高中數(shù)學蘇教版第三章不等式不等關(guān)系 校賽得獎

不等關(guān)系

江蘇省蘇州實驗中學

教材分析：

不等式是刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的數(shù)學模型，是解決許多實際問題的重要工具.將在學生已有認知的基礎(chǔ)上，進一步對不等式進行研究，學會用不等式解決有關(guān)問題，從中感受數(shù)學的價值.本節(jié)課作為起始課，應(yīng)努力通過具體情境，讓學生感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的數(shù)量關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景，并能通過對實際背景的分析、概況與抽象，建立不等式模型，為后續(xù)運用數(shù)學的方法研究不等式模型提供基礎(chǔ).

學情分析：

在本章學習之前，學生已有了不等式的一些初步認識，能比較兩數(shù)的大小，已具備研究不等式的一些基礎(chǔ)技能與方法，如解一元一次不等式（組），本節(jié)的學習就是在此學情基礎(chǔ)上，進一步讓學生系統(tǒng)感受不等關(guān)系的存在，能準確地根據(jù)實際背景建立不等式模型.

教學目標：

1.通過具體情景，感受日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景；

2.根據(jù)實際背景學會列出不等關(guān)系及使用不等關(guān)系解決具體問題；

3.通過自主發(fā)現(xiàn)、小組討論、合作探究等學習方式，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和邏輯推理能力.

教學重點與難點：

重點：通過具體情景，建立不等式模型；

難點：用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系.

學法與教學用具：

學法：合作探究

教學用具：多媒體、實物投影儀

教學過程：

一.情境設(shè)置

“我們欣賞數(shù)學，我們需要數(shù)學.”——陳省身

(展示第一幅圖片:

蘇州“東方之門”)(直觀不等)

師：看到這幅圖有什么直觀感受呢？

生：感受到“會當凌絕頂，一覽眾樓小”，看到了樓房的高低不等.

(展示第二幅圖片：身高體重真的一樣嗎？)（思考不等）

師：這兩個武警身高、體重真的完全一樣嗎？

生：要是精確到毫米級，甚至納米級，那么兩個人的身高是不一樣的.

師：很好！說明在現(xiàn)實生活中“相等是相對的，不等是絕對的！”不等現(xiàn)象普遍存在于我們生活之中.

(展示第三幅圖片：中國古代運用“不等”現(xiàn)象與杠桿原理制作的器械.)(運用不等）

師：我們的祖先就已經(jīng)智慧地將不等關(guān)系和杠桿原理運用到生活中去了，制作了方便于生活的器械（如搗谷用的“婁”和提水用的“桔槔”）.

上面三幅圖，我們一起經(jīng)歷了“直觀不等現(xiàn)象——思考不等關(guān)系——運用不等關(guān)系”，這就是我們學習“不等關(guān)系”的原因.

【評注】情境設(shè)置中蘊含著研究問題的視角，即從實際情境中抽象出數(shù)學模型，通過思考和研究模型后，進而應(yīng)用模型的過程.另外，本環(huán)節(jié)的數(shù)學文化滲透也能彰顯數(shù)學的哲學思考與應(yīng)用價值，從生活現(xiàn)象入手，讓學生認識到學習“不等關(guān)系”的理性需求和生活價值.

二．數(shù)學活動

活動1：類比遷移，形成程式

師：我們已經(jīng)學習過很多相等關(guān)系，能根據(jù)相應(yīng)的等量關(guān)系列出方程（組），同樣的道理，我們也能夠根據(jù)某些不等關(guān)系列出不等式（組）.

問題1：現(xiàn)實中“不等關(guān)系”如何數(shù)學化？

●完成下列填空，并歸納出將不等關(guān)系數(shù)學化的基本步驟.

(1)我國《道路交通安全法》第91條明文規(guī)定：血液酒精c含量超過20mg/ml但不足80mg/ml的為酒駕，達到或超過80mg/ml的為醉駕.

“不等”意義詞語：

數(shù)學表達式：

(2)某品牌乳飲料的質(zhì)量檢查規(guī)定，乳飲料中脂肪的含量m應(yīng)不少于%，蛋白質(zhì)的含量n應(yīng)不少于%.

“不等”意義詞語：

數(shù)學表達式：

(3)設(shè)點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點，則不大于AB.

“不等”意義詞語：

數(shù)學表達式：

●總結(jié)思維過程，形成思維程式

【評注】首先，從“相等關(guān)系”建構(gòu)方程（組）的經(jīng)驗出發(fā)，類比到通過“不等關(guān)系”建構(gòu)不等式（組），自然地讓學生在兩類“同構(gòu)”知識中進行同化的心理活動，實際上，“相等”中相關(guān)性質(zhì)、研究方法是研究“不等”的先行組織者.設(shè)置了通過生活情境（自然語言）向數(shù)學表達式（符號語言）的轉(zhuǎn)化過程，這是本節(jié)課的教學目標之一，通過簡單的實例幫助學生形成較為清晰完整的思維程式，為后面學習中的思維活動提供準備.

為了更系統(tǒng)地研究不等關(guān)系，需要研究一些基本的“不等模型”.

問題2：有哪些基本的“不等模型”呢？

活動2：故事串聯(lián)，探求模型

春暖花開，適宜踏青，我們開啟一段“踏青之旅”：

情境1：班級打算周末組織同學去蘇州上方山公園踏青，已知門票為每位50元，40人以上（含40人）時可以打8折，經(jīng)統(tǒng)計參加人數(shù)不足40人.

現(xiàn)在有兩種購票方式：

一是按照40人購團體票，

二是按照實際人數(shù)購票;

哪種購票方式花費更少？(只列式不求解）

教師引導分析與示范：

票價人數(shù)

50<40

50×≥40

（1）實際問題抽取信息：

（2）解決什么問題？

更“少”所指對象：團體票總價與個體票總價；

若前者更“少”，則得到數(shù)量關(guān)系：團體票總價＜個體票總價；

（3）將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為表達式：

解：設(shè)實際參加人數(shù)為x（x<40，x∈N*）人

50××40<50x

（一元一次不等式模型）

情境2：買好票進了公園，管理員又給大家出了一個問題：

公園若以每人50元的價格出售門票，每周約有游客2萬人，經(jīng)過調(diào)查，如果采取促銷方案，價格每降低1元，游客數(shù)則會增加1000

人，若門票降低了x（x∈N*）元，要使公園的門票收入大于120萬元，x應(yīng)定在什么范圍內(nèi)？

采取小組討論，著重探究過程：

（1）找

量：票價

人數(shù)

50

20000

50－x

20000+1000x

（2）找關(guān)系：總收入＞120

萬元

（3）列

式：（50－x）（20000＋1000x）＞1200000

（一元二次不等式模型）

情境3：游玩了半天后，來到公園餐廳，能否幫廚師解決這個問題呢？

公園的綠色餐廳營養(yǎng)快餐由甲、乙和丙三種食物混合而成（維生素含量如下表）。

維生素A（單位/kg）維生素B（單位/kg）總重量（kg）

甲300700x

乙500100y

丙300300z

廚師現(xiàn)在欲將三種食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含35000單位的維生素A以及40000單位的維生素B，設(shè)甲、乙、丙各有xkg、ykg、zkg，那么x，y應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？

師生共同探究：

（1）認真閱讀文本信息和表格信息，讀懂問題，弄清題意.

（2）找關(guān)系：（不要忽略實際問題的隱含條件）

總重量=100

維生素A的含量≥35000

維生素B的含量≥40000

（3）列式：

（二元一次不等式組模型）

【評注】通過一個“踏青”故事串聯(lián)了蘇教版教材中的三個引例，貼近學生生活實際，是對教材的加工運用（有時這樣的加工可使文本理解變得簡單流暢）；在教學中分別采用了“教師引導與示范”、“學生小組討論”、“師生共同探究”等教學方法加以處理，主要是根據(jù)實際問題的難易程度和學生認知基礎(chǔ)進行選擇.另外，本環(huán)節(jié)主要是建立模型，不需要對模型進行求解.

三．數(shù)學應(yīng)用

例1：（蘇教版P74練習5）已知bg糖水中有ag(b>a>0)，若再添加mg糖（m>0)，則糖水變甜了.試根據(jù)這個事實寫出所滿足的不等關(guān)系.

學生自主分析：

生活常識：“變甜”即糖的濃度變大

添加后的濃度>之前的濃度

數(shù)學表達：

問題3：有了不等模型，如何用數(shù)學的眼光來研究他們呢？

問題在本例中如何從數(shù)學的角度證實結(jié)論的準確性呢？

師生活動

點評：“作差法”是研究不等式大小關(guān)系的基本方法.

【評注】在建模后，應(yīng)讓學生清楚接下去的學習方向是如何數(shù)學地研究“模型”，由此讓學生體會學習的歷程：感受模型——建構(gòu)模型——研究模型——應(yīng)用模型，這是本章的學習過程，應(yīng)在起始課中有所體現(xiàn)，讓學生明白本章如何進行學習.

四．課堂訓練

（1）某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產(chǎn)的要求，600mm

鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍.寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.

(2)在圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE，連結(jié)AD、BD.試利用這個圖形，比較與的大小.