數(shù)理統(tǒng)計茆詩松第二章自測題

.《數(shù)理統(tǒng)計》第二章自測題時間：120分鐘，卷面分值：100分一、填空題：（每題2分，共10分） 得分設(shè)總體X服從參數(shù)為人的泊松分布，％,X2,…，xn是取自乂的隨機樣本，其均值和方差分別為X和S2，如果M=aX+（2-3a）S2是人的無偏估計，則a=。Ie-（x-0）,x>0,,Xn為來自該總體的一D?)=4D(0)。如果1 22.設(shè)總體X的密度函數(shù)為f（x，0）,Xn為來自該總體的一D?)=4D(0)。如果1 2個簡單隨機樣本，則參數(shù)0的矩估計量為。已知0,0為未知參數(shù)0的兩個無偏估計，且0與0不相關(guān)12 1 20=a0+疳也是0的無偏估計，且是0,0的所有同類型線性組合中方差最小的，則3 1 2 1 2a=，b=°設(shè)X是在一次隨機試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，進(jìn)行7n次試驗得一組樣本％,X2,…，Xn，其中事件A發(fā)生了k次，則事件A發(fā)生的概率為p，「的最大似然估計為；p（1-p）的矩估計為。設(shè)總體'「Ze）!*均為未知參數(shù)，""■ '：：：為來自總體X的一個樣本,當(dāng)用*"任如*-u? 作為I」的估計時，最有效的是 二、選擇題：（每題3分，共24分） 得分設(shè)總體X服從［a,b］（a<b）上的均勻分布，a、b均為未知參數(shù)，「…" 為來自總體X的一個樣本，則"的最大似然估計量為（）TOC\o"1-5"\h\zr「if.i,.1.艾I"I- . r「11i「|節(jié) .（A） ' :u' （B） ,（C）"3- （D）—設(shè)總體X的概率分布為X0123PP0220(1-0)021-20其中0（0<0<1/2）是未知參數(shù)，從總體X中抽取容量為8的一組樣本，其樣本值為3,1，3,0，3，1，2，3，則參數(shù)

TOC\o"1-5"\h\z°的矩估計值為( )。(A)1/3；(B)1/4；(C)1/2；(D)1/8。設(shè)目和目是總體參數(shù)。的兩個估計量，說目比目更有效，是指( )。1 2 1 2(A)E(0)=E(°)=0,且°<0； (B)E(0)<E(°)；1 2 1 2 1 2(C)D(0)<D(0) ； (D)E(0)=E(0)=0,且D(0)<D(0)。1 2 12 12設(shè)X「Xy…,X是來自總體X的樣本，D(X)=O2,?上和S2=￡(X二如2，分別為樣i=1本均值和樣本方差，則()。(A)S是:】的無偏估計 (B)S是:】的最大似然估計(C)S是:，的相合估計 (D)S與"'?相互獨立TOC\o"1-5"\h\zv liE =q設(shè)'同時滿足.? 則下列結(jié)論正確的是匕是e的有效的計量 心丫占是。的無偏估計量(A) (B)(C)mMl'.匚 (D)A和C同時正確6.E(X)=u，D(X)=O2，則可以作為。2的無偏估設(shè)X1，X2,…,6.E(X)=u，D(X)=O2，則可以作為。2的無偏估的是( )。(A)當(dāng)(A)當(dāng)u為已知時，￡(Xi~R)2

ni=1(B)當(dāng)u為已知時，￡(Xi~R)2

n一1

i=1(C)當(dāng)u(C)當(dāng)u為未知時，￡(Xf)2；ni=1△(D)當(dāng)u為未知時，￡(X-HA。n—1i=17.設(shè)0是參數(shù)0的無偏估計量，且D(0)>0，則02|( )是02的無偏估計量。(A)一定； (B)不一定；(C)一定不； (D)可能。設(shè)用普通的最小二乘方法去估計線性模型，E[X]=M",要使得參數(shù)估計為最好線性無偏估計需要滿足()(A)M列滿秩，Var(X)=?,V(V對稱的正定陣) (B)Var(X)=*(I單位矩陣)(C)M列滿秩，Var(X)=『；(I單位矩陣) (D)0)和(C)都對三、判斷題：(每題1.5分，共15分) 得分( )設(shè)總體X~N(,2)， , 2均未知，X],X2,…，Xn是來自乂的樣本，貝S2=￡(圣一又)2是2的UMVUEoni=1( )未知參數(shù)的矩估計量和最大似然估計量都是無偏估計量。( )對C-R正則族，一致最小方差無偏估計一定是有效估計。( )用最大似然估計法求出的估計量是不唯一的。( )用矩估計法和最大似然估計法求出的估計量一定不同。

((）未知參數(shù)的無偏估計為相合估計。((）費希爾信息量總是存在的。( )對C-R正則族，無偏估計的方差下界可以任意小。( )參數(shù)的一致最小方差無偏估計必然為完備充分統(tǒng)計量的函數(shù)。( )在貝葉斯統(tǒng)計中，對給定的總體，參數(shù)是隨機的；參數(shù)估計由先驗信息決定。四、計算題(共51分)6丫c k(?！獂),0<X<0,(8分)設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x,0)=<03' ' 其中參數(shù)0>0未、0, 其它，知，設(shè)％,X2,…，Xn是來自總體X的樣本，求0的矩估計量0,計算0的方差D(0)，并< 討論0的無偏性。 得分[2e—2(x-0),x>0,(12分)設(shè)總體X的概率密度為f(x;0)=〈八 八其中參數(shù)>0為未知，從[0,x<0,總體中抽取樣本X],X2,…，Xn，其樣本觀察值為X],X2,…，xn，求參數(shù)的最大似然估計0；討論0是否具有無偏性；若0不是的無偏估計量，修正它，并由此指出的一個無偏量估計0。討論0是否具有相合性； 得分(6分)一個人重復(fù)的向同一目標(biāo)射擊，設(shè)他每次擊中目標(biāo)的概率為P，射擊直至命中目標(biāo)為止。此人進(jìn)行了n(n1)輪這樣的射擊，各輪射擊的次數(shù)分別為％,%,...,%，試求命中率P的矩估計值和最大似然估計值。 得分(11)設(shè)％,X2,…，Xn是來自Gag的樣本,已知.其密度函數(shù)為;p(x;a,入)= xa-ie-況， x>0.r(a)i試求參數(shù)的UMVUE，并判斷是否為有效估計。(8)設(shè)總體為均勻分布U(；L。-】)，」的先驗分布為均勻分布U(10,16)，現(xiàn)有三個觀測值:11.7,12.1,12.(1)求I)的后驗分布(2)求貝葉斯估計以及方差。rex=梆(6)對線性模型｛ H,其中M為列滿秩陣，I為單位矩陣，使用普通最小二乘方[Var(X)=b2I法計算參數(shù)P的估計以及方差，并判斷最小二乘估計是否是無偏的？《數(shù)理統(tǒng)計》第二章自測題參考答案一、填空題：1；2.X-1；3.a=0.2,b=0.8；4.'，'；，?*「「，一，'ni：：l<"-i"；5.了^2【提示】1.因為E(X)=D(X)=人，故E(X)=E(S2)=X，又eQ)=X，即E(aX+(2-3a)S2)=a人+(2-3a)X=人，解得a=1。2TOC\o"1-5"\h\z3.由題意a，b應(yīng)使得E(0)=0且D(9)達(dá)到最小。已知E(0)=E(0)=0，3 3 1 2Cov(0,0)=0，E(0)=aE(0)+bE(0)=(a+b)0=0na+b=1，b=1-a，1 2 3 1 2D(0)=a2D(0)+b2D(0)+2cov(0,0)=(4a2+(1-a)2)D(0)=(5a2-2a+1)D(0)3 1 2 12 1 2令f(a)=5a2-2a+1，求f(a)的最小值點為a=0.2,則b=0.8。八1寸“k4.因為X服從兩點分布，則E(X)=p，矩估計值p=-￡X〔=—,代入p(1-p)可得其矩估i=1計。設(shè)(X],x2，...,xn)是X的一組樣本觀察值，則p的似然函數(shù)為L(P)=Hpx(1-p)f=pi=j(1-p)"i=?=Pk(1-P)n-k，i=1兩邊取自然對數(shù)為InL(p)=kInp+(n-k)ln(1-p)，令'p)=0，得似然估計值為dpp=-，由最大似然估計的不變性，可得；?「的最大似然估計為3二「「n5.土"』一"一.小……—一二、選擇題：1.(B)；2.(B)；3.(D)；4.(C)；5.(C)6.(A)；7.(C)；8.(C)【提示】a2=minX.ft^—[maxX.]易得a和b的最大似然估計分別為 「-?■??...，再由最大似然估計的不變性可得。E(X)=3—40，故宿=^―^。代入樣本均值的觀察值無二2，得普=1。4 424.S2是：的無偏估計，但S不是如勺無偏估計；(n-1)/nS2是；的最大似然估計，所以、'.??f是''的最大似然估計；只有當(dāng)總體是正態(tài)分布時，才有S與了相互獨立。6.76.7.=1￡E(X一口)2=-?n。2=b2。EG)=DG)+EG)=DG)+02〉02。三、判斷題：1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. ；【提示】對C-R正則族，有效估計一定是一致最小方差無偏估計，但反過來，由于UMVUE的方差不一定能達(dá)到C-R下界，所以UMVUE不一定是有效估計。設(shè)％,X2,…，xn為來自總體U(0,0+1)的一個樣本，其中參數(shù)0未知，似然函數(shù)為睥)睥)=c耕e)=);:i=1 L0<X:X::x<0+1,12其他,n要使L要使L(0)=1，須滿足0<minx,1<i<n.maxx<0+1，所以，，maxx-1<0<minx，1<i<n. 1<i<n‘ 1<i<n‘即滿足maxX即滿足maxX-1<g(X:X:1<i<n1 1 2:X)<minX的統(tǒng)計量g(X:X:n i 1 21<z<n:X)都是0的最大似然估計量。10.貝葉斯統(tǒng)計中，參數(shù)確實是隨機的，但是參數(shù)值也是由先驗信息和?樣本信息同時決定的。四、計算題1.【解】因為E(X)=』 X dx=—:所以萬=X，0的矩估計量為0=2X。0 03 2 24D(X)D(e)=4D(X)=———nrA6X3(9—x), 3。2 02因為E(X2)=j°。*_2卜布，所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=-,02D(0) ，又E(0)=2E(X)=。，所以是無偏的。5n【解】⑴似然函數(shù)為睥)=Hf(X；0)=rZ"國氣>。'VO…七品

i i=1，=1 〔 0' 其他，當(dāng)X1>,x2>,…，xn>時，L()>0,取對數(shù)，得 …lnL(0)=nln2—2乎x+2n0,i=1因為dInL(0)因為dInL(0)d02n>0,以L()單調(diào)增加，因此越大，L()越大，但<x1,x2,…,%，故取的最大似然估計值為0=mg/%,'xn)，于是的最大似然估計量為q一0=min(X1,X2, ,X)。(2)設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)=Xf(2)設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)=Xf(t)dt=1—e—2(x—0),.0,x>0,

x<0'—3Fmin(z)=1—(1—以(z))n=1—e—2n(z—0)'0'z>0'z<0'fjz)=Fmin(z)=2ne—2n(z—0)'0'z>0'z<0'TOC\o"1-5"\h\z因為E(0)=+3zf(z)dz=+32nze-2n(z-0)dx=0+=。0，所以0不是的無偏估計量。0 2n—3 0(3)取0*=0—［，貝gE(0*)=E(0—=)=E(0)—==0，于是即0是的無偏估計2n 2n 2n量。EH=J次2neaz=J“+2t+l)2nedl=— +0r⑷由于' 所以小1 — 1寸31)(。)=—)+—+/-34-,-=—7-*0.由習(xí)題2.1節(jié)題目7的結(jié)論可知:'是n的相合估計。【解】設(shè)X為直到命中目標(biāo)為止所進(jìn)行的射擊次數(shù)，則X服從參數(shù)為p的幾何分布，即P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,X為總體，p未知，x1,1 1Ex,…，x是來自總體的一組樣本值，由E(X)=，無=_Yx，2n pnii=11n 由矩估計法有p=-=疔為P的矩估計值。ii=1…、小 An似然函數(shù)L(p)=0(1-p)x「\p=(1-p)i=1'pn，i=1lnL(p)=(^x-n)ln(1-p)+nInp，ii=1dp——-M p1-p，―n解得p=^-。ii=14.【解】(1)求解參數(shù)的UMVUEoGag已知,其密度函數(shù)為:p(x;a,人)=扁xa*-X, x>0.易判斷它為指數(shù)分布族，并且r(a)當(dāng)俄"」"為充分統(tǒng)計量，又指數(shù)分布族的充分統(tǒng)計量為完備統(tǒng)計量，所以是充分完備統(tǒng)計量。_a R仁]=^=- T 1又.'上?所以*， .’從而?是參數(shù)?的無偏估計，又是完備充分統(tǒng)計量的函數(shù)，所以為UMVUEo(2)判斷它是否為有效估計。先計算w的方差：偽/4]=上財(X)=上只=*Ina)na2 na2人2 naA21下一步計算參數(shù)」“的C-R下界。由伽瑪分布的