高中數(shù)學(xué)人教A版1第三章空間向量與立體幾何 第三章章末復(fù)習(xí)課

第三章章末復(fù)習(xí)課學(xué)案編號(hào)：GEXX2-1T3-zmfxk題型一空間向量及其運(yùn)算空間向量的運(yùn)算主要包括空間向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算以及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算．空間向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律與平面向量基本一致．例1如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論：①eq\o(SA,\s\up14(→))＋eq\o(SB,\s\up14(→))＋eq\o(SC,\s\up14(→))＋eq\o(SD,\s\up14(→))＝0；②eq\o(SA,\s\up14(→))＋eq\o(SB,\s\up14(→))－eq\o(SC,\s\up14(→))－eq\o(SD,\s\up14(→))＝0；③eq\o(SA,\s\up14(→))－eq\o(SB,\s\up14(→))＋eq\o(SC,\s\up14(→))－eq\o(SD,\s\up14(→))＝0；④eq\o(SA,\s\up14(→))·eq\o(SB,\s\up14(→))＝eq\o(SC,\s\up14(→))·eq\o(SD,\s\up14(→))；⑤eq\o(SA,\s\up14(→))·eq\o(SC,\s\up14(→))＝0，其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．跟蹤1如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1題型二利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系向量作為工具來研究幾何，真正把幾何的形與代數(shù)中的數(shù)實(shí)現(xiàn)了有機(jī)結(jié)合；給立體幾何的研究帶來了極大的便利，利用空間向量可以方便地論證空間中的一些線面位置關(guān)系，如線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直等．用空間向量判斷空間中的位置關(guān)系的常用方法如下．1．線線平行證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量．2．線線垂直證明兩條直線垂直，只需證明兩直線的方向向量垂直，則a⊥b?a·b＝0.3．線面平行用向量證明線面平行的方法主要有①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明可在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與直線的方向向量是共線向量；③利用共面向量定理，即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線向量用直線的方向向量線性表示．4．線面垂直用向量證明線面垂直的方法主要有①證明直線的方向向量與平面的法向量平行；②利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題．5．面面平行①證明兩個(gè)平面的法向量平行(即是共線向量)；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題．6.面面垂直①證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直；②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題．例2如圖，已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，D為AB的中點(diǎn)，AC＝BC＝BB1求證：(1)BC1⊥AB1；(2)BC1∥平面CA1D.跟蹤2如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，且AB⊥BC，(1)證明：A1O⊥平面ABC；(2)求直線A1C與平面A1AB(3)在BC1上是否存在一點(diǎn)E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，說明理由；若存在，確定點(diǎn)E的位置．題型三利用空間向量求空間角1．求異面直線所成的角設(shè)兩異面直線的方向向量分別為n1、n2，那么這兩條異面直線所成的角為θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，∴cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.2．求二面角的大小如圖，設(shè)平面α、β的法向量分別為n1、n2.因?yàn)閮善矫娴姆ㄏ蛄克傻慕?或其補(bǔ)角)就等于平面α、β 所成的銳二面角θ，所以cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.3．求斜線與平面所成的角如圖，設(shè)平面α的法向量為n1，斜線OA的方向向量為n2，斜線OA與平面所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n1，n2〉|.例3如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE與AD的交點(diǎn)，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求證：AM⊥平面EBC；(2)求直線AB與平面EBC所成角的大??；(3)求二面角A—EB—C的大?。?如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE⊥平面BCC1B(1)證明：AB＝AC；(2)設(shè)二面角A—BD—C為60°，求B1C與平面BCD【課堂小結(jié)】空間向量的引入拓展了解決立體幾何問題的思路，我們可以通過建立合理的空間直角坐標(biāo)系，直接利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解，這也是空間幾何體數(shù)字化的一個(gè)特征．章末檢測(cè)一、選擇題1．對(duì)于向量a、b、c和實(shí)數(shù)λ，下列命題中真命題是()A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，則b＝c2．已知平面α和平面β的法向量分別為m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，則()A．α⊥β B．α∥βC．α與β相交但不垂直 D．以上都不對(duì)3．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，則a與b的夾角為()A．0°B．45°C．90°D．180°4.如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則用向量a，b，c可表示向量eq\o(BD1,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)＋b＋c B．a(chǎn)－b＋cC．a(chǎn)＋b－c D．－a＋b＋c5．若平面α的法向量為n，直線l的方向向量為a，直線l與平面α的夾角為θ，則下列關(guān)系式成立的是()A．cosθ＝eq\f(n·a,|n||a|)B．cosθ＝eq\f(|n·a|,|n||a|)C．sinθ＝eq\f(n·a,|n||a|)D．sinθ＝eq\f(|n·a|,|n||a|)6．設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，則△BCD是()A．鈍角三角形B．銳角三角形C．直角三角形 D．不確定7．在以下命題中，不正確的個(gè)數(shù)為 ()①|(zhì)a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件；②對(duì)a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb；③對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，則P，A，B，C四點(diǎn)共面；④|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.A．2B．3C．4D．18.已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是 ()\o(PC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→)) \o(DA,\s\up6(→))與eq\o(PB,\s\up6(→))\o(PD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→)) \o(PA,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))9．設(shè)E，F(xiàn)是正方體AC1的棱AB和D1C1的中點(diǎn)，在正方體的12條面對(duì)角線中，與截面A1ECF成60°角的對(duì)角線的數(shù)目是()A．0B．2C．4D．610.如圖，AB＝AC＝BD＝1，AB?面M，AC⊥面M，BD⊥AB，BD與面M成30°角，則C、D間的距離為()A．1B．2\r(2) \r(3)11．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC、AD的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值為()，A．a(chǎn)2\f(1,2)a2\f(1,4)a2\f(\r(3),4)a212.如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1的夾角是(A．45° B．60°C．90° D．120°二、填空題13．已知P和不共線三點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)共面且對(duì)于空間任一點(diǎn)O，都有eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，則λ＝________.14．已知A(2,1,0)，點(diǎn)B在平面xOz內(nèi)，若直線AB的方向向量是(3，－1,2)則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________．15．平面α的法向量為m＝(1,0，－1)，平面β的法向量為n＝(0，－1,1)，則平面α與平面β所成二面角的大小為______．16.如圖所示，已知二面角α—l—β的平面角為θ(θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))))，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面N內(nèi)，BC在l上，CD在平面M內(nèi)，若AB＝BC＝CD＝1，則AD的長為________．三、解答題17.已知四棱錐P—ABCD的底面是平行四邊形，如圖，M是PC的中點(diǎn)，問向量eq\o(PA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MD,\s\up6(→))是否可以組成一個(gè)基底，并說明理由．18.如圖所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是C1D1AB的中點(diǎn)，E在AA1上且AE＝2EA1，F(xiàn)在CC1上且CF＝eq\f(1,2)FC1，試證明ME∥NF.19.如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1點(diǎn)，CP＝m.試確定m使得直線AP與平面BDD1B1所成角為60°.20.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)