高中數(shù)學(xué)蘇教版1第3章空間向量與立體幾何 市賽獲獎

3.1.2共面向量定理課時(shí)目標(biāo)1.理解共面向量的定義.2.掌握共面向量定理，并能熟練應(yīng)用．1．共面向量的定義：一般地，能________________的向量叫做共面向量．2．共面向量定理：如果兩個向量a、b不共線，那么向量p與向量a、b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得p＝__________.3．共面向量定理的應(yīng)用：(1)空間中任意兩個向量a，b總是共面向量，空間中三個向量a，b，c則不一定共面．(2)空間中四點(diǎn)共面的條件空間點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)，則存在有序?qū)崝?shù)對x、y使得eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，①此為空間共面向量定理，其實(shí)質(zhì)就是平面向量基本定理，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))實(shí)質(zhì)就是面MAB內(nèi)平面向量的一組基底．另外有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，②或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)．③①、②、③均可作為證明四點(diǎn)共面的條件，但是①更為常用．一、填空題1．下列說法中正確的是________．(寫出所有正確的序號)①平面內(nèi)的任意兩個向量都共線；②空間的任意三個向量都不共面；③空間的任意兩個向量都共面；④空間的任意三個向量都共面．2．滿足下列條件，能說明空間不重合的A、B、C三點(diǎn)共線的有________．(寫出所有正確的序號)①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；③eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))；④|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|.3．在下列等式中，使點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C一定共面的是________．(寫出所有符合要求的序號)①eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))；②eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))；③eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0；④eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.4．已知向量a與b不共線，則“a，b，c共面”是“存在兩個非零常數(shù)λ，μ使c＝λa＋μb”的____________條件．5．已知P和不共線三點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)共面且對于空間任一點(diǎn)O，都有eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，則λ＝________.6．三個向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的關(guān)系是________．(填“共面”“不共面”“無法確定是否共面”)．7.在ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→))，M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝____________(用a、b表示)．8.在四面體O-ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．二、解答題9．設(shè)A，B，C及A1，B1，C1分別是異面直線l1，l2上的三點(diǎn)，而M，N，P，Q分別是線段AA1，BA1，BB1，CC1的中點(diǎn)．求證：M、N、P、Q四點(diǎn)共面．10.如圖所示，平行六面體A1B1C1D1-ABCD，M分eq\o(A1C,\s\up6(→))成的比為eq\f(1,2)，N分eq\o(A1D,\s\up6(→))成的比為2，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，試用a、b、c表示eq\o(MN,\s\up6(→)).能力提升11.如圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，則eq\o(B1M,\s\up6(→))＝__________(用a，b，c表示)．12．已知A、B、M三點(diǎn)不共線，對于平面ABM外的任一點(diǎn)O，確定下列各條件下，點(diǎn)P是否與A、B、M一定共面．(1)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))；(2)eq\o(OP,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)).向量共面的充要條件的理解1.空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在實(shí)數(shù)對（x,y），使eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).滿足這個關(guān)系式的點(diǎn)P都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)P都滿足這個關(guān)系式．這個充要條件常用以證明四點(diǎn)共面．2．共面向量的充要條件給出了空間平面的向量表示式，即任意一個空間平面可以由空間一點(diǎn)及兩個不共線的向量表示出來，它既是判斷三個向量是否共面的依據(jù)，又可以把已知共面條件轉(zhuǎn)化為向量式，以便于應(yīng)用向量這一工具．另外，在許多情況下，可以用“若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對于空間任意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1成立，則P、A、B、C四點(diǎn)共面”作為判定空間中四個點(diǎn)共面的依據(jù)．3．共面向量定理知識梳理1．平移到同一平面內(nèi)2．xa＋yb作業(yè)設(shè)計(jì)1．③2．③解析由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))知eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線，又因有一共同的點(diǎn)B，故A、B、C三點(diǎn)共線．3．③解析若有eq\o(MA,\s\up6(→))＝xeq\o(MB,\s\up6(→))＋yeq\o(MC,\s\up6(→))，則M與點(diǎn)A、B、C共面，或者eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))且x＋y＋z＝1，則M與點(diǎn)A、B、C共面，①、②、④不滿足x＋y＋z＝1，③滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＝xeq\o(MB,\s\up6(→))＋yeq\o(MC,\s\up6(→))，故③正確．4．必要不充分解析驗(yàn)證充分性時(shí)，當(dāng)a，b，c共面且a∥c(或b∥c)時(shí)不能成立，不能使λ，μ都非零．5．－2解析P與不共線三點(diǎn)A，B，C共面，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，則x＋y＋z＝1是四點(diǎn)共面的充要條件．6．共面解析因xa－yb，yb－zc，zc－xa也是三個向量，且有zc－xa＝－(yb－zc)－(xa－yb)，所以三向量共面．7．－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,6)b解析eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,3)(－b－a)＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,6)b.\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c9．證明依題意有eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝2eq\o(NP,\s\up6(→)).又∵eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1Q,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))，(*)A，B，C及A1，B1，C1分別共線，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＝2λeq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝ωeq\o(A1B1,\s\up6(→))＝2ωeq\o(NP,\s\up6(→)).代入(*)式得eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(2λeq\o(NM,\s\up6(→))＋2ωeq\o(NP,\s\up6(→)))＝λeq\o(NM,\s\up6(→))＋ωeq\o(NP,\s\up6(→))，∴eq\o(PQ,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))共面．∴M、N、P、Q四點(diǎn)共面．10．解eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1D,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A1A,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,3)(a＋b)＋c＋eq\f(2,3)(－c＋b)＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.11．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c解析eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝c＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋c＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.12．解(1)原式可變形為eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋(eq\o(