有限長均勻帶電導(dǎo)體直線的電場分布特點

八y八y作dEdE八-灰y/：其電量為dq /a為電荷線密度)。有限長均勻帶電導(dǎo)體直線的電場分布特點姜付錦(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)，湖北武漢430300)摘要:通過庫侖定律和麥克斯韋方程推導(dǎo)出有限長均勻帶電導(dǎo)體直線的電場線方程和等勢線方程，并利用繪圖軟件WINPLOT對電場線與等勢線畫出函數(shù)圖像，直觀表示了電場的特點。關(guān)鍵詞：有限長均勻帶電導(dǎo)體直線；電場線方程；等勢線方程法拉第為形象地描繪靜電場在空間的分布情況，引入了電場線的概念。麥克斯韋通過對電場線特點的分析總結(jié)出了麥克斯韋方程組。本文將通過庫侖定律和麥克斯韋方程對有限長均勻帶電導(dǎo)體直線的電場線方程與等勢線方程進行推導(dǎo)，得出它們的分布規(guī)律，并利用繪圖軟件WINPLOT對電場線與等勢線畫出函數(shù)圖像，直觀表示了電場的特點。1電場強度的計算如圖1所示，有一均勻帶電導(dǎo)體直線，長度為。(0<a<8)，總電量為q，以直線的中點為坐標(biāo)原點，并以直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xoy，在x軸上坐標(biāo)為X0處取一電荷元，xTJ

0dx0圖1均勻帶電導(dǎo)體直線外任一點處的場強mk人dx ——根據(jù)庫侖定律，它在P(x,y)點激發(fā)的電場強度為dE=^30r，式中：r是從dx0指向P點的矢量，r的大小為寸(x—x0)2+y2。設(shè)dE與x軸的夾角為。，則dE沿x軸和y軸的兩個分量分別為dE=dEcos0,dE=dEsin0[i]，則x ydE k入(x—x)dxdE k入ydxx [y2+(x—x)2]3/2'y[y2+(x—x)2]3/2a a k人(X-X)a a k人(X-X)dX=J2dE=J2 0 0—-a[y2+(X-X)2]3/2aE=J2-2dEx_k\ y [,=y a.:y2+(x--)2E=J2dEyay-2a k人ydX=J2 0 -a[y2+(X-X)2]3/22a一砍2-X [y，/a、y2+(x-^)2]，/,a、y2+(x+-)2將上列兩式積分，得dydXy，/dydXy，/,a、

y2+(x+-)2，/,a、y2+(X+—)2，/a、y2+(x-—)22電場線方程的推導(dǎo)dyE根據(jù)麥克斯韋方程可知，電場線的微分方程為弓=寸，將上式代入后得dXEXy:，,a、:y2+(x-于TOC\o"1-5"\h\za a——X —+X2+ 2:，/a、 ； ，/, a、:y2+(x--)2 ；y2+(x+吁)2上式可變?yōu)閐[y2+(x+a)2]d[y2+(x-；)上式可變?yōu)閐[y2+(x+a)2]d[y2+(x-；)2]匕- ±一，，/a、y2+(x--)2兩邊同時積分得、:(x+—)2+y2=\：(x—2)2+y2+c(式中c是一常量)通過對電場線方程的分析可知，它們其實是一簇焦點相同的雙曲線，式中-a<C<a。3等勢線方程的推導(dǎo)如圖2所示，圖中P點的電勢fa k人dx平。=%y2+(X-X0)2⑵，將上式整理后得，.9dx20圖2均勻帶電導(dǎo)體直線外任一點處的電勢中=』2kXd(^^jc^=k、[m(:—x+；y2+(x-a)2)-In(-a—x+：y2+(x+a)2)]P -摭y2+(x-x/ 2 2 2 \ 24數(shù)值模擬利用Winplot強大的繪圖功能，對以上的電場線和等勢線進行模擬，數(shù)值模擬中令人=1C/m,a=1m，如圖3所示圖3均勻帶電導(dǎo)體直線的電場線和等勢線5結(jié)語通過對電場線與等勢線數(shù)值模擬的分析可以發(fā)現(xiàn)：在原坐標(biāo)系中，當(dāng)xT8,yT8時有限長均勻帶電導(dǎo)體直線相當(dāng)于一個“點電荷”，它的電場線的反向延長線趨近于通過原點;等勢面趨近于圓周。以上的推導(dǎo)都是建立在電荷均勻分布的條件下，但是實際上有限長帶電直線的電荷的分布不是均勻的，所以本文中的分析只是一種簡化處理情形［3］。進一步研究可以發(fā)現(xiàn)，均勻帶電導(dǎo)體直線的電場線和等勢線與波的干涉圖樣相似，干涉圖樣中的波面與本文中的等勢線相似；干涉圖樣中的波線與本文中的電線線相似［4］。參考文獻：［1］徐斌富章可欽鄒勇潘傳芳大學(xué)基礎(chǔ)物理（第一冊）［M］北京：科學(xué)出版社，2007：8-9⑵郭碩鴻電動力學(xué)（第二版）［M］北京：高等教育出版社1998：56-57［3］ 陳鋼有限長帶電導(dǎo)體直線的電荷分布［J］大學(xué)物理，201010（30）：28-29［4］ 陳敏數(shù)形結(jié)合剖析水波的干涉圖樣［J］物理通報，2012（5）：89~92Thedistributioncharacteristicoftheelectricfieldoftheuniformlychargedconductorstraight-linewithfinitelengthJIANGFujin（TheFirstHighSchoolofHuangpiDistrictinWuhan,Wuhan430300,Hubei）Abstract:Inthispaper,wederivetheelectricfieldlineequationandtheequipotentiallineequationoftheuniformlychargedconductorstraight-linebyCoulomb'slawandtheMaxwellEquation.ThenweplottheimageoftheelectricfieldandtheequipotentiallinewiththemappingsoftwareWINPLOTandgiveanintuitivepresentationoftheelectric