第三課時、函數的單調性和最大小值

------函數的單調性書寫單調區(qū)間時，注意區(qū)間端點的寫法。對于某一個點而言，由于它的函數值是一個確定的常數，無單調性可言，因此在寫單調區(qū)間時，可以包括端點，也可以不包括端點。但對于某些不在定義域內的區(qū)間端點，書寫時就必須去掉端點。單調區(qū)間之間必須用“，”隔開，或者用“和”連接，但千萬不能用“∪”連接，也不能用“或”，“且”連接。例2.指出下列函數的單調區(qū)間：

解：無單調減區(qū)間

無單調增區(qū)間歸納：函數的單調性k>0k<0yox22o4yx歸納：函數的單調性_______;_______.例2.指出下列函數的單調區(qū)間：xyy=-x2+21-1122-1-2-2O思考2：函數的單調區(qū)間呢？

思考1：函數的單調區(qū)間呢？解：的對稱軸為練習：判斷函數的單調區(qū)間。xy21o單調遞增區(qū)間：單調遞減區(qū)間：成果運用若二次函數

在區(qū)間

上單調遞增，求a的取值范圍。

oxy1xy1o解：二次函數的對稱軸為,由圖象可知只要，即即可.

若二次函數的單調增區(qū)間是,則a的取值情況是（）

變式1變式2請你說出一個單調減區(qū)間是的二次函數變式3請你說出一個在上單調遞減的函數A.B.C.D.

討論函數在(-2,2)內的單調性.變式4解：f(x)的開頭方向向上，對稱軸是x=a，（1）當a≤-2時，f(x)在(-2,2)單調遞增；（2）當-2<a<2時，f(x)在(-2,2)沒有單調性，但是f(x)在（-2,a）單調遞減，在(a,2)單調遞增；（3）當a>2時，f(x)在(-2,2)單調遞減。變式5討論函數f(x)=x2-2x+3在區(qū)間(a,a+3)上的單調性。例3.指出下列函數的單調區(qū)間：xyO思考1：思考2：函數的單調區(qū)間是什么？

的單調增區(qū)間是

歸納：在和上的單調性？_____________,解：沒有單調增區(qū)間的單調區(qū)間，，證明：函數f(x)=1/x在(0，+∞)上是減函數。證明：設x1,x2是(0，+∞)上任意兩個實數，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0所以f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2)因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是減函數。取值定號變形作差下結論3．證明函數單調性的方法步驟

利用定義證明函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性的一般步驟：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③變形（通常是因式分解和配方）；④定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；⑤下結論（即指出函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性）．

例4、物理學中的玻意耳定律告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大。試用函數的單調性證明之。證明：根據單調性的定義，設V1，V2是定義域(0，+∞)上的任意兩個實數，且V1<V2，則由V1，V2∈

(0，+∞)得V1V2>0,由V1<V2，得V2-V1>0又k>0,于是

所以，函數是減函數.也就是說，當體積V減少時，壓強p將增大.取值定號變形作差結論?判斷函數在區(qū)間(0,1)上的單調性.解:設則f(x1)－f(x2)∵0＜x1＜x2＜1,∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,∴

f(x1)－f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2).故此函數在(0,1)上是減函數.例：已知函數f(x)是定義在（-∞，+∞）上的單調增函數，解不等式f(2x)<f(1+x)

例：已知函數f(x)是定義在（-1，1）上的單調增函數，解不等式f(2x)<f(1+x)

1.已知函數f(x)是定義在[-1,2)上的增函數，若f(a-1)>f(1-3a)，求實數a的取值范圍。

是定義在R上的單調函數，且的圖象過點A（0，2）和B（3，0）（1）解不等式（2）求適合的的取值范圍三、歸納小結1.函數的單調性的判定、證明和單調區(qū)間的確定：函數的單調性一般是先根據圖象判斷，再利用定義證明．求函數的單調區(qū)間時必須要注意函數的定義域，單調性的證明一般分五步：取值→作差→變形→定號→下結論2.直接利用初等函數的單調區(qū)間。------函數的最大（?。┲迪铝袃蓚€函數的圖象：圖1ox0xMyyxox0圖2M觀察觀察這兩個函數圖象，圖中有個最高點，那么這個最高點的縱坐標叫什么呢？思考設函數y=f(x)圖象上最高點的縱坐標為M，則對函數定義域內任意自變量x，f(x)與M的大小關系如何？思考f(x)≤M?(0)=1O122、存在0，使得?(0)=1.1、對任意的都有?(x)≤1.1是此函數的最大值知識要點M是函數y=f(x)的最大值（maximumvalue）：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在，使得.一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果實數M滿足：（1）對于任意的的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在 ，使得，那么我們稱M是函數y=f(x)的最小值（minimunvalue）.能否仿照函數的最大值的定義，給出函數y=f(x)的最小值的定義呢？思考2.函數最大（?。┲祽撌撬泻瘮抵抵凶畲螅ㄐ。┑模磳τ谌我獾膞∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

注意：1.函數最大（?。┲凳紫葢撌悄骋粋€函數值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；3.最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。探究:函數單調性與函數的最值的關系（1）若函數y=f(x)在區(qū)間[m，n](m<n)上單調遞增，則函數y=f(x)的最值是什么？Oxy當x=m時，f(x)有最小值f(m)，當x=n時,f(x)有最大值f(n).(2)若函數y=f(x)在區(qū)間[m，n]上單調遞減，則函數y=f(x)的最值是什么？Oxy當x=m時，f(x)有最大值f(m)，當x=n時，f(x)有最小值f(n).(3)若函數則函數y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的最值是什么？Oxy最大值f(l)=h，有最小值f(m),f(n)中較小者.例3

“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂.如果在距地面高度hm與時間ts之間的關系為:h(t)=-4.9t2+14.7t+18

，那么煙花沖出后什么時候是它的爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少（精確到1m）解：作出函數h(t)=-4.9t2+14.7t+18的圖象(如圖).顯然，函數圖象的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標就是這時距地面的高度.

由于二次函數的知識，對于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我們有:

于是，煙花沖出后1.5秒是它爆裂的最佳時刻,這時距地面的高度為29m.例3

求函數在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

解：設x1,x2是區(qū)間[2,6]上的任意兩個實數，且x1<x2,則由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是所以，函數是區(qū)間[2,6]上的減函數.

因此,函數在區(qū)間[2,6]上的兩個端點上分別取得最大值和最小值，即在點x=2時取最大值，最大值是2，在x=6時取最小值，最小值為0.4.（二）判斷函數的最大(小)值的方法

1.利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大(小)值

2.利用圖象求函數的最大(小)值

3.利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值

如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，則函數y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b)

；

如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

例3寫出函數的單調區(qū)間，并求出最值。例4已知二次函數（1）當