高中數學人教A版第二章平面向量平面向量的數量積 教學設計

《平面向量數量積的物理背景及其含義》教學設計三門峽市第一高級中學張偉強一、內容和內容分析1．內容平面向量數量積的物理背景及其含義2．內容分析本節(jié)內容教材共安排兩課時，其中第一課時主要研究數量積的概念、幾何意義、性質和運算律；第二課時主要研究數量積的坐標運算，本節(jié)課是第一課時。本節(jié)課首先通過一段“大力士”拉汽車的精彩視頻抽象出物理中“功”的事例，之后拋開物理背景，將,這兩個物理中的矢量，推廣到數學中一般的非零向量，，從而得到數學中平面向量數量積的概念，體現了有特殊到一般的數學思想，同時培養(yǎng)學生的抽象概括能力；然后從“形”的角度引入“投影”探究數量積的幾何意義，使學生加深對數量積概念的理解，同時體現了數形結合的數學思想；“數量積”和“投影”均為數量，對其正、負、零的討論過程，體現了分類討論的數學思想；然后又通過類比實數乘法的運算律研究了數量積的運算律，體現“類比”的數學思想。本節(jié)課是在學生系統的學習了向量的概念和向量的加法、減法、數乘等線性運算的基礎上，探索向量的又一種新的運算，它既是前面所學知識和方法的延續(xù)，又是后繼學習解三角形、解析幾何以及空間向量等內容的基礎，因此本節(jié)內容起到了承上啟下的作用。平面向量數量積是一個很重要的數學概念，它是從物理中功的概念抽象而來的，是溝通代數、幾何、三角的橋梁，是數形結合方法的典范。這些都使得數量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學的重點。二、目標與目標解析1．目標（1）了解平面向量數量積的物理背景，理解數量積的含義及其物理意義；（2）體會平面向量的數量積與向量投影的關系，掌握數量積的性質和運算律，并能運用性質和運算律進行相關的運算和判斷；（3）體會類比的數學思想和方法，進一步培養(yǎng)學生抽象概括、推理論證的能力。2．目標分析《普通高中數學課程標準》對本節(jié)課的要求有以下三條：（1）通過物理中“功”等事例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義。（2）體會平面向量的數量積與向量投影的關系。（3）能用運數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。從以上的背景分析可以看出，數量積的概念既是本節(jié)課的重點，也是難點。為了突破這一難點，首先無論是在概念的引入還是應用過程中，物理中“功”的實例都發(fā)揮了重要作用。其次，作為數量積概念延伸的性質和運算律，不僅能夠使學生更加全面深刻地理解概念，同時也是進行相關計算和判斷的理論依據。最后，無論是數量積的性質還是運算律，都希望學生在類比的基礎上，通過主動探究來發(fā)現，因而對培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力和類比思想都無疑是很好的載體。三、教學問題診斷分析學生在這之前的物理課已經認識了矢量和功，數學課系統地學習了向量定義、向量的線性運算，具備了一定能力去進行深入的研究。功的計算為平面向量數量積引入提供很好的背景，但對兩個有形有數的向量經過數量積運算后，形卻消失了成為一個數，學生對這一點是較難接受的。由于受實數乘法運算的影響，也會造成學生對數量積、性質和運算律的理解上的偏差。從學生認知水平來看，學生的探究能力和用數學語言交流的能力還有待提高，本節(jié)課還要初步體會研究向量運算的一般方法；即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再從概念出發(fā)，在與實數運算類比的基礎上研究性質和運算律及運用，這種知識的整合提升對學生來說恰又是比較困難的。因而本節(jié)課教學的難點是：平面向量的數量積的定義及運算律的理解，平面向量數量積的應用。四、教學支持條件分析根據本節(jié)課教材內容的要求，為了直觀、形象地突出重點，突破難點，利用視頻、動態(tài)演示，展示平面向量數量積的物理背景，探究性質、幾何意義以及運算律。五、教學過程分析（一）知識鏈接1．已經學習了哪幾種向量運算？向量運算數學符號運算結果2．兩個非零向量與的夾角如何定義？其取值范圍是多少？【設計意圖】通過知識鏈接的問題讓學生復習回顧向量運算，兩個非零向量與的夾角，為平面向量數量積的學習奠定基礎。（二）創(chuàng)設情境多媒體播放中國大力士公開賽，中國選手的參賽視頻，之后動態(tài)演示他的比賽過程，從中抽象出數量積的物理背景。問題1、大力士拉車，沿著繩子方向上的力為F，車移動的位移是S，力和位移的夾角為θ，大力士所做的功為多少？學生根據所學物理知識容易得到：問題2、決定功大小的量有哪幾個？問題3、力、位移及其夾角分別是矢量還是標量？功是向量還是數量？教師：明確物理中的矢量就是數學中的向量，物理中的標量就是數學中的數量?！驹O計意圖】從學生已有的認知水平出發(fā)，通過熟悉的生活實例，創(chuàng)設數量積的物理背景，激發(fā)學生的學習熱情，同時，也為抽象數量積的概念做好鋪墊。（三）探究定義師：物理中的和是兩個向量，用兩個一般的非零向量和來替換和，其夾角不變，則。在數學中稱為非零向量和的數量積，記作：，從而得到平面向量數量積的定義：已知兩個非零向量和，我們把叫做和的數量積（或內積），記作，即，其中夾角是與的夾角。規(guī)定：零向量與任一向量的數量積為0.學生活動：齊聲讀定義，并體會定義的要點。定義要點：（1）與是非零向量；（2）“”是數量積的運算符號，不能省略也不能用“”代替；（3）數量積的結果為數量。問題4：由數量積的定義可知，決定數量積大小的量有哪些？問題5：數量積的結果為數量，數量積的正、負、零有誰決定？【設計意圖】在與功類比的基礎上從特殊到一般引入平面向量數量積，有利于學生的知識遷移和概念準確理解，認識到向量夾角是決定數量積結果的重要因素，體驗對向量夾角的分類討論。（四）鞏固定義師：同學們對平面向量數量積的定義已經有了初步的了解，通過以下題目檢測大家的理解情況?？诖穑?、已知，，與的夾角，。2、已知正三角形的邊長為，求：（1）；（2）；（3）；3、依據數量積的定義完成以下問題（與是非零向量）。（1）；（2）若與同向，則；若與反向，則；特別地，；（3）；（4）。學生活動：第1、2題學生獨立完成，第3題小組內部討論完成，過程中教師指導、點撥。由第3題得到平面向量數量積的性質：（1），用于判定兩向量垂直；（2），用于計算向量的模；（3），用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀?！驹O計意圖】及時鞏固所學概念，熟練數量積的求解要點，特別是兩向量的夾角是多少？加深對定義的理解。師：數量積的學習完整了，高中階段的向量運算，請同學們將下表補充完整。向量運算數學符號運算結果加法向量減法向量數乘向量【設計意圖】使學生對高中階段所學向量運算，有一個完整的認識，同時，體現出數量積運算的獨特性。（五）探究意義問題6：向量運算中的加法、減法、數乘都有幾何意義，數量積運算有沒有幾何意義？師生共同探究：教師動畫展示投影的形成過程，形成概念。叫做在方向上的投影。同理：叫做在方向上的投影。問題7：投影是向量還是數量？其正、負、零由誰決定？問題8、你能從投影的角度解釋平面向量數量積的定義嗎？學生嘗試解釋，得到：平面向量數量積的幾何意義：數量積等于的長度與在方向上的投影的乘積?！驹O計意圖】教師展示向量投影的形成過程，讓學生形象、直觀的感受向量投影及其含義，讓學生從“形”的角度重新認識平面向量數量積，從中體會數量積與向量投影的關系。使學生對平面向量數量積這一全新概念的理解更加深刻。（六）運算律問題9、數量積作為一種運算，有怎樣的運算律呢？類比實數乘法運算律，寫出數量積的運算律，并判斷對錯？學生活動：根據實數乘法運算律，以小組為單位，共同探究類比出向量數量積的運算律，并嘗試利用定義判斷結果的正確性。教師參與小組討論并及時點撥、指導、糾錯。運算律實數乘法平面向量數量積交換律結合律分配律最終，小組展示探究結果，得到平面向量數量積的運算律為：運算律平面向量數量積交換律結合律分配律之后，教師演示從平面向量數量積的幾何意義角度，證明分配律的正確性?！驹O計意圖】在這個環(huán)節(jié)中，仍然是為學生創(chuàng)設情景，讓學生在類比的基礎上進行猜想歸納，然后教師明晰結論，最后再完成證明，這樣做不僅培養(yǎng)學生的推理論證能力，同時也增強了學生類比創(chuàng)新意識，將知識的獲得和能力的培養(yǎng)有機的結合在一起。（七）典例分析例1、證明：（1）；（2）。證明：（1）（2）例2、已知，，與的夾角，求。解：例3、已知，，且與不共線。為何值時，向量與互相垂直？解：與互相垂直的條件是，即。因為，，所以。解之得：。也就是說，當時，與互相垂直?！驹O計意圖】例1、例2是數量積的性質和運算律的綜合應用，教學時，重點從對運算原理的分析和運算過程的規(guī)范書寫兩個方面加強示范。（八）鞏固練習1、判斷下列說法是否正確。（1）；（）（2）若，則，至少有一個為零向量；（）（3）若，則與的夾角為銳角；（）（4）若，則。（）2、在等腰中，，，則。3、已知，，與的夾角，求?！驹O計意圖】通過鞏固練習，使學生對數量積的定義、性質、幾何意義以及運算律的理解更加深刻，形成系統的知識體系；同時培養(yǎng)了運用知識解決問題的能力。（九）課堂小結今天你學到了什么？學生自主完成歸納小結，教師加以補充完善，同時形成本節(jié)課的知識結構圖，并完成思想方法的小結歸納。1．平面向量數量積的定義：2．平面向量數量積的性質：（1）垂直；（2）長度；（3）夾角。3．平面向量數量積的幾何意義：數量積等于的長度與在方向上的投影的乘積。4．平面向量數量積的運算律（類比）：（1）交換律：；（2）結合律：；（3）分配律：?！驹O計意圖