).(2)當t＝5時，y＝eq\f(100e30x－25,ex)，∴y′＝eq\f(100e3026－x,ex).由y′＞0，得25≤x＜26，由y′＜0，得26＜x≤40，∴y在[25,26)上單調遞增，在(26,40]上單調遞減，∴當x＝26時，ymax＝100e4.故當每公斤蘑菇的出廠價為26元時，該工廠的每日利潤最大，最大值為100e4元.[構建·體系]1.一個圓錐形漏斗的母線長為20，高為h，則體積V的表達式為________.【解析】設圓錐的高為h，則圓錐的底面半徑為r＝eq\r(400－h(huán)2)，則V＝eq\f(1,3)π(400－h(huán)2)h.【答案】eq\f(1,3)π(400－h(huán)2)h2.某產品的銷售收入y1(萬元)是產品x(千臺)的函數，y1＝17x2；生產總成本y2(萬元)也是x的函數，y2＝2x3－x2(x＞0)，為使利潤最大，應生產________千臺.【解析】構造利潤函數y＝y(tǒng)1－y2＝18x2－2x3(x＞0)，y′＝36x－6x2，由y′＝0是x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函數y在(0，＋∞)上唯一的極大值點，也是最大值點.即生產6千臺時，利潤最大.【答案】63.某箱子的容積與底面邊長x的關系為V(x)＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0＜x＜60)，則當箱子的容積最大時，箱子底面邊長為________.【導學號：24830091】【解析】V′(x)＝2x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))＋x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)x2＋60x＝－eq\f(3,2)x(x－40).令V′(x)＝0，得x＝40或x＝0(舍).不難確定x＝40時，V(x)有最大值.即當底面邊長為40時，箱子容積最大.【答案】404.做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其容積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為________.【解析】設圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則V＝πR2L＝27π，∴L＝eq\f(27,R2).要使用料最省，只需使圓柱形表面積最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·eq\f(27,R)，∴S′表＝2πR－eq\f(54π,R2).令S′＝0，解得R＝3.∵R∈(0,3)時，S表單調遞減，R∈(3，＋∞)時，S表單調遞增，∴當R＝3時，S表最小.【答案】35.某廠生產某種產品x件的總成本c(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3(萬元)，已知產品單價的平方與產品件數x成反比，生產100件這樣的產品單價為50萬元，則產量定為