廣東省揭陽市塔頭中學2022-2023學年高二數(shù)學理期末試題含解析

廣東省揭陽市塔頭中學2022-2023學年高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)雙曲線C的中心為點O，若有且只有一對相交于點O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分別是這對直線與雙曲線C的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】不妨令雙曲線的方程為，由|A1B1|=|A2B2|及雙曲線的對稱性知A1，A2，B1，B2關(guān)于x軸對稱，由滿足條件的直線只有一對，得，由此能求出雙曲線的離心率的范圍．【解答】解：不妨令雙曲線的方程為，由|A1B1|=|A2B2|及雙曲線的對稱性知A1，A2，B1，B2關(guān)于x軸對稱，如圖，又∵滿足條件的直線只有一對，當直線與x軸夾角為30°時，雙曲線的漸近線與x軸夾角大于30°，雙曲線與直線才能有交點A1，A2，B1，B2，若雙曲線的漸近線與x軸夾角等于30°，則無交點，則不可能存在|A1B1|=|A2B2|，當直線與x軸夾角為60°時，雙曲線漸近線與x軸夾角大于60°，雙曲線與直線有一對交點A1，A2，B1，B2，若雙曲線的漸近線與x軸夾角等于60°，也滿足題中有一對直線，但是如果大于60°，則有兩對直線．不符合題意，∴tan30°，即，∴，∵b2=c2﹣a2，∴，∴，∴，∴雙曲線的離心率的范圍是．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時要注意挖掘隱含條件．2.命題p:“矩形的兩條對角線相等”的逆命題是（

）A.兩條對角線相等的四邊形是矩形

B.矩形的兩條對角線不相等

C.有的矩形兩條對角線不相等

D.對角線不相等的四邊形不是矩形參考答案：A略3.以下四個結(jié)論：①若aα,bβ，則a,b為異面直線；②若aα,bα，則a,b為異面直線；③沒有公共點的兩條直線是平行直線；④兩條不平行的直線就一定相交．其中正確答案的個數(shù)是

()

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個參考答案：A4.如果執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出的S等于（

）A．45

B．55

C．90

D．110參考答案：B5.函數(shù)y＝lg的定義域為(

)．A．{x｜x＜0}

B．{x｜x＞1}C．{x｜0＜x＜1}

D．{x｜x＜0或x＞1}參考答案：D6.已知隨機變量的值等于（

）A．0.5

B．0.2

C．0.3

D．0.4參考答案：D略7.函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，則的值為（

）A．

B．

C．

D．不確定參考答案：C略8.已知某四面體的六條棱長分別為3，3，2，2，2，2，則兩條較長棱所在直線所成角的余弦值為（

）A.0 B. C.0或 D.以上都不對參考答案：B【分析】當較長的兩條棱是四面體相對的棱時，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊出現(xiàn)矛盾，得此種情況不存在；當它們是四面體相鄰的棱時，根據(jù)余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正確答案．【詳解】①當較長的兩條棱是四面體相對的棱時，如圖，取CD中點E，則∵等腰△BCD中，中線BE⊥CD，等腰△ACD中，中線AE⊥CD，AE、BE是平面ABE內(nèi)的相交直線∴CD⊥平面ABE，結(jié)合AB?平面ABE，可得AB⊥CD此時兩條較長棱所在直線所成角的余弦值為cos90°＝0，檢驗：此時△ABE中，AE＝BE，不滿足AE+BE＞AB，故此種情況舍去；②當較長的兩條棱是四面體相鄰的棱時，如圖設(shè)所成的角為θ，根據(jù)余弦定理得cosθ綜上所述，得所求余弦值為故選B.【點睛】本題考查了在四面體中求兩條棱所在直線所成角的余弦值，著重考查了余弦定理、線面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角等知識，屬于基礎(chǔ)題．9.若函數(shù),則該函數(shù)在上是

(

)

單調(diào)遞減無最小值

單調(diào)遞減有最小值

單調(diào)遞增無最大值

單調(diào)遞增有最大值參考答案：A略10.用反證法證明命題“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x2+ax+b=0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是（）A．方程x2+ax+b=0沒有實根B．方程x2+ax+b=0至多有一個實根C．方程x2+ax+b=0至多有兩個實根D．方程x2+ax+b=0恰好有兩個實根參考答案：A【考點】R9：反證法與放縮法．【分析】直接利用命題的否定寫出假設(shè)即可．【解答】解：反證法證明問題時，反設(shè)實際是命題的否定，∴用反證法證明命題“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x2+ax+b=0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是方程x2+ax+b=0沒有實根．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知單位正方形，點為中點．以為原點，分別以、、為、、軸，建立空間直角坐標系，則：（1）點坐標為__________．（2）若點滿足：在直線上，且面，則點坐標為__________．參考答案：（1）．（2）．（1）∵是單位正方體，∴棱長為，∴，，∴由中點坐標公式得．（2）易知當為中點時，，從而平面，∴．12.若執(zhí)行如圖3所示的框圖，輸入，則輸出的數(shù)等于

。

參考答案：13.已知函數(shù)，則__________．參考答案：0【分析】利用分段函數(shù)逐步求解函數(shù)值即可．【詳解】函數(shù)f（x），則故答案為：．【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，對數(shù)運算法則以及三角函數(shù)化簡求值，考查計算能力．14.設(shè)，在約束條件下，目標函數(shù)的最大值為4，則的值為__＊＊＊___．參考答案：3略15.已知圓C1：x2+y2=1與圓C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2=1，過動點P（a，b）分別作圓C1、圓C2的切線PM、PN（M、N分別為切點），若PM=PN，則+的最小值是．參考答案：【考點】圓的標準方程；圓的切線方程．【專題】計算題．【分析】利用PM=PN，求出動點P的軌跡方程，把+轉(zhuǎn)化為軌跡上的點，到原點與（5，﹣1）的距離之和的最小值．【解答】解：因為圓C1：x2+y2=1與圓C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2=1，過動點P（a，b）分別作圓C1、圓C2的切線PM、PN（M、N分別為切點），若PM=PN，所以P的軌跡為：C1C2的中垂線y=上+表示點P到點C1（0，0）和點B（5，﹣1）的距離之和即：y=|C1P|+|BP|∵|C1P|=|C2P|∴y=|C2P|+|BP|根據(jù)兩邊之和大于第三邊∴y=|C2P|+|BP|≥|C2B|==．故答案為：．【點評】本題是中檔題，考查軌跡方程的求法，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，計算能力，注意C1，B在直線的同一側(cè)，是易錯點．16.如圖，在等腰直角三角形中，，是的重心，是內(nèi)的任一點（含邊界），則的最大值為_________參考答案：4略17.若向量，滿足條件，則x=

▲

參考答案：2依題意可得，，所以由，所以.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分10分)在△ABC中，已知，b=1，B=300.(1)求出角C和A；(2)求△ABC的面積S；(3)將以上結(jié)果填入下表.參考答案：解：(1)∵，∴，又∵0<C<π，∴C=600或C=1200.

……4分(2)當C=600時，A=900，∴.

……6分當C=1200時，A=300，∴.

……8分(3)

CAS情況①600900情況②1200300……10分19.傾斜角的直線l過拋物線y2=4x焦點，且與拋物線相交于A、B兩點．（1）求直線l的方程．（2）求線段AB長．參考答案：【考點】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】（1）求出拋物線的焦點坐標F（1，0），用點斜式求出直線方程即可．（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程聯(lián)解得一個關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合曲線的弦長的公式，可以求出線段AB的長度．【解答】解：（1）根據(jù)拋物線y2=4x方程得：焦點坐標F（1，0），直線AB的斜率為k=tan45°=1，由直線方程的點斜式方程，設(shè)AB：y=x﹣1，（2）將直線方程代入到拋物線方程中，得：（x﹣1）2=4x，整理得：x2﹣6x+1=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=6，x1?x2=1，所以弦長|AB|=|x1﹣x2|=?=8．20.設(shè)函數(shù)，其中.（1）若存在，使得,求整數(shù)的最大值；（2）若對任意的，都有，求的取值范圍.參考答案：解：（1），令得，當變化時，和的變化情況如下：02

-0+

單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增1可得，，.要使存在，使得，只需，故整數(shù)的最大值為.（2）由（1）知，在上，，要滿足對任意的，都有，只需在上恒成立，

即在上恒成立，分離參數(shù)可得：，令，可知，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，

所以在處取得最大值，所以的取值范圍是.略21.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在線段AD上，AG=GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中點，四面體P﹣BCG的體積為．（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；（2）棱PC上是否存在一點F，使DF⊥GC，若存在，求的值，若不存在，請說明理由．參考答案：解：（1）由已知==，∴PG=4，在平面ABCD內(nèi)，過C點作CH∥EG交AD于H，連結(jié)PH，則∠PCH（或其補角）就是異面直線GE與PC所成的角．在△PCH中，CH=，PC=，PH=，由余弦定理得，cos∠PCH=．（2）在平面ABCD內(nèi)，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結(jié)MF，又因為DF⊥GC，∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM，由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM∥PG，由GM⊥MD得：GM=GD?cos45°=，∵，∴由DF⊥GC，可得．考點：直線與平面垂直的性質(zhì)；異面直線及其所成的角．專題：證明題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（1）由已知考查PG，在平面ABCD內(nèi)，過C點作CH∥EG交AD于H，連結(jié)PH，則∠PCH（或其補角）就是異面直線GE與PC所成的角．在△PCH中，由余弦定理即可求得cos∠PCH的值．（2）在平面ABCD內(nèi)，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結(jié)MF，可證FM∥PG，由GM⊥MD得：GM=GD?cos45°=，由DF⊥GC，即可求得的值．解答：解：（1）由已知==，∴PG=4，在平面ABCD內(nèi)，過C點作CH∥EG交AD于H，連結(jié)PH，則∠PCH（或其補角）就是異面直線GE與PC所成的角．在△PCH中，CH=，PC=，PH=，由余弦定理得，cos∠PCH=．（2）在平面ABCD內(nèi)，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結(jié)MF，又因為DF⊥GC，∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM，由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM∥PG，由