廣東省廣州市新港中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

廣東省廣州市新港中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zl，z2對(duì)應(yīng)的向量分別是，，則|zl+z2|=

(A)1

(B)

(C)2

(D)3

參考答案：B略2.為了得到函數(shù)的圖像，只要把上所有的點(diǎn)（）A.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變B.橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變C.縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，橫坐標(biāo)不變D.縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，橫坐標(biāo)不變參考答案：B3.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算；復(fù)數(shù)的幾何意義。L4

【答案解析】B

解析：∵∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限．故選B.【思路點(diǎn)撥】先利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出Z，再判斷即可。4.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線的斜率的取值范圍是A. B. C. D.

參考答案：A略5.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：C6.將參加夏令營(yíng)的100名學(xué)生編號(hào)為001,002,......,100,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為20的樣本,且在第一組隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003.這100名學(xué)生分住在三個(gè)營(yíng)區(qū),001到047住在第I營(yíng)區(qū),048到081住在第II營(yíng)區(qū),082到100住在第III營(yíng)區(qū),則三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)依次為

A.10,6,4

B.9,7,4

C.10,7,3

D.9,6,5參考答案：B略7.已知直線與平面，滿足，，，，則必有（

）(A)且

（B）且

（C）且

（D）且參考答案：D8.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問(wèn)物幾何？”人們把此類題目稱為“中國(guó)剩余定理”，若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為N=n（modm），例如11=2（mod3）．現(xiàn)將該問(wèn)題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n等于（）A．21 B．22 C．23 D．24參考答案：C【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】該程序框圖的作用是求被3和5除后的余數(shù)為2的數(shù)，根據(jù)所給的選項(xiàng)，得出結(jié)論．【解答】解：該程序框圖的作用是求被3除后的余數(shù)為2，被5除后的余數(shù)為3的數(shù)，在所給的選項(xiàng)中，滿足被3除后的余數(shù)為2，被5除后的余數(shù)為3的數(shù)只有23，故選：C．9.歐拉公式eix=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占用非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】e=cos+isin，化簡(jiǎn)即可得出．【解答】解：e=cos+isin=i，此復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于位于第二象限，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的三角形式、三角函數(shù)求值、復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10.若與的虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A.－2 B.2 C.－1 D.1參考答案：D【分析】分別對(duì)兩個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算化成復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，分別得到得復(fù)數(shù)的虛部，再相加等于0，從而求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以虛部為，因?yàn)?，所以虛部為，所以，?故答案為：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解，考查基本運(yùn)算求解能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，，且滿足，則實(shí)數(shù)_______．參考答案：略12.由，，，四條曲線所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)_________．參考答案：13.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)l，3，6，10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為．記第n個(gè)邊形數(shù)為，（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)

， 正方形數(shù)

五邊形數(shù)

六邊形數(shù)

……可以推測(cè)的表達(dá)式，由此計(jì)算

。參考答案：1000將已知的列表式做如下轉(zhuǎn)化，三角形數(shù)：；正方形數(shù)；五邊形數(shù)：；六邊形數(shù)：；可以推測(cè)：.所以14.已知函數(shù)在區(qū)間（）上存在零點(diǎn)，則n=

．參考答案：5函數(shù)是連續(xù)的單調(diào)增函數(shù),

,

,

所以函數(shù)的零點(diǎn)在之間,所以n=5

15.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，且

，則的值是___________．參考答案：4由得，即，所以，即。16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A，F(xiàn)分別為橢圓C：的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，線段AP的中點(diǎn)為M，若Q，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，則橢圓C的離心率為_(kāi)_____.參考答案：【分析】根據(jù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱假設(shè)，，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得，利用三點(diǎn)共線可得，利用向量共線可構(gòu)造等式，從而求得離心率.【詳解】由題意知：，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可設(shè)，又，，則，，，三點(diǎn)共線

，整理可得：即橢圓的離心率：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出關(guān)于的齊次方程，本題構(gòu)造方程的關(guān)鍵是能夠?qū)⑷c(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線的關(guān)系，從而利用向量共線定理可求得結(jié)果.17.如圖，已知點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線（，）上，過(guò)作軸的垂線，垂足為，若四邊形為菱形，則該雙曲線的離心率為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖所示，AB為圓O的直徑，BC，CD為圓O的切線，B，D為切點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AD∥OC；（Ⅱ）若圓O的半徑為2，求AD?OC的值．參考答案：【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段；平行線分線段成比例定理．【分析】（Ⅰ）要證明AD∥OC，我們要根據(jù)直線平行的判定定理，觀察已知條件及圖形，我們可以連接OD，構(gòu)造出內(nèi)錯(cuò)角，只要證明∠1=∠3即可得證．（Ⅱ）因?yàn)椤袿的半徑為1，而其它線段長(zhǎng)均為給出，故要想求AD?OC的值，我們要將其轉(zhuǎn)化用半徑相等或相關(guān)的線段積的形式，結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)論，我們易證明Rt△BAD∽R(shí)t△ODC，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，不們不難得到轉(zhuǎn)化的思路．【解答】（Ⅰ）證明：如圖，連接BD、OD．∵CB、CD是⊙O的兩條切線，∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°又AB為⊙O直徑，∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴AD∥OC；（Ⅱ）解：AO=OD，則∠1=∠A=∠3，∴Rt△BAD∽R(shí)t△ODC，∵圓O的半徑為2，∴AD?OC=AB?OD=8．19.已知函數(shù)．（1）判斷并證明的奇偶性；（2）求證：；（3）已知，且，，求的值．

參考答案：（1）為奇函數(shù)．因?yàn)樗?，定義域?yàn)?，所以定義域關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為奇函數(shù)．（2）因?yàn)?，，所以．?）因?yàn)?，所以，又，所以，由此可得：?/p>

20.已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區(qū)間[﹣，]上的最大值和最小值．參考答案：【考點(diǎn)】二倍角的正弦；兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的余弦；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系將f（x）=4cosxsin（x+）﹣1轉(zhuǎn)化為f（x）=2sin（2x+），即可求得f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+），x∈[﹣，]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求其的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1=4cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，﹣1≤2sin（2x+）≤2．∴f（x）max=2，f（x）min=﹣1．21.已知橢圓方程為，長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)為，短軸上端點(diǎn)為．（1）若橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且的最大面積為3，求該橢圓方程；（2）對(duì)于（1）中的橢圓，作以為直角頂點(diǎn)的內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，設(shè)直線的斜率為，試求的值；（3）過(guò)任作垂直于，點(diǎn)在橢圓上，試問(wèn)在軸上是否存在點(diǎn)，使得直線的斜率與的斜率之積為定值，如果存在，找出一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，說(shuō)明理由．參考答案：解：（1）由已知：，，聯(lián)立方程組求得：所求方程為：

……………

4分

（2）依題意設(shè)所在的直線方程為，代入橢圓方程并整理得：，則同理

由得，即

故

………

8分（3）由題意知設(shè)而(為定值).對(duì)比上式可知：選取，則得直線的斜率與的斜率之積為

……………

13分22.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知，，，點(diǎn)E是棱C1C的中點(diǎn).（1）求證：C1B⊥平面ABC；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱CA上是否存在一點(diǎn)M，使得EM與平面A1B1E所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在,或.【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證得平面.（2）以為原點(diǎn)，分別以，和的方向?yàn)?，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)，得到的坐標(biāo)，結(jié)合平面的法向量為列出方程，即可求解.【詳解】（1）由題意，因?yàn)?，，，∴，又∴，∴，∵?cè)面，∴.又∵，，平面∴直線平面.（2）以為原點(diǎn)，分別以，和的方向?yàn)?，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，∵，∴，令，則，∴設(shè)平面的一個(gè)