高中數(shù)學(xué)人教A版3第一章計(jì)數(shù)原理二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)（何磊）

20232023年全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)課題：§1.（人教A版高中課標(biāo)教材數(shù)學(xué)選修2-3）教學(xué)設(shè)計(jì)河北正定中學(xué)何磊《二項(xiàng)式定理》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容解析《二項(xiàng)式定理》是人教A版選修2-3第一章第三節(jié)的知識(shí)內(nèi)容，它是初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式乘法的繼續(xù)．在計(jì)數(shù)原理之后學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理，一方面是因?yàn)樗淖C明要用到計(jì)數(shù)原理，可以把它作為計(jì)數(shù)原理的一個(gè)應(yīng)用，另一方面也是解決整除、近似計(jì)算、不等式證明的有力工具，同時(shí)也是后面的數(shù)學(xué)期望等內(nèi)容的基礎(chǔ)知識(shí)，二項(xiàng)式定理起著承上啟下的作用．另外，由于二項(xiàng)式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，利用二項(xiàng)式定理可進(jìn)一步深化對(duì)組合數(shù)的認(rèn)識(shí)．總之，二項(xiàng)式定理是綜合性較強(qiáng)的、具有聯(lián)系不同內(nèi)容作用的知識(shí)．二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置新課標(biāo)指出教學(xué)目標(biāo)應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)與技能的過(guò)程也同時(shí)成為學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，形成正確價(jià)值觀的過(guò)程．新課標(biāo)要求：用計(jì)數(shù)原理分析，，的展開(kāi)式，歸納類比得到二項(xiàng)式定理，并能用計(jì)數(shù)原理證明．掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；學(xué)會(huì)討論二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的方法．根據(jù)新課標(biāo)的理念及本節(jié)課的教學(xué)要求，制定了如下教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生在二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)過(guò)程中，掌握二項(xiàng)式定理及推導(dǎo)方法、二項(xiàng)展開(kāi)式、通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，并能運(yùn)用二項(xiàng)式定理計(jì)算或證明一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．2.學(xué)生經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的探究過(guò)程，體驗(yàn)“從特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從一般到特殊指導(dǎo)實(shí)踐”的思想方法，獲得觀察、歸納、類比、猜想及證明的理性思維探究能力．3.通過(guò)二項(xiàng)展開(kāi)式的探究，培養(yǎng)學(xué)生積極主動(dòng)、勇于探索、不斷創(chuàng)新的精神，感受合作探究的樂(lè)趣，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧、對(duì)稱美及數(shù)學(xué)符號(hào)應(yīng)用的簡(jiǎn)潔美．結(jié)合數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生愛(ài)國(guó)熱情和民族自豪感．三、學(xué)情分析１．有利因素授課對(duì)象是高二的學(xué)生，具有一般的歸納推理能力，思維較活躍，初步具備了用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析問(wèn)題的能力．學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了計(jì)數(shù)原理和排列組合的知識(shí)，對(duì)本節(jié)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的研究會(huì)有很大幫助．２．不利因素本節(jié)內(nèi)容思維量較大，對(duì)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和分類討論、歸納推理等能力有較高要求，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)有一定難度．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，大部分學(xué)生習(xí)慣于重視定理、公式的結(jié)論，而不重視其形成過(guò)程．四、教法策略分析遵循“以學(xué)生為主體、教師是數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和參與者”的現(xiàn)代教育原則，采用“啟發(fā)式教學(xué)法”，學(xué)生主要采用“探究式學(xué)習(xí)法”，并利用多媒體輔助教學(xué)．本課以問(wèn)題的提出、問(wèn)題的解決為主線，始終在學(xué)生知識(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問(wèn)題，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，通過(guò)不斷探究、發(fā)現(xiàn)，在師生互動(dòng)、生生互動(dòng)中，完成二項(xiàng)式定理的探究，讓學(xué)習(xí)過(guò)程成為學(xué)生心靈愉悅的主動(dòng)認(rèn)知過(guò)程．五、教學(xué)過(guò)程創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè)情境引入課題感知體驗(yàn)探究歸納知識(shí)建構(gòu)形成定理回顧反思?xì)w納總結(jié)鞏固新知提升能力（一）創(chuàng)設(shè)情境引入課題引入：通過(guò)“牛頓發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理”的歷史引入課題．提出問(wèn)題：？？？那么……的展開(kāi)式是什么？【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生的學(xué)習(xí)遵循“歷史發(fā)生原理”，把二項(xiàng)式定理發(fā)現(xiàn)的歷史融入新課導(dǎo)入，既能引起學(xué)生的興趣，符合新課程理念，還能提升課堂品味．創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)情景能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)生提供良好的學(xué)習(xí)環(huán)境．?dāng)?shù)學(xué)的來(lái)源，一是來(lái)自數(shù)學(xué)外部現(xiàn)實(shí)社會(huì)的發(fā)展需要；二是來(lái)自數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾，即數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要．這個(gè)問(wèn)題將“多項(xiàng)式展開(kāi)有哪些項(xiàng)”包含其中，為后面的研究做好鋪墊．（二）體驗(yàn)感知探究歸納1．歸納特點(diǎn)總結(jié)規(guī)律．問(wèn)題1：?jiǎn)栴}1：觀察下列展開(kāi)式，歸納猜想的展開(kāi)式有怎樣的規(guī)律？生：n次式展開(kāi)有n+1項(xiàng)生：展開(kāi)式中每一項(xiàng)都是n次式生：系數(shù)對(duì)稱相等，第一項(xiàng)系數(shù)是1，第二項(xiàng)的系數(shù)是n生：楊輝三角師：我們主要從展開(kāi)式的哪些方面來(lái)發(fā)現(xiàn)的這些規(guī)律？生：項(xiàng)數(shù)，項(xiàng)，系數(shù)．【設(shè)計(jì)意圖】由特殊到一般的歸納總結(jié)，離不開(kāi)大量特殊實(shí)例的觀察．只有將大量具體實(shí)例進(jìn)行整體和局部多方面的分析，才能得到接近一般性規(guī)律的結(jié)論．也只有對(duì)得出各種結(jié)論進(jìn)行整合，才能讓學(xué)生順暢的抓住展開(kāi)過(guò)程的兩個(gè)要點(diǎn)，即項(xiàng)的結(jié)構(gòu)和項(xiàng)的系數(shù)，才能讓學(xué)生有目的的進(jìn)一步進(jìn)行探討和分析．2．項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．問(wèn)題2：?jiǎn)栴}2：展開(kāi)式中各項(xiàng)是如何得到的？（學(xué)生敘述展開(kāi)過(guò)程中各項(xiàng)是如何形成的．如果學(xué)生的敘述中沒(méi)有說(shuō)明從每個(gè)因式中取一個(gè)字母相乘得到展開(kāi)式的項(xiàng)，老師提出預(yù)備問(wèn)題：展開(kāi)式的各項(xiàng)是由同一個(gè)因式中的字母相乘得到的嗎？）師：根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，的展開(kāi)式就是從每個(gè)因式中任取一項(xiàng)相乘得到展開(kāi)式的項(xiàng)．【設(shè)計(jì)意圖】多項(xiàng)式乘法法則是展開(kāi)式的運(yùn)算基礎(chǔ)，同時(shí)也為用組合數(shù)表示系數(shù)創(chuàng)設(shè)情境．而學(xué)生對(duì)于多項(xiàng)式乘法法則的理論敘述不夠順暢．通過(guò)教師強(qiáng)調(diào)多項(xiàng)式乘法法則，讓學(xué)生思維建立舊知識(shí)與新知識(shí)聯(lián)系，為下面系數(shù)的確定做好鋪墊．3．項(xiàng)的系數(shù)特點(diǎn)．問(wèn)題3：?jiǎn)栴}3：展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)是如何確定的？師：根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，各項(xiàng)的形成過(guò)程就是有關(guān)計(jì)數(shù)原理的問(wèn)題．而各項(xiàng)的系數(shù)，就是展開(kāi)過(guò)程中該項(xiàng)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)．【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課的重點(diǎn)就是利用多項(xiàng)式的乘法法則和計(jì)數(shù)原理對(duì)展開(kāi)式中各項(xiàng)進(jìn)行分析．該問(wèn)題的提出，符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，能準(zhǔn)確地檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題分析能力和解決方法的掌握，突出體現(xiàn)本節(jié)課的思維方法．（三）知識(shí)建構(gòu)形成定理問(wèn)題4問(wèn)題4：請(qǐng)寫(xiě)出的展開(kāi)式．——二項(xiàng)式定理證明：是n個(gè)相乘，每個(gè)在相乘時(shí)，有兩種選擇，選a或選b，由分步計(jì)數(shù)原理可知展開(kāi)式共有項(xiàng)（包括同類項(xiàng)），其中每一項(xiàng)都是的形式，對(duì)于每一項(xiàng)，它是由k個(gè)選了b，n－k個(gè)選了a得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個(gè)中取k個(gè)b的組合數(shù)，將它們合并同類項(xiàng)，就得二項(xiàng)展開(kāi)式，這就是二項(xiàng)式定理．二項(xiàng)式定理的公式特征：①展開(kāi)式中每一項(xiàng)的次數(shù)都是；②展開(kāi)式共項(xiàng)；③按照字母降冪排列，次數(shù)由遞減到0，字母升冪排列，次數(shù)由0遞增到；④是展開(kāi)式的第項(xiàng)；叫二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示．⑤各項(xiàng)的系數(shù)叫二項(xiàng)式系數(shù)．【設(shè)計(jì)意圖】先由學(xué)生獨(dú)立完成，然后組織討論．完成有特殊到一般的歸納過(guò)程，訓(xùn)練學(xué)生的類比、聯(lián)想、歸納的探究能力．在討論過(guò)程中要明確每一項(xiàng)的形式及相應(yīng)的個(gè)數(shù)．（四）鞏固新知提升能力試一試試一試：例1例1：請(qǐng)寫(xiě)出的展開(kāi)式．例2例2：求的展開(kāi)式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．想一想：求展開(kāi)式第6項(xiàng)的系數(shù)．練習(xí)練習(xí)：請(qǐng)寫(xiě)出的展開(kāi)式中的系數(shù)．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例題讓學(xué)生熟悉二項(xiàng)展開(kāi)式及其通項(xiàng)，區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力．設(shè)計(jì)題目考察學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,各個(gè)題目設(shè)計(jì)的比較有梯度，逐漸加大難度，符合學(xué)生的認(rèn)知水平．（五）回顧反思?xì)w納總結(jié)知識(shí)方面：二項(xiàng)式定理，通項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)；思想方法：從特殊到一般；觀察——?dú)w納——類比——猜想——證明．【設(shè)計(jì)意圖】小結(jié)可以鍛煉學(xué)生的概括能力、語(yǔ)言表達(dá)能力，可以使