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廣東省廣州市南崗中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的定義域是
A. B.
C.
D. 參考答案:C2.由拋物線與直線所圍成的圖形的面積是(
).A.4
B.
C.5
D.參考答案:B解得x=1,y=﹣1或x=4,y=2,即交點坐標(biāo)為(1,﹣1),(4,2)∴圖中陰影部分的面積是.
3.已知點P(sinα+cosα,tanα)在第四象限,則在[0,2π)內(nèi)α的取值范圍是()A.(,)∪(,) B.(0,)∪(,)C.(,)∪(,2π) D.(,)∪(π,)參考答案:C【分析】由點P的橫坐標(biāo)大于0且縱坐標(biāo)小于0解三角不等式求解α的范圍.【詳解】∵點P(sinα+cosα,tanα)在第四象限,∴,由sinα+cosαsin(α),得2kπ<α2kπ+π,k∈Z,即2kπα<2kππ,k∈Z.由tanα<0,得kπα<kπ+π,k∈Z.∴α∈(,)∪(,2π).故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的符號,考查了三角不等式的解法,是基礎(chǔ)題.4.已知a=40.3,b=8,c=30.75,這三個數(shù)的大小關(guān)系為()A.b<a<c B.c<a<b C.a(chǎn)<b<c D.c<b<a參考答案:C【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).【分析】根據(jù)冪的運算法則與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),對a、b、c的大小進行比較即可.【解答】解:a=40.3=20.6,b=8==20.75,且20.6<20.75,∴a<b;又c=30.75,且20.75<30.75,∴b<c;∴a、b、c的大小關(guān)系為:a<b<c.故選:C.5.從某小學(xué)隨機抽取100名學(xué)生,將他們的身高數(shù)據(jù)(單位:厘米)按[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分組,繪制成頻率分布直方圖(如圖).從身高在[120,130),[130,140),[140,150)三組內(nèi)的學(xué)生中,用分層抽樣的方法抽取18人參加一項活動,則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為(
)A.3 B.4 C.5 D.6參考答案:A【分析】先求,,三組頻率,再求各組頻數(shù),最后根據(jù)分層抽樣總體與各層抽樣比例相同求解.【詳解】各組頻率等于各組矩形的面積,所以,身高在,,的頻率分別為0.3,0.2,0.1,身高在,,的頻數(shù)分別為30,20,10,分層抽樣的比例為.所以,身高在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為.故選A.【點睛】本題考查頻率分布直方圖與分層抽樣,屬于基礎(chǔ)題.6.的值是(
)A.
B.
C.
D.
0參考答案:A7.已知變量x,y滿足條件則z=4x+y的最大值是A.4
B.11
C.12
D.14參考答案:B8.當(dāng)時,,則下列大小關(guān)系正確的是(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:解析:當(dāng)時,,,。又因為。所以。選C。9.(5分)若2a=3b=6,則+=() A. B. 6 C. D. 1參考答案:D考點: 指數(shù)式與對數(shù)式的互化.專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: 2a=3b=6,可得a=,b=,代入即可得出.解答: ∵2a=3b=6,∴a=,b=,則+===1.故選:D.點評: 本題考查了指數(shù)式化為對數(shù)式、對數(shù)的運算法則,屬于基礎(chǔ)題.10.方程=lgx的根的個數(shù)是()A.0
B.1
C.2
D.無法確定參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過點且垂直于直線的直線方程是 .參考答案:12.+參考答案:略13.已知△ABC中,A=45°,B=60°,,那么a=.參考答案:【考點】正弦定理.【分析】使用正弦定理列方程解出.【解答】解:由正弦定理得:,即,解得a=.故答案為.14.已知函數(shù)在上為偶函數(shù),且當(dāng)時,,則當(dāng)時,的解析式是 .參考答案:15.在△ABC中,三內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c,且,.則C=_____.參考答案:【分析】把題設(shè)中的邊角關(guān)系化為,利用正弦定理和兩角和的正弦公式可得,從該方程中可得.【詳解】因為,故,由正弦定理可以得到,故,因,所以,故,因,故,填.【點睛】在解三角形中,如果題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系,那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式.16.化簡(其中)參考答案:略17.正三棱錐V﹣ABC中,VB=,BC=2,則二面角V﹣AB﹣C的大小為.參考答案:60°【考點】二面角的平面角及求法.【分析】取AC中點O,連結(jié)VO,BO,則∠VOB是二面角V﹣AB﹣C的平面角,由此利用余弦定理能求出二面角V﹣AB﹣C的大?。窘獯稹拷猓喝鐖D,正三棱錐V﹣ABC中,VB=,BC=2,取AC中點O,連結(jié)VO,BO,∵VA=VC=VB=,AB=AC=2,AO=CO=,∴VO⊥AC,BO⊥AC,VO==2,BO==3,∴∠VOB是二面角V﹣AB﹣C的平面角,cos∠VOB===,∴∠VOB=60°.∴二面角V﹣AB﹣C的大小為60°.故答案為:60°.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知向量=(cosx,sinx),=(cos,﹣sin),且x∈[0,],(1)求?及|+|;(2)若f(x)=?﹣2λ|+|的最小值是﹣,求實數(shù)λ的值.參考答案:【考點】平面向量數(shù)量積的運算.【分析】(1)由題意利用兩個向量的數(shù)量積公式求得?,再根據(jù)的坐標(biāo),求得|+|的值.(2)由(Ⅰ)得f(x)=2(cosx﹣λ)2﹣1﹣2λ2,再結(jié)合1≥cosx≥0可得,分類討論,利用二次函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)f(x)的最小值是﹣,分別求得實數(shù)λ的值,綜合可得結(jié)論.【解答】解:(1)由題意可得?=cosxcos﹣sinxsin=cos2x,=(cosx+cos,sinx﹣sin),∴|+|===2|cosx|.∵x∈[0,],∴1≥cosx≥0,∴|+|=2cosx.(2)由(Ⅰ)得f(x)=?﹣2λ|+|=cos2x﹣4λcosx=2(cosx﹣λ)2﹣1﹣2λ2,再結(jié)合1≥cosx≥0可得,當(dāng)λ<0時,則cosx=0時,f(x)取得最小值為﹣1,這與已知矛盾.當(dāng)0≤λ≤1時,則cosx=λ時,f(x)取得最小值為﹣1﹣2λ2.當(dāng)λ>1時,則cosx=1時,f(x)取得最小值為1﹣4λ.由已知得1﹣4λ=﹣,λ=,這與λ>1相矛盾.綜上所述,λ=為所求.19.(本小題滿分12分)如圖所示,已知是半徑為1,圓心角為的扇形,是扇形的內(nèi)接矩形,兩點在圓弧上,是的平分線,連接,記,問:角為何值時矩形面積最大,并求最大面積.參考答案:解:設(shè)交于,交于,顯然矩形關(guān)于對稱,而,均為,的中點,在中,即
…………4分故:
…………8分故當(dāng)即時,取得最大,此時
……12分略20.
(1)計算的值.
(2)計算的值.參考答案:略21.設(shè)函數(shù)f(x)=|x|﹣3(﹣3≤x≤3),(1)用分段函數(shù)表示f(x)并作出其圖象;(2)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及相應(yīng)的單調(diào)性;(3)求函數(shù)的值域.參考答案:【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用.【專題】綜合題;數(shù)形結(jié)合;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】(1)利用絕對值的幾何意義,可用分段函數(shù)表示f(x)并作出其圖象;(2)根據(jù)圖象,指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及相應(yīng)的單調(diào)性;(3)根據(jù)圖象,求函數(shù)的值域.【解答】解:(1)f(x)=;圖象如圖所示;(2)f(x)在區(qū)間[0,3]單調(diào)遞增,在區(qū)間[﹣3,0]單調(diào)遞減;(3)由函數(shù)圖象得,函數(shù)的值域是[﹣3,0].【點評】本題考查絕對值的幾何意義,分段函數(shù),考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,正確作出圖象是關(guān)鍵.22.湖北省第十四屆運動會紀(jì)念章委托某專營店銷售,每枚進價5元,同時每銷售一枚這種紀(jì)念章需向荊州籌委會交特許經(jīng)營管理費2元,預(yù)計這種紀(jì)念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2000枚,經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的銷售價格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元則增加銷售400枚,而每增加一元則減少銷售100枚,現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價格為元,為整數(shù).
(1)寫出該專營店一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念章所獲利潤(元)與每枚紀(jì)念章的銷售價格(元)的函數(shù)關(guān)系式(并寫出這個函數(shù)的定義域);
(2)當(dāng)每枚紀(jì)念章銷售價格為多少元時,該特許專
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