廣東省廣州市從化第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省廣州市從化第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=的零點(diǎn)個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點(diǎn)】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，由于在定義域上兩個增函數(shù)的和仍為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)，而f（0）＜0，f（）＞0由零點(diǎn)存在性定理可判斷此函數(shù)僅有一個零點(diǎn)【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞）∵y=在定義域上為增函數(shù)，y=﹣在定義域上為增函數(shù)∴函數(shù)f（x）=在定義域上為增函數(shù)而f（0）=﹣1＜0，f（1）=＞0故函數(shù)f（x）=的零點(diǎn)個數(shù)為1個故選B【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，零點(diǎn)存在性定理的意義和運(yùn)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷和意義，屬基礎(chǔ)題2.已知平面，直線，點(diǎn)A，下面四個命題，其中正確的命題是A.若，則與必為異面直線；

B.若則；

C.若則；

D.若，則.參考答案：D3.設(shè)數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：因該函數(shù)的對稱軸,結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知當(dāng),即時,單調(diào)遞增,應(yīng)選C.考點(diǎn)：數(shù)列的單調(diào)性等有關(guān)知識的綜合運(yùn)用．【易錯點(diǎn)晴】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一,也高考和各級各類考試的重要內(nèi)容和考點(diǎn).解答本題時要充分利用題設(shè)中提供的有關(guān)信息,借助二次函數(shù)的對稱軸進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,合理準(zhǔn)確地建立不等式是解答好本題的關(guān)鍵.求解時很多學(xué)生可能會出現(xiàn)將對稱軸放在的左邊而得,而得的答案.這是極其容易出現(xiàn)的錯誤之一.4.若，其中a、b∈R，i是虛數(shù)單位，則=

A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B試題分析：∵等差數(shù)列單調(diào)遞增，∴，∵，即，即，∴.考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項公式.6.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）所對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B略7.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用圖像可得A值，由周期性可得，代點(diǎn)可得值，可得函數(shù)解析式，代值計算可求?！驹斀狻拷猓河深}意和圖像可得，，，解得，代入點(diǎn)可得結(jié)合可得，故函數(shù)的解析式為故選：C

8.下列命題中的假命題是（）A．?x0∈（0，+∞），x0＜sinx0 B．?x∈（﹣∞，0），ex＞x+1C．?x＞0，5x＞3x D．?x0∈R，lnx0＜0參考答案：A【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】利用反例判斷A的正誤；利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及最值，推出B的正誤；指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷C的正誤；特例判斷D的正誤．【解答】解：x∈（0，）時，x＞sinx，所以?x0∈（0，+∞），x0＜sinx0不正確；x∈（﹣∞，0），令g（x）=ex﹣x﹣1，可得g′（x）=ex﹣1＜0，函數(shù)是減函數(shù)，g（x）＞g（0）=0，可得?x∈（﹣∞，0），ex＞x+1恒成立．由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的可知，?x＞0，5x＞3x正確；?x0∈R，lnx0＜0，的當(dāng)x∈（0，1）時，恒成立，所以正確；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)的最值的求法，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，命題的真假的判斷，考查計算能力．9.已知為平面上的定點(diǎn)，、、是平面上不共線的三點(diǎn)，若，則DABC是（

）（A）以AB為底邊的等腰三角形

（B）以BC為底邊的等腰三角形（C）以AB為斜邊的直角三角形

（D）以BC為斜邊的直角三角形參考答案：B10.已知則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知曲線的極坐標(biāo)方程為（，），曲線在點(diǎn)處的切線為，若以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則的直角坐標(biāo)方程為

．參考答案：根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可以得到曲線點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)在圓上,故圓在點(diǎn)處的切線方程為,故填.12.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是

▲

．參考答案：13.在區(qū)間[－1,5]上任取一個實(shí)數(shù)b，則曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為銳角的概率為

．參考答案：∵，∴∴，∴．由幾何概型，可得所求概率為．故答案為．14.在平面四邊形ABCD中，，，，則CD的取值范圍是___________．參考答案：【分析】首先補(bǔ)全平面四邊形，成為等腰直角三角形，在內(nèi)平移直線都能滿足條件，通過數(shù)形結(jié)合，分析的兩個臨界點(diǎn)得到的取值范圍.【詳解】如圖1，延長和交于點(diǎn)，由已知可知是等腰直角三角形，直線向下平移，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時，如圖2，此時，，，中，根據(jù)正弦定理可知，，解得：,圖1的向上平移，當(dāng)重合于點(diǎn)時，此時,的取值范圍是.,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求幾何圖形中的長度計算，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問題的能力，本題的關(guān)鍵是通過平行移動，根據(jù)臨界點(diǎn)分析出的長度.15.以橢圓的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為______.參考答案：

略16.在△中，，，且在邊上分別取兩點(diǎn)，點(diǎn)

關(guān)于線段的對稱點(diǎn)正好落在邊上，則線段長度的最小值為

．參考答案：方法一：設(shè)，

∵A點(diǎn)與點(diǎn)P關(guān)于線段MN對稱，∴，，

在中，，，，，

由正弦定理：

則，當(dāng)時此時，.方法二：建立如圖如示坐標(biāo)系

由

得，設(shè)，，

與交于點(diǎn)，由，得，

，此時．

17.

.參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率e=，短軸的一個頂點(diǎn)與橢圓兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為2．（I）求橢圓的方程；（Ⅱ）直線y=x+m與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】方程思想；設(shè)而不求法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（I）運(yùn)用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式及a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將y=x+m代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，由直線與y軸交于（0，m），則S△OAB=|m|?|x1﹣x2|，化簡整理，再由基本不等式即可得到最大值．【解答】解：（I）由題意可得，e==，?2c?b=2，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，即有橢圓方程為+=1；（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將y=x+m代入橢圓方程x2+4y2=8，可得x2+2mx+2m2﹣4=0，判別式△=4m2﹣4（2m2﹣4）＞0，解得﹣2＜m＜2且m≠0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，由直線與y軸交于（0，m），則S△OAB=|m|?|x1﹣x2|=|m|?=|m|?≤=2，當(dāng)且僅當(dāng)m=±時取得等號．則OAB面積的最大值為2．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查三角形的面積的最值的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和基本不等式，考查運(yùn)算化簡能力，屬于中檔題．19.（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形A1ABB1為菱形，∠A1AB=45°，四邊形BCC1B1為矩形，若AC=5，AB=4，BC=3（1）求證：AB1⊥面A1BC；（2）求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．參考答案：考點(diǎn)： 與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．專題： 綜合題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析： （1）證明AB1⊥面A1BC，只需證明AB1⊥A1B，CB⊥AB1，證明CB⊥平面AA1B1B，利用四邊形A1ABB1為菱形可證；（2）過B作BD⊥AA1于D，連接CD，證明∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角，求出DB，CD，即可求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．解答： （1）證明：在△ABC中AC=5，AB=4，BC=3，所以∠ABC=90°，即CB⊥AB，又因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1為矩形，所以CB⊥BB1，因?yàn)锳B∩BB1=B，所以CB⊥平面AA1B1B，又因?yàn)锳B1?平面AA1B1B，所以CB⊥AB1，又因?yàn)樗倪呅蜛1ABB1為菱形，所以AB1⊥A1B，因?yàn)镃B∩A1B=B所以AB1⊥面A1BC；（2）解：過B作BD⊥AA1于D，連接CD因?yàn)镃B⊥平面AA1B1B，所以CB⊥AA1，因?yàn)镃B∩BD=B，所以AA1⊥面BCD，又因?yàn)镃D?面BCD，所以AA1⊥CD，所以，∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角．在直角△ADB中，AB=4，∠DAB=45°，∠ADB=90°，所以DB=2在直角△CDB中，DB=2，CB=3，所以CD=，所以cos∠CDB==．點(diǎn)評： 本題考查線面垂直的判定，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用線面垂直的判定，作出面面角是關(guān)鍵．20.（12分）已知在銳角中，角對邊分別為且（1）求；（2）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；參考答案：解析：（1）在中，利用余弦定理，，

代入得，

而是銳角三角形，所以角·······················5分

（2）

周期

因?yàn)?/p>

所以·························8分

當(dāng)時，又；

所以，在上的單調(diào)減區(qū)間為········12分21.

（12分）如圖：在三棱錐中，面，是直角三角形，，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)。⑴求證：；⑵求直線與平面所成的角的大?。虎乔蠖娼堑恼兄?。參考答案：解析：⑴連結(jié)。在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，又面，即為在平面內(nèi)的射影

（2分）分別為的中點(diǎn)

（4分）⑵面，連結(jié)交于點(diǎn)，，平面為直線與平面所成的角，且

（6分）面，，又，，在中，，

（8分）⑶過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，，面，即為在平面內(nèi)的射影，為二面角的