廣東省揭陽市東隴中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省揭陽市東隴中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的半徑為（）A．2 B． C．3 D．參考答案：B【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個棱長為2的正方體，切去四個角所得的正四面體，其外接球等同于棱長為2的正方體的外接球，進(jìn)而得到答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個棱長為2的正方體，切去四個角所得的正四面體，其外接球等同于棱長為2的正方體的外接球，故2R==2，故R=，故選：B2.已知△ABC的周長為20，且頂點(diǎn)B（0，﹣4），C（0，4），則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（） A．（x≠0） B．（x≠0） C．（x≠0） D．（x≠0） 參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的定義． 【專題】計(jì)算題． 【分析】根據(jù)三角形的周長和定點(diǎn)，得到點(diǎn)A到兩個定點(diǎn)的距離之和等于定值，得到點(diǎn)A的軌跡是橢圓，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，寫出橢圓的方程，去掉不合題意的點(diǎn)． 【解答】解：∵△ABC的周長為20，頂點(diǎn)B（0，﹣4），C（0，4）， ∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12， ∵12＞8 ∴點(diǎn)A到兩個定點(diǎn)的距離之和等于定值， ∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓， ∵a=6，c=4 ∴b2=20， ∴橢圓的方程是 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查橢圓的定義，注意橢圓的定義中要檢驗(yàn)兩個線段的大小，看能不能構(gòu)成橢圓，本題是一個易錯題，容易忽略掉不合題意的點(diǎn)． 3.若集合A=｛x|（x-1）（x-2）

0｝，B=｛x|0｝，C=｛x|1｝，則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：Ｂ4.設(shè)，，則“”是“”則（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件參考答案：A5.不等式組表示的平面區(qū)域是

(

)

A．矩形

B.三角形

C.直角梯形

D.等腰梯形參考答案：D6.若a=20.5，b=logπ3，c=log20.5，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a參考答案：A【考點(diǎn)】72：不等式比較大?。痉治觥坷弥笖?shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵20.5＞20=1，0＜logπ3＜logππ=1，log20.5＜log21=0，∴a＞b＞c．故選A．7.在一次實(shí)驗(yàn)中，測得（x，y）的四組值分別是A（1，2），B（2，3），C（3，4），D（4，5），則y與x之間的線性回歸方程為（）A．=x﹣1 B．=x+2 C．=2x+1 D．=x+1參考答案：D【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)，取出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，把樣本中心點(diǎn)代入所給的四個選項(xiàng)中驗(yàn)證，若能夠成立的只有一個，這一個就是線性回歸方程．【解答】解：∵=×（1+2+3+4）=2.5，=×（2+3+4+5）=3.5，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是（2.5，3.5）把樣本中心點(diǎn)代入四個選項(xiàng)中，只有y=x+1成立，故選：D．8.將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖(

) A． B． C． D．參考答案：D考點(diǎn)：簡單空間圖形的三視圖．專題：作圖題；壓軸題．分析：根據(jù)三視圖的特點(diǎn)，知道左視圖從圖形的左邊向右邊看，看到一個正方形的面，在面上有一條對角線，對角線是由左下角到右上角的線，得到結(jié)果．解答： 解：左視圖從圖形的左邊向右邊看，看到一個正方形的面，在面上有一條對角線，對角線是由左下角到右上角的線，故選D．點(diǎn)評：本題考查空間圖形的三視圖，考查左視圖的做法，本題是一個基礎(chǔ)題，考查的內(nèi)容比較簡單，可能出現(xiàn)的錯誤是對角線的方向可能出錯．9.已知是球表面上的點(diǎn)，，，，，則球的表面積等于（A）4

（B）3

（C）2

（D）參考答案：A10.在極坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)，則PQ的中點(diǎn)的極坐標(biāo)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)（）在上恒正，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

▲

．參考答案：12.以點(diǎn)為圓心的圓與拋物線y=x2有公共點(diǎn)，則半徑r的最小值為

▲

．參考答案：313.定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，且當(dāng)a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0時，有．（1）試問函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩個不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，若存在，求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由并加以證明．（2）若對所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：解答：解：（1）假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩個不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，則A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，設(shè)它們的橫坐標(biāo)分別為x1和x2，且x1＜x2．則f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=[x1+（﹣x2）]．由于＞0，且[x1+（﹣x2）]＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，故函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上是增函數(shù)．這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，即函數(shù)f（x）的圖象上不存在兩個不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直．（2）由于對所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，∴故函數(shù)f（x）的最大值小于或等于2（m2+2am+1）．由于由（1）可得，函數(shù)f（x）是[﹣1，1]的增函數(shù)，故函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=2，∴2（m2+2am+1）≥2，即m2+2am≥0．令關(guān)于a的一次函數(shù)g（a）=m2+2am，則有，解得m≤﹣2，或m≥2，或m=0，故所求的m的范圍是{m|m≤﹣2，或m≥2，或m=0}．

略14.對于直線l:y=k(x+1)與拋物線C:y2=4x,k=±1是直線l與拋物線C有唯一交點(diǎn)的

條件（填充要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要）。參考答案：充分不必要15.設(shè)，，則的最小值為

。參考答案：716.把邊長為的正方形沿對角線折起，形成的三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為

．參考答案：

16.

略17.已知、為互相垂直的單位向量，非零向量，若向量與向量、的夾角分別為、，則

參考答案：1

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知圓C的圓心在直線上，且圓C經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)(3,0)的直線l截圓所得弦長為2，求直線l的方程.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)條件利用待定系數(shù)法求出圓心即可求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分類討論，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為即，由點(diǎn)到直線的距離公式求出值，求出直線的方程，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為，此時弦長為2符合題意，綜上即可求出直線的方程.【詳解】（1）由題意可知，設(shè)圓心為，則圓為：，圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，，解得，則圓的方程為：；（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，過點(diǎn)的直線截圓所得弦長為2，，解得，直線的方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為，此時弦長為2符合題意.綜上，直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查了圓方程，根據(jù)弦長求直線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.19.已知圓C:及直線.

（1）證明:不論取什么實(shí)數(shù),直線與圓C恒相交；

（2）求直線與圓C所截得的弦長的最短長度及此時直線的方程．參考答案：解:(1)直線方程,可以改寫為,所以直線必經(jīng)過直線的交點(diǎn).由方程組解得即兩直線的交點(diǎn)為A又因?yàn)辄c(diǎn)與圓心的距離,

所以該點(diǎn)在內(nèi),故不論取什么實(shí)數(shù),直線與圓C恒相交(2)連接,過作的垂線,此時的直線與圓相交于、.為直線被圓所截得的最短弦長.

此時,.即最短弦長為.

又直線的斜率,所以直線的斜率為2.

此時直線方程為:略20.已知方程+=1．（1）當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時，此方程分別表示圓、橢圓、雙曲線？（2）若命題q：實(shí)數(shù)m滿足方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；命題p：實(shí)數(shù)m滿足m2﹣7am+12a2＜0（a＜0），且非q是非p的充分不必要條件，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】圓錐曲線的共同特征；充分條件；必要條件．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）方程表示圓時：分母相等且為正；表示橢圓時：分母為正且不等；表示雙曲線時：分母異號（2）方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時：在表示橢圓的基礎(chǔ)上還要2﹣m＞m﹣1，“非q是非p的充分不必要條件”轉(zhuǎn)化為“p是q的充分不必要條件”【解答】解：（1）因?yàn)榉匠瘫硎緢A時，m﹣1=2﹣m＞0，即，所以當(dāng)時，此方程表示圓．因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓時，即，所以當(dāng)時，此方程表示橢圓．因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線時，（m﹣1）（2﹣m）＜0，即m＜1或m＞2，所以當(dāng)m＜1或m＞2時，此方程表示雙曲線．（2）由（a＞0），則3a＜m＜4a，即命題p：3a＜m＜4a由表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓可得：2﹣m＞m﹣1＞0，即，所以命題q：由非q為非p的充分不必要條件，則p是q的充分不必要條件，從而有：即【點(diǎn)評】（1）本小題主要考查圓錐曲線的共同特征，圓、橢圓、雙曲線的方程特征是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題（2）本小題考查了兩點(diǎn)：第一點(diǎn)考查焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的方程特征，第二點(diǎn)考查充要條件的簡單應(yīng)用．本題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想，將“非q是非p的充分不必要條件”轉(zhuǎn)化為“p是q的充分不必要條件”，也屬于基礎(chǔ)題．21.已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的最大值和最小值；（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[﹣5，5]上是單調(diào)函數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義；3F：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】（1）先求出二次函數(shù)的對稱軸，結(jié)合開口方向可知再對稱軸處取最小值，在離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取最大值；（2）要使y=f（x）在區(qū)間[﹣5，5]上是單調(diào)函數(shù)，只需當(dāng)區(qū)間[﹣5，5]在對稱軸的一側(cè)時，即滿足條件．【解答】解：（1）f（x）=x2+2ax+2=（x+a）2+2﹣a2，其對稱軸為x=﹣a，當(dāng)a=1時，f（x）=x2+2x+2，所以當(dāng)x=﹣1時，f（x）min=f（﹣1）=1﹣2+2=1；當(dāng)x=5時，即當(dāng)a=1時，f（x）的最大值是37，最小值是1．（6分）（2）當(dāng)區(qū)間[﹣5，5]在對稱軸的一側(cè)時，函數(shù)y=f（x）是單調(diào)函數(shù)．所以﹣a≤﹣5或﹣a≥5，即a≥5或a≤﹣5，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）時，函數(shù)在區(qū)間[﹣5，5]上為單調(diào)函數(shù)．（12分）【點(diǎn)評】本題主要考查了利用二次函數(shù)的性質(zhì)求二次函數(shù)的最值，以及單調(diào)性的運(yùn)用等有關(guān)基礎(chǔ)知識，同時考查分析問題的能力．22.某養(yǎng)雞場為檢驗(yàn)?zāi)撤N藥物預(yù)防某