高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線(xiàn)與方程 第2章

2．1圓錐曲線(xiàn)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解圓錐曲線(xiàn)的實(shí)際背景.2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出圓錐曲線(xiàn)的過(guò)程.3.掌握橢圓、拋物線(xiàn)的定義和幾何圖形.4.了解雙曲線(xiàn)的定義和幾何圖形．[知識(shí)鏈接]1．若動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2距離之和滿(mǎn)足MF1＋MF2＝F1F2，則動(dòng)點(diǎn)M軌跡是橢圓嗎？答：不是，是線(xiàn)段F1F2.2．若動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2距離之差滿(mǎn)足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，則動(dòng)點(diǎn)M軌跡是什么？答：是雙曲線(xiàn)一支．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．橢圓的定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)．兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．2．雙曲線(xiàn)的定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距．3．拋物線(xiàn)的定義平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l(F不在l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，定點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．4．橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)．要點(diǎn)一橢圓定義的應(yīng)用例1在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sinB，sinA，sinC成等差數(shù)列．(1)頂點(diǎn)A的軌跡是什么？(2)指出軌跡的焦點(diǎn)和焦距．解(1)由sinB，sinA，sinC成等差數(shù)列，得sinB＋sinC＝2sinA．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC.又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，所以點(diǎn)A的軌跡是橢圓(除去直線(xiàn)BC與橢圓的交點(diǎn))．(2)橢圓的焦點(diǎn)為B、C，焦距為10.規(guī)律方法本題求解的關(guān)鍵是把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形邊的關(guān)系，找到點(diǎn)A滿(mǎn)足的條件．注意A、B、C三點(diǎn)要構(gòu)成三角形，軌跡要除去兩點(diǎn)．跟蹤演練1已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內(nèi)一定點(diǎn)B(3,0)，動(dòng)圓M過(guò)B點(diǎn)且與圓A內(nèi)切，求證：圓心M的軌跡是橢圓．證明設(shè)MB＝r.∵圓M與圓A內(nèi)切，圓A的半徑為10，∴兩圓的圓心距MA＝10－r，即MA＋MB＝10(大于A(yíng)B)．∴圓心M的軌跡是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓．要點(diǎn)二雙曲線(xiàn)定義的應(yīng)用例2已知圓C1：(x＋2)2＋y2＝1和圓C2：(x－2)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡．解由已知得，圓C1的圓心C1(－2,0)，半徑r1＝1，圓C2的圓心C2(2,0)，半徑r2＝3.設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r.因?yàn)閯?dòng)圓M與圓C1相外切，所以MC1＝r＋1.①又因?yàn)閯?dòng)圓M與圓C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2，且2<C1C2＝4.所以動(dòng)圓圓心M的軌跡為雙曲線(xiàn)的左支，且除去點(diǎn)(－1,0)．規(guī)律方法設(shè)動(dòng)圓半徑為r，利用動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切得兩個(gè)等式，相減后消去r，得到點(diǎn)M的關(guān)系式．注意到MC2－MC1＝2中沒(méi)有絕對(duì)值，所以軌跡是雙曲線(xiàn)的一支，又圓C1與圓C2相切于點(diǎn)(－1,0)，所以M的軌跡不過(guò)(－1,0)．跟蹤演練2在△ABC中，BC固定，頂點(diǎn)A移動(dòng)．設(shè)BC＝m，且|sinC－sinB|＝eq\f(1,2)sinA，則頂點(diǎn)A的軌跡是什么？解因?yàn)閨sinC－sinB|＝eq\f(1,2)sinA，由正弦定理可得|AB－AC|＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)m，且eq\f(1,2)m<BC，所以點(diǎn)A的軌跡是雙曲線(xiàn)(除去雙曲線(xiàn)與BC的兩交點(diǎn))．要點(diǎn)三拋物線(xiàn)定義的應(yīng)用例3已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)滿(mǎn)足方程2(x－1)2＋2(y－1)2＝(x＋y＋6)2，試確定動(dòng)點(diǎn)M的軌跡．解方程可變形為eq\f(\r(x－12＋y－12),\f(|x＋y＋6|,\r(2)))＝1，∵eq\r(x－12＋y－12)表示點(diǎn)M到點(diǎn)(1,1)的距離，eq\f(|x＋y＋6|,\r(2))表示點(diǎn)M到直線(xiàn)x＋y＋6＝0的距離，又由eq\f(\r(x－12＋y－12),\f(|x＋y＋6|,\r(2)))＝1知點(diǎn)M到定點(diǎn)(1,1)的距離等于點(diǎn)M到直線(xiàn)x＋y＋6＝0的距離．由拋物線(xiàn)的定義知點(diǎn)M的軌跡是拋物線(xiàn)．規(guī)律方法若將方程兩邊展開(kāi)整理，然后通過(guò)方程的特點(diǎn)來(lái)判斷，將很難得到結(jié)果，而利用方程中表達(dá)式的幾何意義，再由拋物線(xiàn)定義，問(wèn)題就變得非常簡(jiǎn)單．跟蹤演練3點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線(xiàn)l：x＝－6的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡為_(kāi)_______．答案拋物線(xiàn)解析將直線(xiàn)l：x＝－6向右平移2個(gè)單位，得直線(xiàn)l′：x＝－4.依題意知，點(diǎn)P到F(4,0)的距離等于點(diǎn)P到l′：x＝－4的距離，可見(jiàn)點(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn)．1．設(shè)定點(diǎn)F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿(mǎn)足條件PF1＋PF2＝a(a>0)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是__________________．答案橢圓或線(xiàn)段或不存在解析當(dāng)a＜6時(shí)，軌跡不存在；當(dāng)a＝6時(shí)，軌跡為線(xiàn)段；當(dāng)a＞6時(shí)，軌跡為橢圓．2．已知△ABC的項(xiàng)點(diǎn)A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線(xiàn)x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡是____________．答案以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支解析如圖，AD＝AE＝＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根據(jù)雙曲線(xiàn)定義，所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支．3．如圖，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)．線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是________________．答案以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓解析∵QA＝QP，∴QO＋QA＝r＞OA.∴點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓．4．到定直線(xiàn)x＝－2的距離比到定點(diǎn)(1,0)的距離大1的點(diǎn)的軌跡是________________．答案以(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析到定點(diǎn)(1,0)和定直線(xiàn)x＝－1的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)．1.一個(gè)平面截一個(gè)圓錐面，當(dāng)平面經(jīng)過(guò)圓錐面的頂點(diǎn)時(shí)，可得到兩條相交直線(xiàn)；當(dāng)平面不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)與圓錐面的軸垂直時(shí)，截得的圖形是一個(gè)圓．改變平面的位置，觀(guān)察截得的圖形變化情況，可得到三種重要的曲線(xiàn)，即橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)，統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)．2．橢圓定義中，常數(shù)>F1F2不可忽視，若常數(shù)<F1F2，則這樣的點(diǎn)不存在；若常數(shù)＝F1F2，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段F1F2.3．雙曲線(xiàn)定義中，若常數(shù)>F1F2，則這樣的點(diǎn)不存在；若常數(shù)＝F1F2，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)．4．拋物線(xiàn)定義中F?l，若F∈l，則點(diǎn)的軌跡是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且垂直于l的直線(xiàn)．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．已知定點(diǎn)F1(－3,0)和F2(3,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足MF1＋MF2＝10，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是________．答案橢圓解析因?yàn)镸F1＋MF2＝10，且10>F1F2，所以動(dòng)點(diǎn)M軌跡是橢圓．2．已知點(diǎn)M(x，y)的坐標(biāo)滿(mǎn)足eq\r(x－12＋y－12)－eq\r(x＋32＋y＋32)＝±4，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是________．答案雙曲線(xiàn)解析點(diǎn)(x，y)到(1,1)點(diǎn)及到(－3，－3)點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為4，而(1,1)與(－3，－3)距離為4eq\r(2)，由定義知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是雙曲線(xiàn)．3．到兩定點(diǎn)F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)M的軌跡是__________．答案兩條射線(xiàn)解析MF1－MF2＝±6，而F1F2＝6，軌跡為兩條射線(xiàn)．4．若點(diǎn)M到F(4,0)的距離比它到直線(xiàn)x＋5＝0的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡表示的曲線(xiàn)是________．答案拋物線(xiàn)解析由題意知M到F的距離與到x＝－4的距離相等，由拋物線(xiàn)定義知，M點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)．5．下列說(shuō)法中正確的有________(填序號(hào))．①已知F1(－6,0)、F2(6,0)，到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于12的點(diǎn)的軌跡是橢圓；②已知F1(－6,0)、F2(6,0)，到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓；③到點(diǎn)F1(－6,0)、F2(6,0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(10，0)到F1、F2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓；④到點(diǎn)F1(－6,0)、F2(6,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓．答案③解析橢圓是到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡，應(yīng)特別注意橢圓的定義的應(yīng)用．①中F1F2＝12，故到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和為常數(shù)12的點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段F1F2.②中點(diǎn)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和8小于F1F2，故這樣的點(diǎn)不存在．③中點(diǎn)M(10,0)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和為eq\r(10＋62＋02)＋eq\r(10－62＋02)＝20>F1F2＝12，故③中點(diǎn)的軌跡是橢圓．④中點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)．故正確的是③.6．△ABC中，若B，C的坐標(biāo)分別是(－2,0)，(2,0)，中線(xiàn)AD的長(zhǎng)度為3，則A點(diǎn)的軌跡方程是________________________________________________________________________．答案x2＋y2＝9(y≠0)解析∵B(－2,0)，C(2,0)，∴BC的中點(diǎn)為D(0,0)．設(shè)A(x，y)，又∵AD＝3，∴eq\r(x2＋y2)＝3(y≠0)，∴A點(diǎn)的軌跡方程是x2＋y2＝9(y≠0)．7．已知?jiǎng)訄AM過(guò)定點(diǎn)A(－3,0)，并且在定圓B：(x－3)2＋y2＝64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，判斷動(dòng)圓圓心M的軌跡．解設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r.因?yàn)閯?dòng)圓M與定圓B內(nèi)切，所以MB＝8－r.又動(dòng)圓M過(guò)定點(diǎn)A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故動(dòng)圓圓心M的軌跡是橢圓．二、能力提升8．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程5eq\r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是__________．答案拋物線(xiàn)解析把軌跡方程5eq\r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|寫(xiě)成eq\r(x2＋y2)＝eq\f(|3x＋4y－12|,5).∴動(dòng)點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)3x＋4y－12＝0的距離相等．∴點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線(xiàn)3x＋4y－12＝0為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)．9．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)P到直線(xiàn)BC與直線(xiàn)C1D1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是__________．答案拋物線(xiàn)的一部分解析點(diǎn)P到直線(xiàn)C1D1的距離就是點(diǎn)P到點(diǎn)C1的距離，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)BC與到點(diǎn)C1的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是拋物線(xiàn)的一部分．10．已知點(diǎn)A(－1,0)、B(1,0)．曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P滿(mǎn)足eq\o(PA,\s\up6(→))2－eq\o(PB,\s\up6(→))2＝4(|eq\o(PA,\s\up6(→))|－|eq\o(PB,\s\up6(→))|)≠0.則曲線(xiàn)C的軌跡是______．答案橢圓解析由eq\o(PA,\s\up6(→))2－eq\o(PB,\s\up6(→))2＝4(|eq\o(PA,\s\up6(→))|－|eq\o(PB,\s\up6(→))|)≠0，得|eq\o(PA,\s\up6(→))|＋|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝4，且4>AB.故曲線(xiàn)C的軌跡是橢圓．11．已知?jiǎng)訄A與圓C：(x＋2)2＋y2＝2相內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn)A(2,0)，求動(dòng)圓圓心M的軌跡．解設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，∵圓C與圓M內(nèi)切，點(diǎn)A在圓C外，∴MC＝r－eq\r(2)，MA＝r，∴MA－MC＝eq\r(2)，又∵AC＝4>eq\r(2)，∴點(diǎn)M的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支．12．如圖所示，已知點(diǎn)P為圓R：(x＋c)2＋y2＝4a2上一動(dòng)點(diǎn)，Q(c,0)為定點(diǎn)(c>a>0，為常數(shù))，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求線(xiàn)段PQ的垂直