高中數學人教A版1第三章空間向量與立體幾何 第三章章末復習課

第三章章末復習課學案編號：GEXX2-1T3-zmfxk題型一空間向量及其運算空間向量的運算主要包括空間向量的線性運算、數量積運算以及空間向量的坐標運算．空間向量的運算法則、運算律與平面向量基本一致．例1如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結論：①eq\o(SA,\s\up14(→))＋eq\o(SB,\s\up14(→))＋eq\o(SC,\s\up14(→))＋eq\o(SD,\s\up14(→))＝0；②eq\o(SA,\s\up14(→))＋eq\o(SB,\s\up14(→))－eq\o(SC,\s\up14(→))－eq\o(SD,\s\up14(→))＝0；③eq\o(SA,\s\up14(→))－eq\o(SB,\s\up14(→))＋eq\o(SC,\s\up14(→))－eq\o(SD,\s\up14(→))＝0；④eq\o(SA,\s\up14(→))·eq\o(SB,\s\up14(→))＝eq\o(SC,\s\up14(→))·eq\o(SD,\s\up14(→))；⑤eq\o(SA,\s\up14(→))·eq\o(SC,\s\up14(→))＝0，其中正確結論的序號是________．跟蹤1如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1題型二利用空間向量證明空間中的位置關系向量作為工具來研究幾何，真正把幾何的形與代數中的數實現(xiàn)了有機結合；給立體幾何的研究帶來了極大的便利，利用空間向量可以方便地論證空間中的一些線面位置關系，如線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直等．用空間向量判斷空間中的位置關系的常用方法如下．1．線線平行證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量．2．線線垂直證明兩條直線垂直，只需證明兩直線的方向向量垂直，則a⊥b?a·b＝0.3．線面平行用向量證明線面平行的方法主要有①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明可在平面內找到一個向量與直線的方向向量是共線向量；③利用共面向量定理，即證明可在平面內找到兩不共線向量用直線的方向向量線性表示．4．線面垂直用向量證明線面垂直的方法主要有①證明直線的方向向量與平面的法向量平行；②利用線面垂直的判定定理轉化為線線垂直問題．5．面面平行①證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量)；②轉化為線面平行、線線平行問題．6.面面垂直①證明兩個平面的法向量互相垂直；②轉化為線面垂直、線線垂直問題．例2如圖，已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，D為AB的中點，AC＝BC＝BB1求證：(1)BC1⊥AB1；(2)BC1∥平面CA1D.跟蹤2如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，側面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，且AB⊥BC，(1)證明：A1O⊥平面ABC；(2)求直線A1C與平面A1AB(3)在BC1上是否存在一點E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，說明理由；若存在，確定點E的位置．題型三利用空間向量求空間角1．求異面直線所成的角設兩異面直線的方向向量分別為n1、n2，那么這兩條異面直線所成的角為θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，∴cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.2．求二面角的大小如圖，設平面α、β的法向量分別為n1、n2.因為兩平面的法向量所成的角(或其補角)就等于平面α、β 所成的銳二面角θ，所以cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.3．求斜線與平面所成的角如圖，設平面α的法向量為n1，斜線OA的方向向量為n2，斜線OA與平面所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n1，n2〉|.例3如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE與AD的交點，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求證：AM⊥平面EBC；(2)求直線AB與平面EBC所成角的大?。?3)求二面角A—EB—C的大?。?如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分別為AA1、B1C的中點，DE⊥平面BCC1B(1)證明：AB＝AC；(2)設二面角A—BD—C為60°，求B1C與平面BCD【課堂小結】空間向量的引入拓展了解決立體幾何問題的思路，我們可以通過建立合理的空間直角坐標系，直接利用空間向量的坐標運算進行求解，這也是空間幾何體數字化的一個特征．章末檢測一、選擇題1．對于向量a、b、c和實數λ，下列命題中真命題是()A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，則b＝c2．已知平面α和平面β的法向量分別為m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，則()A．α⊥β B．α∥βC．α與β相交但不垂直 D．以上都不對3．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，則a與b的夾角為()A．0°B．45°C．90°D．180°4.如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則用向量a，b，c可表示向量eq\o(BD1,\s\up6(→))等于()A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．－a＋b＋c5．若平面α的法向量為n，直線l的方向向量為a，直線l與平面α的夾角為θ，則下列關系式成立的是()A．cosθ＝eq\f(n·a,|n||a|)B．cosθ＝eq\f(|n·a|,|n||a|)C．sinθ＝eq\f(n·a,|n||a|)D．sinθ＝eq\f(|n·a|,|n||a|)6．設A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，則△BCD是()A．鈍角三角形B．銳角三角形C．直角三角形 D．不確定7．在以下命題中，不正確的個數為 ()①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件；②對a∥b，則存在唯一的實數λ，使a＝λb；③對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，則P，A，B，C四點共面；④|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.A．2B．3C．4D．18.已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數量積不一定為零的是 ()\o(PC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→)) \o(DA,\s\up6(→))與eq\o(PB,\s\up6(→))\o(PD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→)) \o(PA,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))9．設E，F(xiàn)是正方體AC1的棱AB和D1C1的中點，在正方體的12條面對角線中，與截面A1ECF成60°角的對角線的數目是()A．0B．2C．4D．610.如圖，AB＝AC＝BD＝1，AB?面M，AC⊥面M，BD⊥AB，BD與面M成30°角，則C、D間的距離為()A．1B．2\r(2) \r(3)11．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn)分別是BC、AD的中點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值為()，A．a2\f(1,2)a2\f(1,4)a2\f(\r(3),4)a212.如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1的夾角是(A．45° B．60°C．90° D．120°二、填空題13．已知P和不共線三點A，B，C四點共面且對于空間任一點O，都有eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，則λ＝________.14．已知A(2,1,0)，點B在平面xOz內，若直線AB的方向向量是(3，－1,2)則點B的坐標是________．15．平面α的法向量為m＝(1,0，－1)，平面β的法向量為n＝(0，－1,1)，則平面α與平面β所成二面角的大小為______．16.如圖所示，已知二面角α—l—β的平面角為θ(θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))))，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面N內，BC在l上，CD在平面M內，若AB＝BC＝CD＝1，則AD的長為________．三、解答題17.已知四棱錐P—ABCD的底面是平行四邊形，如圖，M是PC的中點，問向量eq\o(PA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MD,\s\up6(→))是否可以組成一個基底，并說明理由．18.如圖所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是C1D1AB的中點，E在AA1上且AE＝2EA1，F(xiàn)在CC1上且CF＝eq\f(1,2)FC1，試證明ME∥NF.19.如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P是側棱CC1點，CP＝m.試確定m使得直線AP與平面BDD1B1所成角為60°.20.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點