北師版數(shù)學選修4-5講義：第2章§1　柯西不等式

§1柯西不等式1.1簡單形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式1．認識柯西不等式的幾種不同的形式，理解它們的幾何意義，能證明柯西不等式的代數(shù)形式和向量形式．(重點、易混點)2．理解用參數(shù)配方法討論柯西不等式一般情況的過程．(重點難點)3．能利用柯西不等式求特定函數(shù)的最值和進行簡單的證明．(難點)[基礎·初探]教材整理1簡單形式的柯西不等式閱讀教材P27～P28，完成下列問題．1．定理1對任意實數(shù)a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當向量(a，b)與向量(c，d)共線時，等號成立．2．柯西不等式的向量形式設α，β是兩個向量，則|α·β|≤|α||β|，當且僅當β是零向量，或存在實數(shù)k，使α＝kβ時，等號成立．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)不等式(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是柯西不等式．()(2)(a＋b)(c＋d)≥(eq\r(ac)＋eq\r(bd))2，是柯西不等式，其中a，b，c，d為正數(shù)．()(3)在柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2中，a，b，c，d是任意實數(shù)．()【解析】柯西不等式中，四個數(shù)的組合是有對應順序的，故(1)不對，(2)中，a，b，c，d可分別寫成(eq\r(a))2，(eq\r(b))2，(eq\r(c))2，(eq\r(d))2，所以是正確的，(3)正確．【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2一般形式的柯西不等式閱讀教材P29～P30“練習”以上部分，完成下列問題．1．定理2設a1，a2，…，an與b1，b2，…，bn是兩組實數(shù)，則有(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當向量(a1，a2，…，an)與向量(b1，b2，…，bn)共線時，等號成立．2．推論設a1，a2，a3，b1，b2，b3是兩組實數(shù)，則有(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.當向量(a1，a2，a3)與向量(b1，b2，b3)共線時“＝”成立．在一般形式的柯西不等式中，等號成立的條件記為ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以嗎？【解】不可以．若bi＝0而ai≠0，則k不存在．[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]利用柯西不等式證明不等式(1)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求證：|ax＋by|≤1；(2)設a，b，c為正數(shù)，求證：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(a2＋c2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．【精彩點撥】本題考查柯西不等式及證明不等式的基礎知識，考查推理論證能力及代數(shù)式的變式能力．解答本題(1)可逆用柯西不等式，而解答題(2)需將eq\r(a2＋b2)，eq\r(b2＋c2)，eq\r(a2＋c2)增補，使其滿足柯西不等式左邊結構方可應用．【自主解答】(1)|ax＋by|＝eq\r(ax＋by2)≤eq\r(a2＋b2x2＋y2)＝1.(2)由柯西不等式得：eq\r(a2＋b2)·eq\r(12＋12)≥a＋b，即eq\r(2)eq\r(a2＋b2)≥a＋b.同理：eq\r(2)eq\r(b2＋c2)≥b＋c，eq\r(2)eq\r(a2＋c2)≥a＋c.將上面三個同向不等式相加得：eq\r(2)(eq\r(a2＋b2)＋eq\r(a2＋c2)＋eq\r(b2＋c2))≥2(a＋b＋c)，所以eq\r(a2＋b2)＋eq\r(a2＋c2)＋eq\r(b2＋c2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．利用二維柯西不等式的代數(shù)形式證題時，要抓住不等式的基本特征：a2＋b2c2＋d2≥ac＋bd2，其中a，b，c，d∈R或a＋bc＋d≥\r(ac)＋\r(bd)2，其中a，b，c，d為正數(shù).找出待證不等式中相應的兩組數(shù)，當這兩組數(shù)不太容易找時，需分析，增補特別是對數(shù)字的增補：如a＝1×a變形等.[再練一題]1．設a，b，c為正數(shù)，求證：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.【證明】由柯西不等式eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(c))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(a))))\s\up12(2)))[(eq\r(b))2＋(eq\r(c))2＋(eq\r(a))2]≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))·\r(b)＋\f(b,\r(c))·\r(c)＋\f(c,\r(a))·\r(a)))eq\s\up12(2).于是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b)＋\f(b2,c)＋\f(c2,a)))(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.運用柯西不等式求參數(shù)范圍已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝xyz，且不等式eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)≤λ恒成立，求λ的取值范圍.【導學號：94910029】【精彩點撥】“恒成立”問題需求eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)的最大值，設法應用柯西不等式求最值．【自主解答】eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)≤eq\f(1,2\r(xy))＋eq\f(1,2\r(yz))＋eq\f(1,2\r(zx))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1·\r(\f(z,x＋y＋z))＋1·\r(\f(x,x＋y＋z))＋1·\r(\f(y,x＋y＋z))))≤eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋12＋12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z,x＋y＋z)＋\f(x,x＋y＋z)＋\f(y,x＋y＋z)))))eq\s\up12(\f(1,2))＝eq\f(\r(3),2).故參數(shù)λ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，＋∞)).此題也是通過構造轉化應用柯西不等式，由此可見，應用柯西不等式，首先要對不等式形式、條件熟練掌握，然后根據(jù)題目的特點“創(chuàng)造性”應用定理.[再練一題]2．已知實數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，試求a的取值范圍．【解】由柯西不等式得，(2b2＋3c2＋6d2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,6)))≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由條件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，所以實數(shù)a的取值范圍是[1,2]．[探究共研型]利用柯西不等式求最值探究1柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2是如何證明的？【提示】要證(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，只要證a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2，即證b2c2＋a2d2≥2abcd，只要證(bc－ad)2≥0.因為上式顯然成立，故(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.探究2根據(jù)柯西不等式，下列結論成立嗎？(1)(a＋b)(c＋d)≥(eq\r(ac)＋eq\r(bd))2(a，b，c，d為非負實數(shù))；(2)eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；(3)eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．【提示】成立．已知x2＋2y2＋3z2＝eq\f(18,17)，求3x＋2y＋z的最小值．【精彩點撥】利用x2＋2y2＋3z2為定值，構造柯西不等式形式，再利用公式得出范圍，求解最小值．【自主解答】(x2＋2y2＋3z2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(32＋\r(2)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))\s\up12(2)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\r(2)y·\r(2)＋\r(3)z·\f(1,\r(3))))eq\s\up12(2)＝(3x＋2y＋z)2，∴(3x＋2y＋z)2≤(x2＋2y2＋3z2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(32＋\r(2)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))\s\up12(2)))＝12.∵－2eq\r(3)≤3x＋2y＋z≤2eq\r(3)，∴3x＋2y＋z的最小值為－2eq\r(3).利用柯西不等式求最值時，關鍵是對原目標函數(shù)進行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結果.同時，要保證取到等號成立的條件.[再練一題]3．若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值及最小值點．【解】由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥eq\f(4,25).當且僅當eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)時“＝”成立，為求最小值點，需解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝2，,\f(x,3)＝\f(y,4)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6,25)，,y＝\f(8,25).))因此，當x＝eq\f(6,25)，y＝eq\f(8,25)時，x2＋y2取得最小值，最小值為eq\f(4,25)，最小值點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,25)，\f(8,25))).[構建·體系]1．設x，y∈R，且2x＋3y＝13，則x2＋y2的最小值為()A.eq\r(13)B．169C．13D．0【解析】(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.【答案】C2．已知a，b，c大于0，且a＋b＋c＝1，則a2＋b2＋c2的最小值為()A．1 B．4C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)【解析】根據(jù)柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).【答案】C3．已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，t＝ax＋by＋cz，則t的取值范圍是()A．(0,1) B．(－1,1)C．(－1,0) D．[－1,1]【解析】設α＝(a，b，c)，β＝(x，y，z)．∵|α|＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝1，|β|＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝1，由|α||β|≥|α·β|，得|t|≤1.∴t的取值范圍是[－1,1]．【答案】D4．已知x，y＞0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))的最小值為4，則xy＝________.【導學號：94910030】【解析】∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1·1＋\r(\f(1,xy))))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\r(xy))))eq\s\up12(2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\r(