安徽省淮南四中2023年高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個組合體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1),則該幾何體的體積是()A. B. C. D.2.設(shè)為等差數(shù)列的前項和,若,,則的最小值為()A. B. C. D.3.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則下列說法正確的是()A.的虛部為 B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限C.的共軛復(fù)數(shù) D.4.已知拋物線上一點到焦點的距離為,分別為拋物線與圓上的動點,則的最小值為()A. B. C. D.5.已知雙曲線的實軸長為,離心率為,、分別為雙曲線的左、右焦點,點在雙曲線上運動,若為銳角三角形,則的取值范圍是()A. B. C. D.6.閱讀下面的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,程序運行輸出的結(jié)果是()A.1.1 B.1 C.2.9 D.2.87.為了進一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R,駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗,協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個不同的路口站崗,每個路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種8.有一圓柱狀有蓋鐵皮桶(鐵皮厚度忽略不計),底面直徑為cm,高度為cm,現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球,在能蓋住蓋子的情況下,最多能裝()(附:)A.個 B.個 C.個 D.個9.若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是()A.B.C.D.10.已知定義在上的奇函數(shù)滿足:(其中),且在區(qū)間上是減函數(shù),令,,,則,,的大小關(guān)系(用不等號連接)為()A. B.C. D.11.雙曲線的右焦點為,過點且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點,與雙曲線的其中一個交點為,若,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.12.已知是平面內(nèi)互不相等的兩個非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線在點處的切線方程為______.14.若點為點在平面上的正投影,則記.如圖,在棱長為1的正方體中,記平面為,平面為,點是線段上一動點,.給出下列四個結(jié)論:①為的重心;②;③當時,平面;④當三棱錐的體積最大時,三棱錐外接球的表面積為.其中,所有正確結(jié)論的序號是________________.15.已知向量,滿足,,,則向量在的夾角為______.16.在長方體中,,,,為的中點,則點到平面的距離是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會上,張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲,每輪游戲中張明和王慧各蒙眼擊鼓一次,每個人擊中鼓則得積分100分,沒有擊中鼓則扣積分50分,最終積分以家庭為單位計分.已知張明每次擊中鼓的概率為,王慧每次擊中鼓的概率為;每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響,假設(shè)張明和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.(1)若家庭最終積分超過200分時,這個家庭就可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機,問張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機的概率是多少?(2)張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.(12分)已知函數(shù).⑴當時,求函數(shù)的極值;⑵若存在與函數(shù),的圖象都相切的直線,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)在中,角、、所對的邊分別為、、,角、、的度數(shù)成等差數(shù)列,.(1)若,求的值;(2)求的最大值.20.(12分)如圖,三棱臺的底面是正三角形,平面平面,.(1)求證:;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)的內(nèi)角,,的對邊分別是,,,已知.(1)求角;(2)若,,求的面積.22.(10分)在中,角,,的對邊分別為,,,,,且的面積為.(1)求;(2)求的周長.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體,幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱,從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得,幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱,故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積,即,故選C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體,然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.2、C【解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項公式,判斷出最小時的值,由此求得的最小值.【詳解】依題意,解得,所以.由解得,所以前項和中,前項的和最小,且.故選:C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式的基本量計算,考查等差數(shù)列前項和最值的求法,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡為即可得到答案.【詳解】因為,,,所以的周期為4,故,故的虛部為2,A錯誤;在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,在第二象限,B錯誤;的共軛復(fù)數(shù)為,C錯誤;,D正確.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識,是一道基礎(chǔ)題.4、D【解析】

利用拋物線的定義,求得p的值,由利用兩點間距離公式求得,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),求得,由取得最小值為,求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點在軸上,準線方程,則點到焦點的距離為,則,所以拋物線方程:,設(shè),圓,圓心為,半徑為1,則,當時,取得最小值,最小值為,故選D.【點睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題,涉及到的知識點有拋物線的定義,點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑,二次函數(shù)的最小值,屬于中檔題目.5、A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為,再分別找到為直角三角形的兩種情況,最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得,,所以,從而雙曲線方程為,不妨設(shè)點在雙曲線右支上運動,則,當時,此時,所以,,所以;當軸時,,所以,又為銳角三角形,所以.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用,本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況,即為直角三角形,是一道中檔題.6、C【解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過程,寫出每執(zhí)行一次的運行結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題.【詳解】初始值,第一次循環(huán):,;第二次循環(huán):,;第三次循環(huán):,;第四次循環(huán):,;第五次循環(huán):,;第六次循環(huán):,;第七次循環(huán):,;第九次循環(huán):,;第十次循環(huán):,;所以輸出.故選:C【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運行結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

先將甲、乙兩人看作一個整體,當作一個元素,再將這四個元素分成3個部分,每一個部分至少一個,再將這3部分分配到3個不同的路口,根據(jù)分步計數(shù)原理可得選項.【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個整體,個人變成了4個元素,再把這4個元素分成3部分,每部分至少有1個人,共有種方法,再把這3部分分到3個不同的路口,有種方法,由分步計數(shù)原理,共有種方案。故選:C.【點睛】本題主要考查排列與組合,常常運用捆綁法,插空法,先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題,屬于中檔題.8、C【解析】

計算球心連線形成的正四面體相對棱的距離為cm,得到最上層球面上的點距離桶底最遠為cm,得到不等式,計算得到答案.【詳解】由題意,若要裝更多的球,需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切,且相鄰四個球兩兩相切,這樣,相鄰的四個球的球心連線構(gòu)成棱長為cm的正面體,易求正四面體相對棱的距離為cm,每裝兩個球稱為“一層”,這樣裝層球,則最上層球面上的點距離桶底最遠為cm,若想要蓋上蓋子,則需要滿足,解得,所以最多可以裝層球,即最多可以裝個球.故選:【點睛】本題考查了圓柱和球的綜合問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.9、B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,,在恒成立,在恒成立,,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是,故選B.10、A【解析】因為,所以,即周期為4,因為為奇函數(shù),所以可作一個周期[-2e,2e]示意圖,如圖在(0,1)單調(diào)遞增,因為,因此,選A.點睛:函數(shù)對稱性代數(shù)表示(1)函數(shù)為奇函數(shù),函數(shù)為偶函數(shù)(定義域關(guān)于原點對稱);(2)函數(shù)關(guān)于點對稱,函數(shù)關(guān)于直線對稱,(3)函數(shù)周期為T,則11、D【解析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點,再利用,求出點,因為點在雙曲線上,及,代入整理及得,又已知,即可求出離心率.【詳解】由題意可知,代入得:,代入雙曲線方程整理得:,又因為,即可得到,故選:D.【點睛】本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和向量的坐標運算,離心率問題關(guān)鍵尋求關(guān)于,,的方程或不等式,由此計算雙曲線的離心率或范圍,屬于中檔題.12、C【解析】試題分析:如下圖所示,則,因為與的夾角為,即,所以,設(shè),則,在三角形中,由正弦定理得,所以,所以,故選C.考點:1.向量加減法的幾何意義;2.正弦定理;3.正弦函數(shù)性質(zhì).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

對函數(shù)求導(dǎo),得出在處的一階導(dǎo)數(shù)值,即得出所求切線的斜率,再運用直線的點斜式求出切線的方程.【詳解】令,,所以,又,所求切線方程為,即.故答案為:.【點睛】本題考查運用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在切點處的切線方程,關(guān)鍵在于求出在切點處的導(dǎo)函數(shù)值就是切線的斜率,屬于基礎(chǔ)題.14、①②③【解析】

①點在平面內(nèi)的正投影為點,而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直,所以直線垂直于平面,而為正三角形,可得為正三角形的重心,所以①是正確的;②取的中點,連接,則點在平面的正投影在上,記為,而平面平面,所以,所以②正確;③若設(shè),則由可得,然后對應(yīng)邊成比例,可解,所以③正確;④由于,而的面積是定值,所以當點到平面的距離最大時,三棱錐的體積最大,而當點與點重合時,點到平面的距離最大,此時為棱長為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯誤.【詳解】因為,連接,則有平面平面為正三角形,所以為正三角形的中心,也是的重心,所以①正確;由平面,可知平面平面,記,由,可得平面平面,則,所以②正確;若平面,則,設(shè)由得,易得,由,則,由得,,解得,所以③正確;當與重合時,最大,為棱長為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯誤.故答案為:①②③【點睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關(guān)系,求幾何體的體積,考查空間想象能力和推理能力,屬于難題.15、【解析】

把平方利用數(shù)量積的運算化簡即得解.【詳解】因為,,,所以,∴,∴,因為所以.故答案為:【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運算法則,考查向量的夾角的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.16、【解析】

利用等體積法求解點到平面的距離【詳解】由題在長方體中,,,所以,所以,設(shè)點到平面的距離為,解得故答案為:【點睛】此題考查求點到平面的距離,通過在三棱錐中利用等體積法求解,關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)詳見解析【解析】

(1)要積分超過分,則需兩人共擊中次,或者擊中次,由此利用相互獨立事件概率計算公式,計算出所求概率.(2)求得的所有可能取值,根據(jù)相互獨立事件概率計算公式,計算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題意,當家庭最終積分超過200分時,這個家庭就可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機,所以要想領(lǐng)取一臺全自動洗衣機,則需要這個家庭夫妻倆在兩輪游戲中至少擊中三次鼓.設(shè)事件為“張明第次擊中”,事件為“王慧第次擊中”,,由事件的獨立性和互斥性可得(張明和王慧家庭至少擊中三次鼓),所以張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機的概率是.(2)的所有可能的取值為-200,-50,100,250,400.,,,,.∴的分布列為-200-50100250400∴(分)【點睛】本小題考查概率,分布列,數(shù)學(xué)期望等概率與統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,推理論證能力,數(shù)據(jù)處理,應(yīng)用意識.18、(1)當時,函數(shù)取得極小值為,無極大值;(2)【解析】試題分析:(1),通過求導(dǎo)分析,得函數(shù)取得極小值為,無極大值;(2),所以,通過求導(dǎo)討論,得到的取值范圍是.試題解析:(1)函數(shù)的定義域為當時,,所以所以當時,,當時,,所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,所以當時,函數(shù)取得極小值為,無極大值;(2)設(shè)函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同,則所以所以,代入得:設(shè),則不妨設(shè)則當時,,當時,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,代入可得:設(shè),則對恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,又所以當時,即當時,又當時因此當時,函數(shù)必有零點;即當時,必存在使得成立;即存在使得函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同.又由得:所以單調(diào)遞減,因此所以實數(shù)的取值范圍是.19、(1);(2).【解析】

(1)由角的度數(shù)成等差數(shù)列,得.又.由正弦定理,得,即.由余弦定理,得,即,解得.(2)由正弦定理,得.由,得.所以當,即時,.【方法點睛】解三角形問題基本思想方法:從條件出發(fā),利用正弦定理(或余弦定理)進行代換、轉(zhuǎn)化.逐步化為純粹的邊與邊或角與角的關(guān)系,即考慮如下兩條途徑:①統(tǒng)一成角進行判斷,常用正弦定理及三角恒等變換;②統(tǒng)一成邊進行判斷,常用余弦定理、面積公式等.20、(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)取的中點為,連結(jié),易證四邊形為平行四邊形,即,由于,為的中點,可得到,從而得到,即可證明平面,從而得到;(Ⅱ)易證,,兩兩垂直,以,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,求出平面的一個法向量為,設(shè)與平面所成角為,則,即可得到答案.【詳解】解:(Ⅰ)取的中點為,連結(jié).由是三棱臺得,平面平面,從而.∵,∴,

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