高中數(shù)學(xué)人教A版2本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 公開(kāi)課

2．演繹推理1．結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理．2．通過(guò)具體實(shí)例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(梳)eq\x(理)1．演繹推理．從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理．簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．2．演繹推理的一般模式——“三段論”，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情況；(3)結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(自)eq\x(測(cè))1．推理：“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是(B)A．①B．②C．③D．①②解析：此推理的小前提是“三角形不是平行四邊形”．故選B.2．“∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD的對(duì)角線相等．”補(bǔ)充以上推理的大前提是(B)A．正方形都是對(duì)角線相等的四邊形B．矩形都是對(duì)角線相等的四邊形C．等腰梯形都是對(duì)角線相等的四邊形D．矩形都是對(duì)邊平行且相等的四邊形解析：易知此推理的大前提是矩形都是對(duì)角線相等的四邊形．故選B.3．命題“有些有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是(D)A．使用了歸納推理B．使用了類(lèi)比推理C．使用了“三段式”，但大前提錯(cuò)誤D．使用了“三段式”，但小前提錯(cuò)誤解析：此推理使用了“三段式”，但小前提錯(cuò)誤．故選D.4．在△ABC中，AC＞BC，CD是AB邊上的高，求證：∠ACD＞∠BCD.①證明：在△ABC中，∵CD⊥AB，AC＞BC；②∴AD＞BD；③∴∠ACD＞∠BCD.則在上面證明過(guò)程中錯(cuò)誤的是③(只填序號(hào))．解析：AD，BD不在同一個(gè)三角形中，③錯(cuò)誤．eq\a\vs4\al(（一）“三段論”的表示形式)(1)符號(hào)表示．大前提：M是P.小前提：S是M.結(jié)論：S是P.(2)集合表示．若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，集合S是集合M的一個(gè)子集，那么S中所有元素也具有性質(zhì)P.由此可見(jiàn)，應(yīng)用“三段論”解決問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)該明確什么是大前提和小前提．有時(shí)為了敘述簡(jiǎn)潔，如果大前提或小前提是顯然的，那么可以省略．(二)合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：從推理形式和推理所得的結(jié)論上講，二者有差異．合情推理演繹推理歸納推理合情推理推理形式由部分到整體或由個(gè)別到一般的過(guò)程由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理結(jié)論的正確性結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明在前提和推理形式都正確的前提下，結(jié)論一定正確1．在推理證明中，證明命題的正確性采用演繹推理，而合情推理不能用作證明．2．在證明中，演繹推理的基本規(guī)則是：(1)在證明過(guò)程中，論題應(yīng)當(dāng)始終同一，不得中途變更．違反這條規(guī)則的常見(jiàn)錯(cuò)誤是偷換論題．(2)論據(jù)不能靠論題來(lái)證明．論題的真實(shí)性是靠論據(jù)來(lái)證明的，如果論據(jù)的真實(shí)性又要靠論題來(lái)證明，那么結(jié)果什么也沒(méi)有證明．違反這條規(guī)則的邏輯錯(cuò)誤叫做循環(huán)論證．(3)論據(jù)要真實(shí)，論據(jù)是確定論題真實(shí)性的理由．如果論據(jù)是假的，那就不能確定論題的真實(shí)性．違反這條規(guī)則的邏輯錯(cuò)誤叫做虛假論據(jù)．(4)論據(jù)必須能推出論題．證明是特殊的推理，因而證明過(guò)程應(yīng)該合乎推理形式，遵守推理規(guī)則．論據(jù)必須是推出論題的充足理由，否則，論據(jù)就推不出論題．違反這條規(guī)則的邏輯錯(cuò)誤，叫做不能推出．3．應(yīng)用“三段論”來(lái)證明問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)明確什么是大前提和小前提．若題干中沒(méi)有，則應(yīng)先補(bǔ)出大前提，然后再利用“三段論”證明．1．三段論“①已有船準(zhǔn)時(shí)起航，才能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港；②這艘船是準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港的；③所以這艘船是準(zhǔn)時(shí)起航的．”中“小前提”是(B)A．①B．②C．①②D．③2．下列三段可以組成一個(gè)“三段論”，則小前提是(D)①因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)是增函數(shù)；②所以y＝2x是增函數(shù)；③而y＝2x是指數(shù)函數(shù)．A．①B．②C．①②D．③解析：根據(jù)“三段論”的原理，可知選D.3．設(shè)a＝(x，4)，b＝(3，2)，若a∥b，則x的值是(D)A．－6\f(8,3)C．－eq\f(8,3)D．6解析：∵a∥b，∴eq\f(x,3)＝eq\f(4,2)，∴x＝6.4．因?yàn)橹袊?guó)的大學(xué)分布在全國(guó)各地，大前提北京大學(xué)是中國(guó)的大學(xué)，小前提所以北京大學(xué)分布在全國(guó)各地．結(jié)論(1)上面的推理正確嗎？為什么？(2)推理的結(jié)論正確嗎？為什么？解析：(1)推理形式錯(cuò)誤．大前提中的M是“中國(guó)的大學(xué)”它表示中國(guó)的所有大學(xué)，而小前提中的M雖然也是“中國(guó)的大學(xué)”，但它表示中國(guó)的一所大學(xué)，二者是兩個(gè)不同的概念，故推理的結(jié)論錯(cuò)誤．(2)由于推理形式錯(cuò)誤，故推理結(jié)論錯(cuò)誤．1．下面說(shuō)法正確的有(C)①演繹推理是由一般推理到特殊推理；②演繹推理得到的結(jié)論一定是正確的；③演繹推理的一般模式是“三段論”形式；④演繹推理得到的結(jié)論的正誤與大前提、小前提和推理形式有關(guān)．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：①③④正確，②錯(cuò)誤的原因是：演繹推理的結(jié)論要為真，必須前提和推理形式都為真．2．△ABC中，E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，則有EF∥BC，這個(gè)問(wèn)題的大前提為(A)A．三角形的中位線平行于第三邊B．三角形的中位線等于第三邊的一半C．EF為中位線D．EF∥CB解析：易知該推理是一個(gè)正確的三段論，所以選C.3．“由于所有能被6整除的數(shù)都能被3整除，18是能被6整除的數(shù)，所以18能被3整除．”這個(gè)推理是(C)A．大前提錯(cuò)誤B．結(jié)論錯(cuò)誤C．正確的D．小前提錯(cuò)誤解析：易知該推理是一個(gè)正確的三段論，所以選C.4．下列推理是演繹推理的是(A)A．M，N是平面內(nèi)兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PM|＋|PN|＝2a＞|MN|，得點(diǎn)PB．由a1＝1，an＝2n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C．由圓x2＋y2＝r2的面積為πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積為πabD．科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛艇解析：B是歸納推理，C、D是類(lèi)似推理，只有A是利用橢圓的定義作為大前提的演繹推理．5．在不等邊三角形中，a邊最大，要想的到∠A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足的條件是(C)A．a(chǎn)2＜b2＋c2B．a(chǎn)2＝b2＋c2C．a(chǎn)2＞b2＋c2D．a(chǎn)2≤b2＋c26．(2023·吉安二模)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，定義Γ(a，b，c)滿足Γ(a，b，c)＝Γ(b，c，a)＝Γ(c，a，b)關(guān)系式，則稱Γ(a，b，c)具有輪換對(duì)稱關(guān)系．給出如下四個(gè)式子：①Γ(a，b，c)＝a＋b＋c；②Γ(a，b，c)＝a2－b2＋c2；③Γ(x，y，z)＝x2(y－z)＋y2(z－x)＋z2(x－y)；④Γ(A，B，C)＝2sinCcos(A－B)＋sin2C(A，B，C是△ABC其中具有輪換對(duì)稱關(guān)系的個(gè)數(shù)是(C)A．1B．2C．3D．4解析：C因?yàn)閍＋b＋c＝b＋c＋a＝c＋a＋b，故①具有輪換對(duì)稱關(guān)系；因?yàn)閍2－b2＋c2＝b2－c2＋a2未必成立，故②不具有輪換對(duì)稱關(guān)系；因?yàn)閤2(y－z)＋y2(z－x)＋z2(x－y)＝y(tǒng)2(z－x)＋z2(x－y)＋x2(y－z)＝z2(x－y)＋x2(y－z)＋y2(z－x)，故③具有輪換對(duì)稱關(guān)系；因?yàn)?sinCcos(A－B)＋sin2C＝2sinC[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝4sinAsinBsinC，故④具有輪換對(duì)稱關(guān)系，故選7．“一切奇數(shù)都不能被2整除，35不能被2整除，所以35奇數(shù)．”把此演繹推理寫(xiě)成“三段論”的形式．大前提：________________________，小前提：________________________，結(jié)論：__________________________．答案：不能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)35不能被2整除35是奇數(shù)8．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函數(shù)f(x)＝ax，若實(shí)數(shù)m，n滿足f(m)＞f(n)，則m，n的大小關(guān)系是________．解析：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax為減函數(shù)，∵a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0，1)，∴函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))eq\s\up12(x)為減函數(shù)．故由f(m)＞f(n)，得m＜n.答案：m＜n9．關(guān)于函數(shù)f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)＝(x≠0)，有下列命題：①其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；②當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)為增函數(shù)；③f(x)的最小值是lg2；④當(dāng)－1＜x＜0，或x＞1時(shí)，f(x)是增函數(shù)；⑤f(x)無(wú)最大值，也無(wú)最小值．其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．解析：易知f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，①正確．當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))).∵g(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，故②不正確，而f(x)有最小值lg2，∴③正確，④也正確，⑤不正確．答案：①③④10．將下列演繹推理寫(xiě)成“三段論”的形式．(1)太陽(yáng)系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，海王星是太陽(yáng)系中的大行星，所以海王星以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行；(2)菱形對(duì)角線互相平分；(3)函數(shù)f(x)＝x2－cosx是偶函數(shù)．解析：(1)太陽(yáng)系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，大前提海王星是太陽(yáng)系中的大行星，小前提海王星以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行．結(jié)論(2)平行四邊形對(duì)角線互相平分，大前提菱形是平行四邊形，小前提菱形對(duì)角線互相平分．結(jié)論(3)若對(duì)函數(shù)f(x)定義域中的x，都有f(－x)＝f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，大前提對(duì)于函數(shù)f(x)＝x2－cosx，當(dāng)x∈R時(shí)，有f(－x)＝f(x)，小前提所以函數(shù)f(x)＝x2－cosx是偶函數(shù)．結(jié)論11．已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1，證明|c|≤1，并分析證明過(guò)程中的三段論．證明：∵|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1.x＝0滿足|x|≤1，∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1.證明過(guò)程中的三段論分析如下：大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；結(jié)論是|f(0)|≤1.?品味高考1．(2023·山東高考)對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f(x)＝f(2a－x)，則f(x)為準(zhǔn)偶數(shù)函數(shù)．下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶數(shù)函數(shù)的是(DA．f(x)＝eq\r(x)B．f(x)＝x2C．f(x)＝tanxD．f(x)＝cos(x＋1)解析：由f(x)＝f(2a－x)知f(x)的圖像關(guān)于x＝a對(duì)稱，且a≠0，A，C中兩函數(shù)無(wú)對(duì)稱軸，B中函數(shù)圖像的對(duì)稱軸只有x＝0，而D中當(dāng)a＝kπ－1(k∈Z)時(shí)，x＝a都是y＝cos(x＋1)的圖像的對(duì)稱軸．故選2．下列四類(lèi)函數(shù)中，具有性質(zhì)“對(duì)任意的x＞0，y＞0，函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是(C)A．冪函數(shù)B．對(duì)數(shù)函數(shù)C．指數(shù)函數(shù)D．余弦函數(shù)解析：對(duì)于指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，則有f(x＋y)＝ax＋y＝ax·ay＝f(x)·f(y)．3．對(duì)于n∈N*，將n表示為n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，當(dāng)i＝k時(shí)，ai＝1，當(dāng)0≤i≤k－1時(shí)，ai為0或1.定義bn如下：在n的上述表示中，當(dāng)a0，a1，a2，…，ak中等于1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，bn＝1；否則bn＝0.(1)b2＋b4＋b6＋b8＝________；(2)記cn為數(shù)列{bn}中第m個(gè)為0的項(xiàng)與第m＋1個(gè)為0的項(xiàng)之間的項(xiàng)數(shù)，則cm的最大值是________________________________________________________________________．解析：(1)2＝1×21＋0×20，∴b2＝1；4＝1×22＋0×21＋0×20，∴b4＝1；6＝1×22＋1×21＋0×20，∴b6＝0；8＝1×23＋0×22＋0×21＋0×20，∴b8＝1.∴b2＋b4＋b6＋b8＝3.(2)設(shè){bn}中第m個(gè)為0的項(xiàng)為bt(t∈N*)，即bt＝0，將t寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)，則有兩種情形：①t的二進(jìn)制數(shù)表達(dá)式為：，則t＋1的二進(jìn)制數(shù)表達(dá)式中“1