廣東省廣州市職業(yè)高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

廣東省廣州市職業(yè)高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，且，則c=（ ）A．4

B．5

C.

D．7參考答案：B∵.∴，即.∵，∴，則.

2.在四面體P-ABC中，△ABC為等邊三角形，邊長為3，，，，則四面體P-ABC的體積為（）A.3 B. C. D.參考答案：C【分析】把四面體補(bǔ)成如圖所示的三棱錐，其中，可以證明平面且、均為直角三角形，通過計(jì)算可得.【詳解】如圖，延長至，使得，連接，因?yàn)?，故為等腰三角形，又，故，所以即，故，因?yàn)?，所以，所以，因，平面，平面，所以平面，所以，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，故為直角三角形，所以，又，而，故即為直角三角形，所以，所以，故選C.【點(diǎn)睛】不規(guī)則三棱錐的體積的計(jì)算，應(yīng)盡量找尋其高，如果高難以確定，則可以把給定的幾何體補(bǔ)成容易計(jì)算體積的幾何體，注意補(bǔ)體時(shí)利用已有的垂直關(guān)系.3.設(shè)等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和為,已知，則(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A略4.若函數(shù)的圖像如右圖所示，則下列函數(shù)圖像正確的是（

）參考答案：B略5.已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S-ABC的體積為 （）A．3

B．2

C．

D．1參考答案：C6.已知α是第二象限角，且sin(π+α)=，則tan2α的值為（）A． B．C．D．參考答案：C【考點(diǎn)】二倍角的正切．【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式由已知的等式求出sinα的值，然后由α是第二象限角得到cosα小于0，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cosα的值，進(jìn)而求出tanα的值，把所求的式子利用二倍角的正切函數(shù)公式化簡后，把tanα的值代入即可求出值．【解答】解：由sin（π+α）=﹣sinα=﹣，得到sinα=，又α是第二象限角，所以cosα=﹣=﹣，tanα=﹣，則tan2α===﹣．故選C7.某程序框圖如圖所示，若該程序運(yùn)行后輸出的值是，則（）A．a(chǎn)=4 B．a(chǎn)=5 C．a(chǎn)=6 D．a(chǎn)=7參考答案：A考點(diǎn)： 程序框圖．專題： 算法和程序框圖．分析： 根據(jù)已知流程圖可得程序的功能是計(jì)算S=1++…+的值，利用裂項(xiàng)相消法易得答案．解答： 解：由已知可得該程序的功能是計(jì)算并輸出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若該程序運(yùn)行后輸出的值是，則2﹣=．∴a=4，故選A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，其中分析出程序的功能是解答的關(guān)鍵．8.已知，，則（

）A． B． C． D．參考答案：A9.定義域?yàn)镽的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意x都有，且其導(dǎo)函數(shù)滿足，則當(dāng)時(shí)，有（

）A． B．C．

D．參考答案：D略10.已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2）(

)A． B．C． D．參考答案：D考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．專題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：先求出f′（x），令f′（x）=0，由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個(gè)解x1，x2?函數(shù)g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有兩個(gè)零點(diǎn)?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可得出．解答：解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個(gè)解x1，x2?函數(shù)g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有兩個(gè)零點(diǎn)?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．．①當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，f′（x）單調(diào)遞增，因此g（x）=f′（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，應(yīng)舍去．②當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．∴x=是函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)，則＞0，即＞0，∴l(xiāng)n（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．故當(dāng)0＜a＜時(shí)，g（x）=0有兩個(gè)根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1﹣2a＞0，∴x1＜1＜＜x2，從而可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，x1）上遞減，在區(qū)間（x1，x2）上遞增，在區(qū)間（x2，+∞）上遞減．∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等差數(shù)列{an}中，a1＝﹣2014，其前n項(xiàng)和為Sn，若﹣＝2002，則S2016的值等于參考答案：2016【解答】解：等差數(shù)列{an}中，a1＝﹣2014，，∵﹣＝2002，∴＝2002，∴d＝2，則S2016＝2016×（﹣2014），＝2016．12.若x，y滿足約束條件，則的取值范圍為______.參考答案：【分析】根據(jù)約束條件畫出平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)可知，本題為斜率型的目標(biāo)函數(shù)，因此轉(zhuǎn)化為兩個(gè)點(diǎn)之間的斜率?！驹斀狻考s束條件所表示的平面區(qū)域如下圖由目標(biāo)函數(shù)可得，表示點(diǎn)平面區(qū)域上的點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，因此平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)的斜率最小，即，平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)的斜率最大【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的可行域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率的最值，即斜率型的目標(biāo)函數(shù)。13.若，則的最小值是

．參考答案：略14.已知函數(shù)f(x)＝cosxsinx(x∈R)，給出下列四個(gè)命題：①若f(x1)＝－f(x2)，則x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)；④f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．其中真命題是________．參考答案：③④略15.某三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是正方形，則該三棱錐最長棱的長是________.參考答案：試題分析：由三視圖可知點(diǎn)在面內(nèi)的投影在的外邊，其中，點(diǎn)到底面的距離為，，，，則該三棱錐最長棱的長是，故答案為.考點(diǎn)：三視圖還原幾何體.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖還原幾何體，求幾何體中棱長的長度，在高考中屬于高頻考點(diǎn)，該題在三視圖類型的題目中難度中檔；首先根據(jù)俯視圖以及結(jié)合該幾何體為三棱錐可得，底面為等腰直角三角形，上定點(diǎn)在底面的投影在外，且和正好構(gòu)成正方形，易得底面三條棱的長度，均和正方形的邊長以及三棱錐的高構(gòu)成直角三角形，和正方形的對(duì)角線以及三棱錐的高構(gòu)成構(gòu)成直角三角形.16.某高校從參加今年自主招生考試的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的樣本頻率分布直方圖．若規(guī)定60分及以上為合格，則估計(jì)這1000名學(xué)生中合格人數(shù)是

名．

參考答案：70017.某高?！敖y(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生情況，具體數(shù)據(jù)如下表：性別

專業(yè)非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)男1310女720為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到因?yàn)?，所以判定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為

____;參考答案：5%三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）設(shè)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，并且參考答案：解析：為奇函數(shù)

為偶奇數(shù)從而

19.設(shè)二次函數(shù)，函數(shù)F(x)＝f(x)－x的兩個(gè)零點(diǎn)為m，n(m＜n)．(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比較f(x)與m的大?。畢⒖即鸢福航猓河深}意知，F(xiàn)(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)，當(dāng)m＝－1，n＝2時(shí)，不等式F(x)＞0，即a(x＋1)(x－2)＞0.當(dāng)a＞0時(shí)，不等式F(x)＞0的解集為{x|x＜－1，或x＞2}；當(dāng)a＜0時(shí)，不等式F(x)＞0的解集為{x|－1＜x＜2}．(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，∴x－m＜0,1－an＋ax＞0.∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m.略20.(13分)已知拋物線C:,定點(diǎn)M(0,5),直線與軸交于點(diǎn)F,O為原點(diǎn),若以O(shè)M為直徑的圓恰好過與拋物線C的交點(diǎn).(1)求拋物線C的方程;(2)過點(diǎn)M作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),連AF,BF延長交拋物線分別于,求證:拋物線C分別過兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)Q在一條定直線上運(yùn)動(dòng).參考答案：(1)直線與軸的交點(diǎn)為拋物線C的焦點(diǎn),又以為直徑的圓恰好過直線拋物線的交點(diǎn),,所以拋物線C的方程為(2)由題意知直線AB的斜率一定存在,設(shè)直線AB的方程為,又設(shè),共線,,,,同理可求,過點(diǎn)的切線的斜率為,切線方程為:,同理得過點(diǎn)的切線方程為:,聯(lián)立得:由,即點(diǎn)Q在定直線上運(yùn)動(dòng).21.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為ρcos（θ﹣）=2．（Ⅰ）求曲線C在極坐標(biāo)系中的方程；（Ⅱ）求直線l被曲線C截得的弦長．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（Ⅰ）求出曲線C的普通方程，即可求曲線C在極坐標(biāo)系中的方程；（Ⅱ）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理求直線l被曲線C截得的弦長．【解答】解：（Ⅰ）曲線C的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），普通方程為x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0，∴曲線C在極坐標(biāo)系中的方程為ρ=4sinθ；（Ⅱ）直線l的方程為ρcos（θ﹣）=2，即x+y﹣4=0，圓心到直線的距離d==，∴直線l被曲線C截得的弦長=2=2．22.（16分）如圖：在直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)橢圓C：=1（a＞b＞0）的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2．過右焦點(diǎn)F2與x軸垂直的直線l與橢圓C相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，﹣b），求點(diǎn)M到直線BF1的距離；（3）過F1M中點(diǎn)的直線l1交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求|PQ|長的最大值以及相應(yīng)的直線方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】方程思想；待定系數(shù)法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）設(shè)右焦點(diǎn)F2為（c，0），令x=c，代入橢圓方程，可得c=，=1，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）求得直線BF1的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算即可得到所求值；（3）過F1M中點(diǎn)的直線l1的方程設(shè)為x=m（y﹣），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，化簡整理即可得到弦長的取值范圍，再由斜率為0，求得直線方程，代入橢圓方程，求得PQ的長，即可得到最大值．【解答】解：（1）設(shè)右焦點(diǎn)F2為（c，0），令x=c，代入橢圓可得y=±b，由M（，1），即有c=，=1，又a2﹣b2=2，解得a=2，b=，則橢圓方程為+=1；（2）由題意可得B（0，﹣），F(xiàn)1（﹣，0），直線BF1的方程為x+y+=0，則點(diǎn)M到直線BF1的距離為=2+；（3）過F1M中點(diǎn)的直線l1的方程設(shè)為x=m（y﹣），代入橢圓方程，可得（2+m2）y2﹣m2y+m2﹣4=0，由于中點(diǎn)（0，）在橢圓內(nèi)