廣東省揭陽市下寨中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省揭陽市下寨中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（A）60

（B）30（C）20

（D）10參考答案：D該幾何體是三棱錐，如圖：圖中紅色線圍成的幾何體為所求幾何體，該幾何體的體積是，故選D.2.若函數(shù)f（x）=的最大值為f（﹣1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）A．[0，2e2] B．[0，2e3] C．（0，2e2] D．（0，2e3]參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】求得f（﹣1），由題意可得alnx﹣x2﹣2≤﹣2+a在x＞0恒成立，討論x的范圍，分x=e，0＜x＜e，x＞e，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最值，進(jìn)而得到a的范圍．【解答】解：由f（﹣1）=﹣2+a，可得alnx﹣x2﹣2≤﹣2+a在x＞0恒成立，即為a（1﹣lnx）≥﹣x2，當(dāng)x=e時，0＞﹣e2顯然成立；當(dāng)0＜x＜e時，有1﹣lnx＞0，可得a≥，設(shè)g（x）=，0＜x＜e，g′（x）==，由0＜x＜e時，2lnx＜2＜3，則g′（x）＜0，g（x）在（0，e）遞減，且g（x）＜0，可得a≥0；當(dāng)x＞e時，有1﹣lnx＜0，可得a≤，設(shè)g（x）=，x＞e，g′（x）==，由e＜x＜e時，g′（x）＜0，g（x）在（e，e）遞減，由x＞e時，g′（x）＞0，g（x）在（e，+∞）遞增，即有g(shù)（x）在x=e處取得極小值，且為最小值2e3，可得a≤2e3，綜上可得0≤a≤2e3．故選：B．3.若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，且S8﹣S3=10，則S11的值為（）A．12 B．18 C．22 D．44參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項和．【分析】設(shè)公差為d，由S8﹣S3=10可得a1+5d=2，代入S11=11a1+=11（a1+5d）運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)公差為d，由S8﹣S3=10可得，8a1+﹣3a1﹣=10，故有a1+5d=2，∴S11=11a1+=11（a1+5d）=22，故選C．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，求出a1+5d=2，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．4.若，則的值為（

）A.2

B.3

C.4

D.6參考答案：D5.若m、n是互不重合的直線，是互不重合的平面，給出下列命題：①若;②若;③若m不垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線;④若.其中正確命題的序號是

（

）A．①②

B．③④

C．②③

D．②④參考答案：答案：D

6.已知函數(shù)則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B7.設(shè)，則（

）A．a(chǎn)<b<c

B．a(chǎn)<c<b

C．b<c<a

D．b<a<c參考答案：D8.某學(xué)生在一門功課的22次考試中，所得分?jǐn)?shù)如下莖葉圖所示，則此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為（）A．117

B．118

C．118．5

D．119．5參考答案：B略9.設(shè)奇函數(shù)在上是增函數(shù)，且．若函數(shù)，對所有的都成立，則當(dāng)時，的取值范圍是（

）A．

B．或或

C．

D．或或參考答案：答案：B10.在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取出一個數(shù)a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率為（）A．B．C．D．參考答案：D【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出關(guān)于參數(shù)a的不等式，解之求得a的范圍，再由幾何的概率模型的知識求出其概率．【解答】解：由題意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2，由幾何概率模型的知識知，總的測度，區(qū)間的長度為6，隨機(jī)地取出一個數(shù)a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}這個事件的測度為3，故區(qū)間內(nèi)隨機(jī)地取出一個數(shù)a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率為，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=（x2+ax+b）ex，當(dāng)b＜1時，函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上均為增函數(shù)，則的取值范圍是

．參考答案：（﹣3，﹣]

【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在根據(jù)二次函數(shù)圖象求出a，b的取值范圍，繪制出a，b的取值范圍，根據(jù)線性規(guī)劃求出其取值范圍．【解答】解：由f′（x）=[x2+（a+2）x+a+b]ex函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）增函數(shù)，∴x2+（a+2）x+a+b＞0恒成立，∴，∴，畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖所示：，由，解得B（1，1），由，解得C（﹣1，﹣1），結(jié)合圖象的幾何意義表示過A（2，﹣2）與平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的直線的斜率，而KAB=﹣3，KAC=﹣，故的取值范圍是（﹣3，﹣]，故答案為：（﹣3，﹣]．【點(diǎn)評】考察學(xué)生函數(shù)求導(dǎo)、二次函數(shù)的性質(zhì)及線性規(guī)劃問題，屬于中檔題．

12.若f(x)=ax2+bx+3a+b是定義在［a-1,2a］上的偶函數(shù)，則a=

，b=

.參考答案：,013.對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．（）下列函數(shù)中具有性質(zhì)的有__________．① ②③ ④（）若函數(shù)具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．參考答案：（）①②④（）或（）在時，有解，即函數(shù)具有性質(zhì)，①令，即，∵，方程有一個非實(shí)根，故具有性質(zhì)．②的圖象與有交點(diǎn)，故有解，故具有性質(zhì)．③令，此方程無解，故，不具有性質(zhì)．④的圖象與的圖象有交點(diǎn)，故有解，故具有性質(zhì)．綜上所述，具有性質(zhì)的函數(shù)有：①②④．（）具有性質(zhì)，顯然，方程有根，∵的值域?yàn)?，∴，解得或?4.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，若則由大到小的順序是

▲

.參考答案：b>a>c15.函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（3）=0，且x＜0時，xf′（x）＜f（x），則不等式f（x）≥0的解集是．參考答案：{x|﹣3＜x＜0或x＞3}略16.已知函數(shù)，，若實(shí)數(shù)滿足，則的大小關(guān)系為

.參考答案：m<n17.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，則區(qū)域D的面積為

．參考答案：25考點(diǎn)：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出區(qū)域D，解方程組可得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可得兩直角邊的長度，由面積公式可得．解答： 解：作出不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈（如圖陰影），易得A（﹣6，﹣2），B（4，﹣2），C（4，3），可得AB=10，BC=5，由三角形的面積公式可得區(qū)域D的面積S=×10×5=25故答案為：25點(diǎn)評：本題考查基本不等式與平面區(qū)域，涉及三角形的面積公式和兩點(diǎn)間的距離公式，屬中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知.(1）當(dāng)，且有最小值2時，求的值；(2）當(dāng)時，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（1），

又在單調(diào)遞增，

當(dāng)，解得

當(dāng)，

解得（舍去）

所以

(2），即

，，，，，依題意有

而函數(shù)

因?yàn)?，，所?19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為-1.（I）求的值及函數(shù)的極值；（II）證明：當(dāng)時，；（III）證明：對任意給定的正數(shù)，總存在，使得當(dāng)，恒有.參考答案：

20.已知圓F1：（x+1）2+y2=16，定點(diǎn)F2（1，0），A是圓F1上的一動點(diǎn)，線段F2A的垂直平分線交半徑F1A于P點(diǎn)．（Ⅰ）求P點(diǎn)的軌跡C的方程；（Ⅱ）四邊形EFGH的四個頂點(diǎn)都在曲線C上，且對角線EG，F(xiàn)H過原點(diǎn)O，若kEG?kFH=﹣，求證：四邊形EFGH的面積為定值，并求出此定值．參考答案：【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）利用橢圓的定義，即可求P點(diǎn)的軌跡C的方程；（Ⅱ）不妨設(shè)點(diǎn)E、H位于x軸的上方，則直線EH的斜率存在，設(shè)EH的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，求出面積，即可證明結(jié)論．【解答】（Ⅰ）解：因?yàn)镻在線段F2A的中垂線上，所以|PF2|=|PA|．所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4＞|F1F2|，所以軌跡C是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，且c=1，a=2，所以，故軌跡C的方程．（Ⅱ）證明：不妨設(shè)點(diǎn)E、H位于x軸的上方，則直線EH的斜率存在，設(shè)EH的方程為y=kx+m，E（x1，y1），H（x2，y2）．聯(lián)立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，則．①由，得．②由①、②，得2m2﹣4k2﹣3=0．③設(shè)原點(diǎn)到直線EH的距離為，，④由③、④，得，故四邊形EFGH的面積為定值，且定值為．21.（本小題共13分）某校為了解學(xué)生寒假期間的學(xué)習(xí)情況，從初中及高中各班共抽取了名學(xué)生，對他們每天平均學(xué)習(xí)時間進(jìn)行統(tǒng)計．請根據(jù)下面的各班人數(shù)統(tǒng)計表和學(xué)習(xí)時間的頻率分布直方圖解決下列問題：年級人數(shù)初一4初二4初三6高一12高二6高三18合計50

（Ⅰ）抽查的人中，每天平均學(xué)習(xí)時間為~小時的人數(shù)有多少?（Ⅱ）經(jīng)調(diào)查，每天平均學(xué)習(xí)時間不少于小時的學(xué)生均來自高中．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從學(xué)習(xí)時間不少于小時的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求這三個年級各抽取了多少名學(xué)生；（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的名學(xué)生中隨機(jī)選取人進(jìn)行訪談，求這名學(xué)生來自不同年級的概率．參考答案：(Ⅰ)由直方圖知，學(xué)習(xí)時間為~小時的頻率為，所以學(xué)習(xí)時間為~小時的人數(shù)為．……………4分(Ⅱ)由直方圖可得，學(xué)習(xí)時間不少于小時的學(xué)生有人．（由人數(shù)統(tǒng)計表亦可直接得出36人）由人數(shù)統(tǒng)計表知，高中三個年級的人數(shù)之比為，所以從高中三個年級依次抽取名學(xué)生，名學(xué)生，名學(xué)生．

…8分（Ⅲ）設(shè)高一的名學(xué)生為，高二的名學(xué)生為，高三的名學(xué)生為．則從名學(xué)生中選取人所有可能的情形為（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），共15種可能．………10分其中（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），這種情形符合名學(xué)生來自不同年級的要求．…12分故所求概率為．…………………13分22.（12分）已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0處取得極值（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若關(guān)于x的方程f（x）=﹣x+b在區(qū)間[0，2]上有兩個不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；根的存在性及根的個數(shù)判斷．專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析： （1）令f′（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=﹣x+b在區(qū)間[0，2]上有兩個不同的實(shí)根，即b=ln（x+1）﹣x2+x在區(qū)間[0，2]上有兩個不同的實(shí)根，問題可轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和極值情況．利用導(dǎo)數(shù)可以求得，再借助圖象可得b的范圍．解答： 解：（1）f′（x）=﹣2x﹣1，∵f′（0）=0，∴