高中數(shù)學人教A版第三章概率幾何概型 高質作品

幾何概型3.3.1幾何概型1．理解幾何概型的定義及特點．(重點)2．掌握幾何概型的計算方法和求解步驟，準確地把實際問題轉化為幾何概型問題．(難點)3．與長度、角度有關的幾何概型問題．(易混點)[基礎·初探]教材整理1幾何概型閱讀教材P135～P136例1以上的部分，完成下列問題．1．幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型．2．幾何概型的特點(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限多個．(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．3．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(構成事件A的區(qū)域長度面積或體積,試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度面積或體積).1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)幾何概型的概率與構成事件的區(qū)域形狀無關．()(2)在射擊中，運動員擊中靶心的概率在(0,1)內(nèi)．()(3)幾何概型的基本事件有無數(shù)多個．()【答案】(1)√(2)×(3)√2．如圖所示，有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，向上面扔一顆小玻璃球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是()【解析】A中獎概率為eq\f(3,8)，B中獎概率為eq\f(1,4)，C中獎概率為eq\f(1,3)，D中獎概率為eq\f(1,3)，故選A.【答案】A3．在區(qū)間[－1,2]上隨機取一個數(shù)x，則|x|≤1的概率為________．【解析】∵區(qū)間[－1,2]的長度為3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而區(qū)間[－1,1]的長度為2，x取每個值為隨機的，∴在[－1,2]上取一個數(shù)x，|x|≤1的概率P＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)教材整理2均勻分布閱讀教材P136例1及以下的部分，完成下列問題．當X為區(qū)間[a，b]上的任意實數(shù)，并且是等可能的，我們稱X服從[a，b]上的均勻分布，X為[a，b]上的均勻隨機數(shù)．X服從[3,40]上的均勻分布，則X的值不能等于()A．15 B．25C．35 D．45【解析】由于X∈[3,40]，則3≤X≤40，則X≠45.故選D.【答案】D[小組合作型]與長度有關的幾何概型某汽車站每隔15min有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求一位乘客到達車站后等車時間超過10min的概率.【精彩點撥】乘客在上一輛車發(fā)車后的5min之內(nèi)到達車站，等車時間會超過10min.【嘗試解答】設上一輛車于時刻T1到達，而下一輛車于時刻T2到達，則線段T1T2的長度為15，設T是線段T1T2上的點，且T1T＝5，T2T＝10，如圖所示．記“等車時間超過10min”為事件A，則當乘客到達車站的時刻t落在線段T1T上(不含端點)時，事件A發(fā)生．∴P(A)＝eq\f(T1T的長度,T1T2的長度)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3)，即該乘客等車時間超過10min的概率是eq\f(1,3).在求解與長度有關的幾何概型時，首先找到試驗的全部結果構成的區(qū)域D，這時區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事件A發(fā)生對應的區(qū)域d，在找d的過程中，確定邊界點是問題的關鍵，但邊界點是否取到卻不影響事件A的概率.[再練一題]1．一個路口的紅燈亮的時間為30秒，黃燈亮的時間為5秒，綠燈亮的時間為40秒，當你到達路口時，看見下列三種情況的概率各是多少？(1)紅燈亮；(2)黃燈亮；(3)不是紅燈亮．【解】在75秒內(nèi)，每一時刻到達路口亮燈的時間是等可能的，屬于幾何概型．(1)P＝eq\f(紅燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(30,30＋40＋5)＝eq\f(2,5).(2)P＝eq\f(黃燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(5,75)＝eq\f(1,15).(3)P＝eq\f(不是紅燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(黃燈亮或綠燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(45,75)＝eq\f(3,5)，或P＝1－P(紅燈亮)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).與面積有關的幾何概型設有一個等邊三角形網(wǎng)格，其中每個最小等邊三角形的邊長都是4eq\r(3)cm，現(xiàn)用直徑等于2cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與格線沒有公共點的概率．【精彩點撥】當且僅當硬幣中心與格線的距離都大于半徑1，硬幣落下后與格線沒有公共點，在等邊三角形內(nèi)作與正三角形三邊距離為1的直線，構成小等邊三角形，當硬幣中心在小等邊三角形內(nèi)時，硬幣與三邊都沒有公共點，所以硬幣與格線沒有公共點就轉化為硬幣中心落在小等邊三角形內(nèi)的問題．【嘗試解答】設A＝{硬幣落下后與格線沒有公共點}，如圖所示，在等邊三角形內(nèi)作小等邊三角形，使其三邊與原等邊三角形三邊距離都為1，則等邊三角形的邊長為4eq\r(3)－2eq\r(3)＝2eq\r(3)，由幾何概率公式得：P(A)＝eq\f(\f(\r(3),4)2\r(3)2,\f(\r(3),4)4\r(3)2)＝eq\f(1,4).幾何概型的特點是基本事件有無限多個，但應用數(shù)形結合的方法即可巧妙解決，即要構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何量度來求隨機事件的概率.[再練一題]2．如圖3-3-1，一個等腰直角三角形的直角邊長為2，分別以三個頂點為圓心，1為半徑在三角形內(nèi)作圓弧，三段圓弧與斜邊圍成區(qū)域M(圖中白色部分)．若在此三角形內(nèi)隨機取一點P，則點P落在區(qū)域M內(nèi)的概率為________．圖3-3-1【解析】由題意知題圖中的陰影部分的面積相當于半徑為1的半圓面積，即陰影部分面積為eq\f(π,2)，又易知直角三角形的面積為2，所以區(qū)域M的面積為2－eq\f(π,2).故所求概率為eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).【答案】1－eq\f(π,4)與體積有關的幾何概型一只小蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，求蜜蜂“安全飛行”的概率．【精彩點撥】利用體積之比求概率．【嘗試解答】依題意，在棱長為3的正方體內(nèi)任意取一點，這個點到各面的距離均大于1.則滿足題意的點區(qū)域為：位于該正方體中心的一個棱長為1的小正方體．由幾何概型的概率公式，可得滿足題意的概率為：P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).與體積有關的幾何概型問題的解決：1如果試驗的全部結果所構成的區(qū)域可用體積來度量，則其概率的計算公式為：PA＝eq\f(構成事件A的體積,試驗的全部結果構成的體積).2解決此類問題一定要注意幾何概型的條件，并且要特別注意所求的概率是與體積有關還是與長度有關，不要將二者混淆.[再練一題]3．本例條件不變，求這個蜜蜂飛到正方體某一頂點A的距離小于eq\f(1,3)的概率．【解】到A點的距離小于eq\f(1,3)的點，在以A為球心，半徑為eq\f(1,3)的球內(nèi)部，而點又必須在已知正方體內(nèi)，則滿足題意的A點的區(qū)域體積為eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\f(1,8).所以P＝eq\f(\f(4,3)π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×\f(1,8),33)＝eq\f(π,2×37).[探究共研型]幾何概型與古典概型的異同探究1古典概型和幾何概型有何異同點？【提示】相同點：古典概型與幾何概型中每一個基本事件發(fā)生的可能性都是相等的．不同點：古典概型要求隨機試驗的基本事件的總數(shù)必須是有限多個；幾何概型要求隨機試驗的基本事件的個數(shù)是無限的，而且?guī)缀胃判徒鉀Q的問題一般都與幾何知識有關．探究2P(A)＝0?A是不可能事件，P(A)＝1?A是必然事件是否成立？【提示】(1)無論是古典概型還是幾何概型，若A是不可能事件，則P(A)＝0肯定成立；若A是必然事件，則P(A)＝1肯定成立．(2)在古典概型中，若事件A的概率P(A)＝0，則A為不可能事件；若事件A的概率P(A)＝1，則A為必然事件．(3)在幾何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，則A不一定是不可能事件，如：事件A對應數(shù)軸上的一個點，則其長度為0，該點出現(xiàn)的概率為0，但A并不是不可能事件；同樣地，若事件A的概率P(A)＝1，則A也不一定是必然事件．(1)在區(qū)間[－2,2]上任取兩個整數(shù)x，y組成有序數(shù)對(x，y)，求滿足x2＋y2≤4的概率；(2)在區(qū)間[－2,2]上任取兩個實數(shù)x，y組成有序數(shù)對(x，y)，求滿足x2＋y2≤4的概率．【精彩點撥】(1)在區(qū)間[－2,2]上任取兩個整數(shù)x，y，組成有序數(shù)對(x，y)是有限的，應用古典概型求解；(2)在區(qū)間[－2,2]上任取兩個實數(shù)x，y，組成有序數(shù)對(x，y)是無限的，應用幾何概型求解．【嘗試解答】(1)在區(qū)間[－2,2]上任取兩個整數(shù)x，y組成有序數(shù)對(x，y)，共計25個，其中滿足x2＋y2≤4的在圓上或圓內(nèi)共計13個(如圖所示)，∴P＝eq\f(13,25).(2)在區(qū)間[－2,2]上任取兩個實數(shù)x，y組成有序數(shù)對(x，y)，充滿的區(qū)域是邊長為4的正方形區(qū)域，其中滿足x2＋y2≤4的是圖中陰影區(qū)域(如圖所示)，S陰＝π×22＝4π，∴P＝eq\f(4π,16)＝eq\f(π,4).古典概型與幾何概型的不同之處是古典概型的基本事件總數(shù)是有限的，而幾何概型的基本事件總數(shù)是無限的，解題時要仔細審題，注意區(qū)分.[再練一題]4．下列概率模型中，幾何概型的個數(shù)為()①從區(qū)間[－10,10]上任取一個數(shù)，求取到1的概率；②從區(qū)間[－10,10]上任取一個數(shù)，求取到絕對值不大于1的數(shù)的概率；③從區(qū)間[－10,10]上任取一個整數(shù)，求取到大于1而小于2的數(shù)的概率；④向一個邊長為4cm的正方形內(nèi)投一點，求點離中心不超過1cm的概率．A．1 B．2C．3 D．4【解析】①中的概率模型不是幾何概型，雖然區(qū)間[－10,10]上有無數(shù)個數(shù)，但取到“1”只是一個數(shù)字，不能構成區(qū)間長度；②中的概率模型是幾何概型，因為區(qū)間[－10,10]和區(qū)間[－1,1]上都有無數(shù)個數(shù)，且在這兩個區(qū)間上的每個數(shù)被取到的可能性相等；③中的概率模型不是幾何概型，因為區(qū)間[－10,10]上的整數(shù)只有21個，是有限的；④中的概率模型是幾何概型，因為在邊長為4cm的正方形和半徑為1cm的圓內(nèi)均有無數(shù)個點，且這兩個區(qū)域內(nèi)的任何一個點被投到的可能性相同．【答案】B1．轉動圖中各轉盤，指針指向紅色區(qū)域的概率最大的是()【解析】D中紅色區(qū)域面積是圓面積的一半，其面積比A、B、C中要大，故指針指到的概率最大．【答案】D2．一只螞蟻在如圖3-3-2所示的地板磚(除顏色不同外，其余全部相同)上爬來爬去，它最后停留在黑色地板磚(陰影部分)上的概率是()圖3-3-2\f(1,3) \f(2,3)\f(1,4) \f(1,8)【解】從題圖中可以得到地板磚總數(shù)為12，其中黑色地板磚有4個，由此可知最后停留在黑色地板磚上的概率是eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).【答案】A3．在半徑為1的圓中隨機地投一個點，則點落在圓內(nèi)接正方形中的概率是()\f(1,π) \f(2,π)\f(\r(2),π) \f(3,π)【解析】點落在圓內(nèi)的任意位置是等可能的，而落在圓內(nèi)接正方形中只與面積有關，與位置無關，符合幾何概型特征，圓內(nèi)接正方形的對角線長等于2，則正方形的邊長為eq\r(2).∵圓面積為π，正方形面積為2，∴P＝eq\f(2,π).【答案】B4．函數(shù)f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，則任取一點x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率為________．【解析】依題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x\o\al(2,0)＋2x0≥0，,－1≤x0≤3，))解得0≤x0≤2，所以任取一點x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率P＝eq\f(2,3－－1)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)5．在長為12cm的線段AB上任取一點M，并以線段AM為邊長作一個正方形，求作出的正方形面積介于36cm2與81cm2之間的概率．【解】如圖所示，點M落在線段AB上的任一點上是等可能的，并且這樣的點有無限多個．設事件A為“所作正方形面積介于36cm2與81cm2之間”，它等價于“所作正方形邊長介于6cm與9cm之間”．取AC＝6cm，CD＝3cm，則當M點落在線段CD上時，事件A發(fā)生．所以P(A)＝eq\f(|CD|,|AB|)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).學業(yè)分層測評(二十)幾何概型(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．下列關于幾何概型的說法中，錯誤的是()A．幾何概型是古典概型的一種，基本事件都具有等可能性B．幾何概型中事件發(fā)生的概率與它的位置或形狀無關C．幾何概型在一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有無限多個D．幾何概型中每個結果的發(fā)生都具有等可能性【解析】幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型，故選A.【答案】A2．在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率為()\f(1,3) \f(2,3)\f(1,4) \f(3,4)【解析】記M＝“射線OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如圖所示，作射線OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.當OC在∠DOE內(nèi)時，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此時的測度為度數(shù)30，所有基本事件的測度為直角的度數(shù)90.所以P(M)＝eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).【答案】A3．在400毫升自來水中有一個大腸桿菌，今從中隨機取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為()A． B．C． D．【解析】設問題轉化為與體積有關的幾何概型求解，概率為eq\f(2,400)＝.【答案】D4．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是()\f(1,4) \f(1,2)\f(3,4) \f(2,3)【解析】如右圖所示，在邊AB上任取一點P，因為△ABC與△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面積大于eq\f(S,4)”等價于事件“eq\f(|BP|,|AB|)＞eq\f(1,4)”．即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(△PBC的面積大于\f(S,4)))＝eq\f(|PA|,|BA|)＝eq\f(3,4).【答案】C5．如圖3-3-3，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是()圖3-3-3A．1－eq\f(2,π) \f(1,2)－eq\f(1,π)\f(2,π) \f(1,π)【解析】設OA＝OB＝r，則兩個以eq\f(r,2)為半徑的半圓的公共部分面積為2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2))＝eq\f(π－2r2,8)，兩個半圓外部的陰影部分面積為eq\f(1,4)πr2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2×2－\f(π－2r2,8)))＝eq\f(π－2r2,8)，所以所求概率為eq\f(2×\f(π－2r2,8),\f(1,4)πr2)＝1－eq\f(2,π).【答案】A二、填空題6．如圖3-3-4，在平面直角坐標系內(nèi)，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率為________.圖3-3-4【解析】記“射線OA落在∠xOT內(nèi)”為事件A.構成事件A的區(qū)域最大角度是60°，所有基本事件對應的區(qū)域最大角度是360°，所以由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)7．如圖3-3-5，長方體ABCD-A1B1C1D1中，有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動，則此動點在三棱錐A-A1BD圖3-3-5【解析】設長、寬、高分別為a，b，c，則此點在三棱錐A-A1BD內(nèi)運動的概率P＝eq\f(\f(1,6)abc,abc)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)8．小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于eq\f(1,2)，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于eq\f(1,4)，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________．【解析】記事件A＝“打籃球”，則P(A)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,π×12)＝eq\f(1,16).記事件B＝“在家看書”，則P(B)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π×12)－P(A)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,16)＝eq\f(3,16).故P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).【答案】eq\f(13,16)三、解答題9．一海豚在水池中自由游弋，水池為長30m，寬20m的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率．【解】如圖，四邊形ABCD是長30m、寬20m的長方形．圖中的陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過2m”．問題可化為求海豚嘴尖出現(xiàn)在陰影部分的概率．∵S長方形ABCD＝30×20＝600(m2)，S長方形A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m2)，∴S陰影部分＝S長方形ABCD－S長方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)，根據(jù)幾何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(184,600)＝eq\f(23,75)≈.[能力提升]1．面積為S的△ABC，D是BC的中點，向△ABC內(nèi)部投一點，那么點落在△ABD內(nèi)的概率為()\f(1,3) \f(1,2)\f(1,4) \f(1,6)【解析】向△ABC內(nèi)部投一點的結果有無限個，屬于幾何概型．設點落在△ABD內(nèi)為事件M，則P(M)＝eq\f(△ABD的面積,△ABC的面