高中數(shù)學人教A版第二章數(shù)列等比數(shù)列的前n項和（省一等獎）

教學設計表學科數(shù)學授課年級高二學校登封市實驗高級中學授課教師楊建筑章節(jié)名稱等差數(shù)列的前n項和計劃學時一學時學習內容分析本節(jié)課教學內容是《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學（5）》（人教A版）中“等差數(shù)列的前n項和”。本節(jié)課主要研究如何用“倒序相加法”求等差數(shù)列的前n項和以及該求和公式的應用。等差數(shù)列的前n項和是數(shù)列的重要內容，也是數(shù)列研究的基本問題。在現(xiàn)實生活中，等差數(shù)列的求和是經常遇到的一類問題，等差數(shù)列的求和公式，為我們求等差數(shù)列的前n項和提供了一種重要方法。課文以高斯故事引課，目的是增強學生的好奇心，激發(fā)學生的學習欲望和激情。以問題為紐帶，通過三個問題組織學生討論，由特殊（自然數(shù)的前100項和）到一般（自然數(shù)的前n項和），再到一類（等差數(shù)列的前n項和），循序漸進。通過類比高斯配對求和方法，啟發(fā)學生獨立思考，討論交流，對問題進行層層遞進的探究，使學生從不同的思維角度掌握等差數(shù)列的前n項和公式，從中深刻領會推導過程所蘊涵的邏輯推理方法和數(shù)學思維方法，培養(yǎng)學生思維的深刻性、尖銳性和批判性。等差數(shù)列的前n項和公式，不論是它本身的獲取過程，還是它的證明方法的獲取過程，以及它的證明過程，都是發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論和數(shù)學方法的思維過程，同時在這些過程中還蘊涵了許多重要的數(shù)學思想方法，如“特殊與一般”“歸納與類比”“抽象與概括”等。由此可見，等差數(shù)列的前n項和公式是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的一個極好素材。課文最后通過精選例題，分層次練習，使學生既鞏固了知識，又形成了技能。學習者分析知識基礎：高二年級學生已掌握了函數(shù)、數(shù)列等有關基礎知識，特別是對等差數(shù)列的概念、通項公式及基本性質有相當?shù)恼J識。在小學對高斯的算法也有所了解，這都為倒序相加法的教學提供了必要的基礎，同時學生已有了函數(shù)知識，因此在教學中可適當滲透函數(shù)思想。認知水平與能力：高二學生已具備了解決簡單數(shù)學問題的能力，特別是具有一定的自主探究能力和從特殊到一般的能力，能在教師的引導下獨立地解決問題。但對于倒序相加求和的思想還是初步接觸，需要著重啟發(fā)引導。任教班級學生特點：我班學生基礎知識較扎實、思維較活躍，能夠較好的掌握教材上的內容，大多能夠利用合作探究的方法解決問題。但處理抽象問題的能力還有待進一步提高，特別是對解決問題的新方法，應多用啟發(fā)式教學方法。教學目標課程標準：本節(jié)課學習的主要內容是探索并掌握等差數(shù)列的前n項和以及該求和公式的應用。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模型。等差數(shù)列作為特殊數(shù)列，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用。等差數(shù)列的前n項和是數(shù)列的重要內容。授課時，使用函數(shù)的背景和研究方法去認識、研究數(shù)列及其等差數(shù)列前n項和，讓學生經歷從日常生活中的實際問題抽象出等差數(shù)列和等差數(shù)列前n項和模型的過程，探索并掌握其中的一些基本數(shù)量關系，感受到等差數(shù)列及其求和公式的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題。知識與技能：（1）理解等差數(shù)列前n項和的定義以及等差數(shù)列前n項和公式推導的過程。（2）用方程的思想認識等差數(shù)列前n項和的公式；公式中五個量已知其中三個量求另外兩個量。會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題。過程與方法：（1）通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力；（2）利用以退求進的思維策略，遵循從特殊到一般的認識規(guī)律，讓學生在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導出等差數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)學生的類比思維能力；（3）通過公式從不同角度、不同側面的剖析，培養(yǎng)學生思維的靈活性，提高學生分析問題和解決問題的能力。情感、態(tài)度與價值觀：（1）公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學生受到辯證唯物主義的熏陶；（2）通過公式的運用，使學生養(yǎng)成實事求是，扎實嚴謹?shù)目茖W態(tài)度；（3）通過生動具體的現(xiàn)實問題，令人著迷的數(shù)學家略史，激發(fā)學生探索的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數(shù)學的心理體驗，產生熱愛數(shù)學的情感。教學重點及解決措施教學重點：探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式，學會用公式解決一些實際問題，體會等差數(shù)列前n項和與二次函數(shù)之間的關系。解決措施：根據(jù)教材的內容和編制特點，為了更有效地突出重點，本節(jié)課應采用以教師為主導，學生為主體，師生互動的“互助探究”的教學方法和層層設問“問題驅動”的教學模式。即在教學過程中，在教師的啟發(fā)引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以“等差數(shù)列前n項和”為基本探究內容，讓學生的思維由問題開始，到類比高斯配對發(fā)現(xiàn)“倒序相加法”，得到等差數(shù)列的前n項和公式。突破重點的手段是抓住學生情感的興奮點，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學生大膽猜想，積極探索，以及及時地鼓勵使他們知難而進。另外抓知識選擇的切入點，從學生原有的認知水平和所需的知識特點入手，教師在學生主體下給以適當?shù)奶崾竞椭笇А＝虒W難點及解決措施教學難點：等差數(shù)列前n項和公式推導思路的獲得。解決措施：首先展示高斯算法，使學生明白高斯算法解決了什么問題，如何解決問題，以及解決問題的方法妙處在何處，還有那些不足等等。高斯算法解決的問題是以首項為1公差為1的等差數(shù)列{n}的前100項的和；高斯算法的核心思想是利用了等差數(shù)列的性質，即與首尾等距的兩項和都相等且等于首尾和，再配對解決。但高斯算法與等差數(shù)列求和還有一定的距離。主要體現(xiàn)在高斯算法計算的個數(shù)是有限的（100個）且個數(shù)為偶數(shù)，等差數(shù)列計算的個數(shù)是抽象的數(shù)（n個）且個數(shù)不一定為偶數(shù)，如何解決矛盾，如何巧妙配對，又如何在求和時避免對項數(shù)奇偶性的分類討論呢？這就基本上抽象出“倒序配對相加”的思想方法，從而把所有矛盾化解。教學設計思路建構主義學習理論認為，學習是學生積極主動地建構知識的過程，因此，應該讓學生在具體的問題情境中經歷知識的形成和發(fā)展，讓學生利用自己的原有認知結構中相關的知識與經驗，自主地在教師的引導下促進對新知識的建構。在教學過程中，根據(jù)教學內容，從高斯的算法開始，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n項和的求法，通過設計一些從簡單到復雜，從特殊到一般的問題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學生獲得公式的推導思路，并且充分引導學生展開自主、合作、探究學習，通過生生互動和師生互動等形式，讓學生在問題解決中學會思考，學會學習。依據(jù)的理論建構主義學習理論（以皮亞杰為代表）認為教學應在教師指導下以學習者為中心，強調學習者的主體作用，和教師的主導作用。教師的作用從傳統(tǒng)的傳遞知識的權威轉變?yōu)閷W生學習的輔導者，成為學生學習的高級伙伴或合作者。學生學習和掌握知識途徑不是被動的教師的傳授和機械的記憶，教師應該是學生學習的幫助者和促進者，教師創(chuàng)設情境，引導學生積極主動地參與教學過程。學生以積累的知識經驗為基礎，利用必要的學習資源，借助教師和同學的幫助，不斷學習新知識，通過意義建構將知識內化為新的認知結構。信息技術應用分析知識點學習水平媒體內容與形式使用方式使用效果介紹高斯簡單課件多媒體播放多媒體優(yōu)例題展示一般幻燈片課件多媒體優(yōu)小結，練習展示一般幻燈片多媒體優(yōu)教學過程（可續(xù)頁）教學環(huán)節(jié)教學內容所用時間教師活動學生活動設計意圖一、簡介數(shù)學家高斯數(shù)學史上有一顆光芒四射的巨星，他與阿基米德、牛頓、歐拉齊名，被稱為人類有史以來"最偉大的四位數(shù)學家之一"，他就是18世紀德國著名的數(shù)學家----高斯。高斯11歲時發(fā)現(xiàn)了二項式定理，17歲時發(fā)明了二次互反律，18歲時發(fā)明了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，解決了兩千多年來懸而未決的難題，他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，22歲時以一篇“一元n次方程至少有一根”的論文獲得博士學位，他一生曾用四種不同的方法證明他的這一偉大發(fā)現(xiàn)。2分鐘教師：200多年前，10歲的高斯迅速計算出自然數(shù)1到100的和，你想知道他是怎樣計算呢？讓學生簡單了解數(shù)學家高斯的地位和貢獻，激發(fā)學生的求知欲望和探究熱情。二、探究高斯妙算展示高斯算法1+2+3+…+100＝（1+100）+（2+99）+…+（50+51）＝10150＝50505分鐘問題1：高斯算法解決了數(shù)列一個什么樣的問題？問題2：很棒！高斯的算法非常巧妙！為什么要把1和100,2和99等這樣的數(shù)配對相加呢？問題3：非常棒！高斯算法共配了多少對？學生：和式是首項為1，公差為1的等差數(shù)列{n}的前100項的和。學生：因為他們的和相等，且等于首尾兩項的和。學生：共50對。師生共同探討高斯算法，為新課的講解作鋪墊。三、探究等差數(shù)列前n項和公式設是等差數(shù)列，求它的前n項和，即求解析：+得：（一）。倒序相加法15分鐘教師：受高斯算法的啟發(fā)，對于一般的等差數(shù)列如何求其前n項和？教師：很好！但n為奇數(shù)時這種方法還行嗎？教師：非常好！思考能不能在此基礎上進一步完善，避免對項數(shù)的討論教師：好！根據(jù)剛才的討論，自己試求一下。學生：仿高斯算法可得：…。學生：為避免奇偶的討論可再給出一個等差數(shù)列的和式，并且倒寫，兩個相加即可求得和又可避免分類討論。通過一次一次的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，讓學生自己思考，自己解決，自我完善，這樣有利于他們和智力的發(fā)展。讓學生基本抽象出“倒序相加法”的思想。末項首項末項首項項數(shù)項數(shù)教師：上面的推導方法叫倒序相加法，如何從形式上記住這個公式？學生：學生：第一種形式的記法有三個好處，即便于深刻理解，便于牢固記憶，最重要是便于靈活應用；第二種記法更形象化。四、引導學生得到等差數(shù)列前n項和另一種形式（二）5分鐘教師：等差數(shù)列的通項公式能給出的另一種形式嗎？教師：的兩個表達式有什么不同點又如何使用，并加以比較。學生：學生：公式一是已知首項，末項及項數(shù)求和；公式二是已知首項，公差及項數(shù)求和。共同點是都必須知道首項及項數(shù)。不同點是前者已知的是末項，后者知道的是公差。公式（一）反映了等差數(shù)列的任意第k項與倒數(shù)第k+1項的和等于首項與末項的和這個內在性質。公式（二）反映了等差數(shù)列的前n項和與它的首項、公差之間的關系，而且是關于n的“二次函數(shù)”。體會知識間的聯(lián)系，得到等差數(shù)列前n項和的另一種形式，比較公式間的聯(lián)系。從實際問題中提煉數(shù)學模型在解決問題的過程中運用公式教科書例1。5分鐘教師：請同學們認真閱讀例1，從中提取關鍵信息。引導學生構造等差數(shù)列模型讓學生獨立作出解答，然后讓學生將答案寫在黑板上學生：這是一個數(shù)列問題。學生：這是一個等差數(shù)列的求和問題，且求，選用的是公式（二）。簡解：（萬元）答：從2023--2023年該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元。體驗從實際情景中發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列模型，并運用有關知識解決問題的過程。六、靈活應用公式建立方程或方程組解題教材中例2已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？5分鐘教師：例2中有幾個已知條件，目標是什么？又如何解決呢？教師：如何求呢？教師：請同學們小組討論并派代表在黑板上解答。學生：有3個已知條件，是等差數(shù)列，且，，求要求需要求出。學生：列方程組求。學生：設首項，公差，則：。建立等差數(shù)列前n項和與方程之間的聯(lián)系，根據(jù)已知量，通過解方程或方程組，得出其余未知量，讓學生體會方程的思想在解決數(shù)列問題中的應用，讓學生認識等差數(shù)列前n項和公式是一個關于的方程。七、回顧反思從特殊到一般的研究方法。用倒序相加求等差數(shù)列的前n項和公式。等差數(shù)列前n項和公式及意義。運用方程的思想分析和解決問題。5分鐘教師：回顧和總結本節(jié)學習內容以及掌握的思想方法。學生自己總結小組歸納。學習的思想方法有：從特殊到一般倒序相加函數(shù)與方程的思想組織學生共同反思本節(jié)課的教學內容及思想方法，使學生對等差數(shù)列前n項和有一個完整、清晰、深刻的認識。八、作業(yè)設計作業(yè)：教材46頁習題2.3A組1---4題。備選練習如下：根據(jù)下列條件，求出相應的等差數(shù)列的前n項和（2）（3）。2.在小于100的正整數(shù)中共有多少個數(shù)能被3除余2?這些數(shù)的和是多少？3.等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求通項公式；若，求n。課后思考題：等差數(shù)列的前n項和為，求證是等差數(shù)列，并求其公差。試用求：的值。3分鐘學生：3.（1）由解得由得。分層練習使學生在完成必修教材基本任務的同時，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而實現(xiàn)“以人為本”的教育理念。思考題為了提高學生思維的能力！同時也是對本節(jié)課的升華！課堂教學流程圖公式（二）推導公式（二）推導課題導入公式探究課題導入公式探究例題解析公式運用作業(yè)設計回顧反思例題解析公式運用作業(yè)設計回顧反思教學反思（1）本節(jié)課教學過程的難點在于如何獲得推導公式的“倒序相加法”這一思路。為了突破這一難點，在教學中采用了一問題驅動的教法，設計的三個問題體現(xiàn)了分析、解決問題的一般思路，即從特殊問題的解決中提煉方法，再將此法運用到一般問題的解決。再教學過程中通過教師層層引導、學生的合作學習與自主探究，尤其是借助圖形的直觀性，使學生“倒序相加”思路的獲得水到渠成。（2）新課程要求教師由主導者變成引導者，看重“以學定教”的教育