高中物理高考一輪復(fù)習(xí)一輪復(fù)習(xí) 2023屆高三專題復(fù)習(xí)十八 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

專題十八帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一、考點(diǎn)分析一、考點(diǎn)分析1．本知識(shí)點(diǎn)是高考的重點(diǎn)，近幾年主要是結(jié)合幾何知識(shí)考查帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)及復(fù)合場(chǎng)、組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。2．注意“運(yùn)動(dòng)語(yǔ)言”與“幾何語(yǔ)言”間的翻譯，如：速度對(duì)應(yīng)圓周半徑，時(shí)間對(duì)應(yīng)圓心角或弧長(zhǎng)或弦長(zhǎng)等。二、考題再現(xiàn)二、考題再現(xiàn)典例1.(2023·全國(guó)I卷·24)如圖，在直角三角形OPN區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向外。一帶正電的粒子從靜止開始經(jīng)電壓U加速后，沿平行于x軸的方向射入磁場(chǎng)；一段時(shí)間后，該粒子在OP邊上某點(diǎn)以垂直于x軸的方向射出。已知O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，N點(diǎn)在y軸上，OP與x軸的夾角為30°，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)與離開磁場(chǎng)的出射點(diǎn)之間的距離為d，不計(jì)重力。求(1)帶電粒子的比荷；(2)帶電粒子從射入磁場(chǎng)到運(yùn)動(dòng)至x軸的時(shí)間?！窘馕觥?1)設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，加速后的速度大小為v。由動(dòng)能定理有qU＝eq\f(1,2)mv2 ①設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有qvB＝meq\f(v2,r) ②由幾何關(guān)系知d＝eq\r(2)r ③聯(lián)立①②③式得eq\f(q,m)＝eq\f(4U,B2d2)。 ④(2)由幾何關(guān)系知，帶電粒子射入磁場(chǎng)后運(yùn)動(dòng)到x軸所經(jīng)過的路程為s＝eq\f(πr,2)＋rtan30° ⑤帶電粒子從射入磁場(chǎng)到運(yùn)動(dòng)至x軸的時(shí)間為t＝eq\f(s,v) ⑥聯(lián)立②④⑤⑥式得t＝eq\f(Bd2,4U)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(\r(3),3)))。典例2.(2023·全國(guó)Ⅱ卷·17)如圖，邊長(zhǎng)為l的正方形abcd內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面(abcd所在平面)向外。ab邊中點(diǎn)有一電子發(fā)射源O，可向磁場(chǎng)內(nèi)沿垂直于ab邊的方向發(fā)射電子。已知電子的比荷為k。則從a、d兩點(diǎn)射出的電子的速度大小分別為()A．eq\f(1,4)kBl，eq\f(\r(5),4)kBlB．eq\f(1,4)kBl，eq\f(5,4)kBlC．eq\f(1,2)kBl，eq\f(\r(5),4)kBlD．eq\f(1,2)kBl，eq\f(5,4)kBl【解析】電子從a點(diǎn)射出時(shí)，其軌跡半徑為ra＝eq\f(l,4)，由洛倫茲力提供向心力，有evaB＝，又eq\f(e,m)＝k，解得va＝eq\f(kBl,4)；電子從d點(diǎn)射出時(shí)，由幾何關(guān)系有req\o\al(2,d)＝l2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(rd－\f(l,2)))eq\s\up12(2)，解得軌跡半徑為rd＝eq\f(5l,4)，由洛倫茲力提供向心力，有evdB＝，又eq\f(e,m)＝k，解得vd＝eq\f(5kBl,4)，選項(xiàng)B正確?！敬鸢浮緽三、對(duì)點(diǎn)速練三、對(duì)點(diǎn)速練1．如圖所示，在紙面內(nèi)存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一水平固定絕緣桿上套有帶電小球P，P的質(zhì)量為m、電荷量為－q，P與桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。小球由靜止開始滑動(dòng)，設(shè)電場(chǎng)、磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，桿足夠長(zhǎng)，在運(yùn)動(dòng)過程中小球的最大加速度為a0，最大速度為v0，則下列判斷正確的是()A．小球先加速后減速，加速度先增大后減小B．當(dāng)v＝eq\f(1,2)v0時(shí)，小球的加速度最大C．當(dāng)v＝eq\f(1,2)v0時(shí)，小球一定處于加速度減小階段D．當(dāng)a＝eq\f(1,2)a0時(shí)，eq\f(v,v0)＞eq\f(1,2)【答案】C【解析】開始運(yùn)動(dòng)階段qvB<mg，加速度a1＝eq\f(qE－μ（mg－qv1B）,m)，小球做加速度越來(lái)越大的加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)qvB＝mg之后，小球受到的支持力垂直桿向下，小球的加速度a2＝eq\f(qE－μ（qv2B－mg）,m)，小球做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，加速度減小到0后做勻速運(yùn)動(dòng)，則可知小球一直加速最后勻速，加速度先增大后減小為0不變，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；作出小球的加速度隨速度的變化規(guī)律圖象如圖所示，兩階段的圖線斜率大小相等，有v1<eq\f(1,2)v0，則v＝eq\f(1,2)v0時(shí)一定處于加速度減小階段，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，C正確；a＝eq\f(1,2)a0可能出現(xiàn)在加速度增大階段或加速度減小階段，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。2．(多選)直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，有一無(wú)界勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直紙面，一質(zhì)量為m，電荷量為q的正電荷從原點(diǎn)沿著y軸正方向以初速度v0出發(fā)，不計(jì)重力。要使該電荷通過第四象限的P點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(a，－b)，則()A．磁場(chǎng)方向垂直紙面向外B．磁場(chǎng)方向垂直紙面向內(nèi)C．D．【答案】AC【解析】粒子向右偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，故A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)洛倫茲力提供向心力：，根據(jù)幾何關(guān)系：，聯(lián)立解得：，故C正確，D錯(cuò)誤。3．現(xiàn)代技術(shù)常用磁場(chǎng)來(lái)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)。如圖，在豎直平面內(nèi)有一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形abcd，該區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。某時(shí)刻從ab邊中點(diǎn)p沿對(duì)角線ac方向射出一束比荷eq\f(q,m)相同、初速度大小不同的帶正電的粒子。不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用力。則()A．粒子不可能從c點(diǎn)射出B．粒子不可能從cd邊中點(diǎn)射出C．粒子能從ad邊射出區(qū)域的長(zhǎng)度為eq\f(1,2)LD．粒子在abcd區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為【答案】D【解析】由左手定則可得粒子做逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡可能如圖所示，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；根據(jù)粒子做逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，作出放縮圓可知，粒子能從ad邊上任意一點(diǎn)射出，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；粒子在abcd區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)粒子從ap上離開磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)轉(zhuǎn)過的中心角最大，為270°，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期T＝2πRv＝2πmqB；故粒子在abcd4．(多選)如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)以直線AB為分界線，上半圓內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。下半圓內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小未知，圓的半徑為R。在磁場(chǎng)左側(cè)有一粒子水平加速器，質(zhì)量為m，電量大小為q的粒子在極板M右側(cè)附近，由靜止釋放，在電場(chǎng)力的作用下加速，以一定的速度沿直線CD射入磁場(chǎng)，直線CD與直徑AB距離為。粒子在AB上方磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)后，恰能垂直直徑AB進(jìn)入下面的磁場(chǎng)，之后在AB下方磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)后恰好從O點(diǎn)進(jìn)入AB上方的磁場(chǎng)。帶電粒子的重力不計(jì)。則()A．帶電粒子帶負(fù)電B．加速電場(chǎng)的電壓為C．粒子進(jìn)入AB下方磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)半徑為D．AB下方磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為上方磁場(chǎng)的6倍【答案】ACD【解析】從C點(diǎn)入射的粒子向下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即受到洛侖茲力向下，由左手定則知道粒子帶負(fù)電，所以選項(xiàng)A正確；由題意知，粒子在AB上方磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r1＝，在電場(chǎng)中加速有：，在AB上方磁場(chǎng)中：，聯(lián)立得：，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；粒子在AB下方磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系：，解得r2＝，所以選項(xiàng)C正確；由洛侖茲力提供向心力得到半徑：，由于r1＝6r2，所以B2＝6B1，所以選項(xiàng)D正確。5．如圖所示，矩形區(qū)域以對(duì)角線abcd為邊界分為上、下兩個(gè)區(qū)域，對(duì)角線上方區(qū)域存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，對(duì)角線下方區(qū)域存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子以速度v0從a點(diǎn)沿邊界ab進(jìn)入電場(chǎng)，恰好從對(duì)角線ac的中點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)，并恰好未從邊界cd射出。已知ab邊長(zhǎng)為2L，bc邊長(zhǎng)為eq\r(3)L，粒子重力不計(jì)，求：(1)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大??；(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小?！窘馕觥?1)從a點(diǎn)入射的粒子在電場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，則有：，，聯(lián)立解得：(2)設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小為v，速度方向與水平方向成β角，則有：，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后恰好不從邊界cd射出，其軌跡恰與邊界cd相切，如圖所示，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由幾何關(guān)系可得：由牛頓第二定律得：聯(lián)立解得：。6．如圖所示，在足夠長(zhǎng)的絕緣板MN上方存在方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未標(biāo)出），在絕緣板上方距離為d的P點(diǎn)有一個(gè)粒子發(fā)射源，能夠在紙面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速度大小相等，比荷eq\f(q,m)＝k的帶正電粒子，已知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R＝d，不計(jì)粒子間的相互作用和粒子的重力，試求：(1)粒子源所發(fā)射粒子的速度大小v0；(2)能夠到達(dá)絕緣板上的帶電粒子在板上留下痕跡的最大長(zhǎng)度Lm；(3)同時(shí)射出的粒子打到板上的最大時(shí)間差Δtm?！窘馕觥?1)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)qv0B＝meq\f(v02,R)解得(2)畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖如圖所示，設(shè)粒子能打中絕緣板上最左端和最右端的點(diǎn)分別為C、D，粒子在C點(diǎn)與絕緣板相切，PD為粒子軌跡圓的直徑。根據(jù)幾何關(guān)系可得帶電粒子在板上留下痕跡的最大長(zhǎng)度：(3)同時(shí)射出的粒子中最先和最后打中絕緣板的粒子運(yùn)動(dòng)情況如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知，最先打中絕緣板的粒子轉(zhuǎn)過的圓心角：最后打中絕緣板的粒子轉(zhuǎn)過的圓心角：粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：同時(shí)射出的粒子打到板上的最大時(shí)間差：所以最大時(shí)間差。7．如圖所示，在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形頂點(diǎn)a有一質(zhì)量為m、電荷量為q的離子源，持續(xù)不斷地在單位時(shí)間內(nèi)向正方形區(qū)域發(fā)射n個(gè)速率均為v的離子，這些離子沿角度均勻分布。在正方形區(qū)域存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使得所有離子均能垂直cd邊射出，且沿邊長(zhǎng)ab發(fā)射的離子恰好從c點(diǎn)水平射出。在正方形右側(cè)平行于cd放置一接地金屬板M，其上有一沿y軸可移動(dòng)的、長(zhǎng)度為eq\f(1,2)L的窗口，允許離子通過。在極板M右側(cè)存在邊長(zhǎng)也為L(zhǎng)的正方形區(qū)域，設(shè)置一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其方向與左側(cè)磁場(chǎng)相同，使通過窗口的離子都匯集到位于邊長(zhǎng)中點(diǎn)S的收集器中，不計(jì)重力和離子間相互作用。(1)判斷離子帶電量的正負(fù)；(2)求左右兩區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積；(3)單位時(shí)間內(nèi)收集器中離子收集率與窗口中心位置坐標(biāo)y之間的關(guān)系?！窘馕觥?1)由離子的偏轉(zhuǎn)方向和左手定則，可判斷離子帶負(fù)電。(2)沿邊長(zhǎng)ab發(fā)射的離子恰好從c點(diǎn)水平射出可知，離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑R1＝L，根據(jù)牛頓第二定律qvB1＝m左側(cè)區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小左側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積離子在右側(cè)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)半徑R2＝，右側(cè)區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積(3)離子出射區(qū)間寬度為L(zhǎng)/2，需要分段討論：當(dāng)yL，，η＝0當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。8．如圖1所示為平面坐標(biāo)系xOy，在第一象限內(nèi)的虛曲線和y軸之間存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B；在第二象限內(nèi)的虛直線(x＝－6eq\r(3)a)和y軸之間存在著如圖2所示的交變磁場(chǎng)（以垂直紙面向外為磁場(chǎng)的正方向）。在A(2a，0)點(diǎn)的放射源發(fā)出質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，粒子速度大小為v0＝，速度方向與x軸負(fù)方向的夾角為θ(0＜θ＜90°)，所有粒子都能垂直穿過y軸后進(jìn)入第二象限。不計(jì)粒子重力和粒子間相互作用。(1)求夾角θ＝45°的粒子經(jīng)過y軸時(shí)的坐標(biāo)；(2)求第一象限內(nèi)虛曲線的曲線方程y(x)；(3)假設(shè)交變磁場(chǎng)在0時(shí)刻，某粒子剛好經(jīng)過y軸上的B(0，a)點(diǎn)，則：①要求該粒子不回到第一象限，交變磁場(chǎng)的變化周期T應(yīng)滿足什么條件？②要求該粒子在C(－6eq\r(3)a，a)點(diǎn)垂直虛直線水平射出磁場(chǎng)，求粒子在交變磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t與磁場(chǎng)變化周期T的比值k的最小值，并求出在這種情況下粒子在交變磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間?！窘馕觥?1)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡半徑為r，則：qv0B0＝mv0解得：r＝a如圖1所示，當(dāng)入射角為45°時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系可得：y軸坐標(biāo)y＝（2a－22a）+（a－22a）＝（3－(2)如圖2所示，入射角為任意角θ，進(jìn)入磁場(chǎng)入射點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)幾何關(guān)系可得：tanθ＝y(tǒng)2a-xtanθ＝x得y＝x2a-xa2-x2（(3)①粒子不回到第一象限，臨界情況為軌跡與y軸相切，如圖3所示；設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T0，兩圓心連線與y軸夾角為β，則：T0＝2πmqsinβ＝1所以β＝30°且滿足T得T＝10πm要求該粒子不回到第一象限，交變磁場(chǎng)的變化周期T應(yīng)滿足T≤10πm3q②粒子在交變磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t與磁場(chǎng)變化的周期T的比值為k，即tT＝如圖4所示，根據(jù)幾何關(guān)系可得：4rsinβ×k＝LBC．sinβ＝3由于sinβ≤1所以k最小等于3，即sinβ＝3當(dāng)β＝60°，如圖4所示，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1＝4×60°360°×3×當(dāng)β＝120°時(shí)，如圖5所示，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2＝4×120°360°×3×如圖甲所示的xOy平面處于變化的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間做周期性變化的圖象如圖乙所示，y軸正方向?yàn)镋的正方向，垂直于紙面向里為B的正方向，t＝0時(shí)刻，帶負(fù)電粒子P(重力不計(jì))由原點(diǎn)O以速度v0沿y軸正方向射出，它恰能沿一定軌道做周期性運(yùn)動(dòng)。v0、E0和t0為已知量，圖乙中eq\f(E0,B0)＝eq\f(8v0,π2)，在0～t0時(shí)間內(nèi)粒子P第一次離x軸最遠(yuǎn)時(shí)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2v0t0,π)，\f(2v0t0,π)))。求：(1)粒子P的比荷；(2)t＝2t0時(shí)刻粒子P的位置；(3)帶電粒子在運(yùn)動(dòng)中距離原點(diǎn)O的最遠(yuǎn)距離L?！窘馕觥?1)0～t0時(shí)間內(nèi)粒子P在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)粒子所在位置的縱、橫坐標(biāo)相等時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中恰好經(jīng)過eq