廣東省揭陽市普寧燎原中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

廣東省揭陽市普寧燎原中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D2.設(shè)m，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線，l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α∥β的一個(gè)充分而不必要條件是()A．m∥β且l1∥α

B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥β

D．m∥β且n∥l2參考答案：B3.設(shè)，且滿足，則的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：D略4.若樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為4，則數(shù)據(jù)，，，的方差為（

）A.11

B．12

C．36

D．144參考答案：D5.當(dāng)，時(shí)，的最小值為（

）A．10

B．12

C．14

D．16參考答案：D考點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用.6.下列命題為真命題的是()A．對(duì)每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)B．存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)D．所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)參考答案：C解析：若x＝，則x2＝2是有理數(shù)，故A錯(cuò)誤；B，因?yàn)閤2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋2x＋4＝0是假命題，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?＝1×2，所以有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)，故C正確；2是素?cái)?shù)，但2不是奇數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選C.7.已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差是（

）A.5

B.4

C.3

D.2參考答案：C略8.若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是A. B. C.5 D.6參考答案：C由已知可得，則，所以的最小值，應(yīng)選答案D。9.在等差數(shù)列中，已知，則=

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B10.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為(

)A.cm3

B.cm3

C.cm3

D.cm3參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.四面體的四個(gè)面中，最多可有

個(gè)直角三角形．參考答案：4【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【分析】△ABC中，AC⊥BC，PA⊥面ABC，由三垂線定理知，PC⊥BC，此時(shí)四面體P﹣ABC的四個(gè)面都是直角三角形．【解答】解：如圖，△ABC中，AC⊥BC，PA⊥面ABC，由三垂線定理知，PC⊥BC，四面體P﹣ABC的四個(gè)面都是直角三角形．故答案為：4．12.已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，則它的公差為________．參考答案：

-213.在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知A（3，2）是圓C上一點(diǎn)，折疊該圓兩次使點(diǎn)A分別與圓上不相同的兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A）重合，兩次的折痕方程分別為x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若圓C上存在點(diǎn)P，使∠MPN=90°，其中M，N的坐標(biāo)分別為（﹣m，0），（m，0），則實(shí)數(shù)m的取值集合為

．參考答案：[3，7]【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】求出⊙C的方程，過P，M，N的圓的方程，兩圓外切時(shí)，m取得最大值，兩圓內(nèi)切時(shí)，m取得最小值．【解答】解：由題意，∴A（3，2）是⊙C上一點(diǎn)，折疊該圓兩次使點(diǎn)A分別與圓上不相同的兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A）重合，兩次的折痕方程分別為x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，∴圓上不相同的兩點(diǎn)為B（1，4），D（5，4），∵A（3，2），BA⊥DA∴BD的中點(diǎn)為圓心C（3，4），半徑為1，∴⊙C的方程為（x﹣3）2+（y﹣4）2=4．過P，M，N的圓的方程為x2+y2=m2，∴兩圓外切時(shí)，m的最大值為+2=7，兩圓內(nèi)切時(shí)，m的最小值為﹣2=3，故答案為[3，7]．14.在等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，則

參考答案：715.已知sin2α=﹣sinα，則tanα=．參考答案：±或0【考點(diǎn)】二倍角的正弦．【分析】sin2α=﹣sinα，可得sinα（2cosα+1）=0，解得：sinα=0，cosα=﹣，進(jìn)而得出．【解答】解：∵sin2α=﹣sinα，∴sinα（2cosα+1）=0，解得：sinα=0，或cosα=﹣，若sinα=0，則tanα=0，若cosα=﹣，則sinα=，∴tanα=±．故答案為：±或0．16.如圖，在三棱錐中，已知，，一繩子從A點(diǎn)繞三棱錐側(cè)面一圈回到點(diǎn)A的距離中，繩子最短距離是

參考答案：略17.（4分）經(jīng)過點(diǎn)P（3，﹣1），且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線l的方程是

．參考答案：x+2y﹣1=0或x+3y=0考點(diǎn)： 直線的截距式方程．專題： 直線與圓．分析： 設(shè)直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，當(dāng)a=0時(shí)，b=0，當(dāng)a≠0時(shí)，a=2b，由此利用題設(shè)條件能求出直線l的方程．解答： 設(shè)直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，當(dāng)a=0時(shí)，b=0，此時(shí)直線l過點(diǎn)P（3，﹣1），O（0，0），∴直線l的方程為：，整理，得x+3y=0；當(dāng)a≠0時(shí)，a=2b，此時(shí)直線l的斜率k=﹣=﹣，∴直線l的方程為：y+1=﹣（x﹣3），整理，得x+2y﹣1=0故答案為：x+2y﹣1=0或x+3y=0．點(diǎn)評(píng)： 本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意不要丟解．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)=.(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.參考答案：（1）===………………2分所以函數(shù)的周期………………3分單調(diào)遞增區(qū)間是…………

5分（2）

因?yàn)椋?，所以……?分所以，

當(dāng)，即時(shí)，

……8分當(dāng)，即時(shí)，

………………10分19.設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有＞0（1）若a＞b，試比較f（a），f（b）的大??；（2）若存在實(shí)數(shù)x∈[，]使得不等式f（x﹣c）+f（x﹣c2）＞0成立，試求實(shí)數(shù)c的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和條件得：，由a＞b判斷出f（a）、f（b）的大小；（2）根據(jù)（1）和單調(diào)性的定義可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再由奇函數(shù)的性質(zhì)得：f（x﹣c）+f（x﹣c2）＞0等價(jià)于f（x﹣c）＞f（c2﹣x），根據(jù)單調(diào)性列出關(guān)于x得不等式，求出x的范圍即不等式的解集．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴，又∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴f（a）﹣f（b）＞0，即f（a）＞f（b）．（2）由（1）知，a＞b時(shí)，都有f（a）＞f（b），∴f（x）在R上單調(diào)遞增，∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（x﹣c）+f（x﹣c2）＞0等價(jià)于f（x﹣c）＞f（c2﹣x）∴不等式等價(jià)于x﹣c＞c2﹣x，即c2+c＜2x，∵存在實(shí)數(shù)使得不等式c2+c＜2x成立，∴c2+c＜3，即c2+c﹣3＜0，解得，，故c的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，以及抽象函數(shù)的單調(diào)性，不等式的解法等，屬于中檔題．20.（本小題滿分12分）設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2）討論f(x)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，討論在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．參考答案：解：（1），因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，顯然成立；……………1分當(dāng)，則有，所以.所以.……………………2分綜上所述，的取值范圍是.………………………3分（2）…………………4分對(duì)于，其對(duì)稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增；…………5分對(duì)于，其對(duì)稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞減.…………6分綜上所述，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.………7分（3）由（2）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.8分(i)當(dāng)時(shí)，，令，即（）.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以而在上單調(diào)遞增，，所以與在無交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，即?dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).………9分(ii)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，而在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，.下面比較與的大小因?yàn)樗浴?0分結(jié)合圖象不難得當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn).………11分綜上所述，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).………12分

21.要建造一個(gè)長方體無蓋貯水池，，其容積為，深為3m，如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元．

(I)如果水池底面一邊的長度為x米，用x表示另一邊的長度和水池的總造價(jià)y（y的單位元）；(II)當(dāng)x取何值時(shí)能使水池總造價(jià)y最低？最低總造價(jià)是多少元？

參考答案：略22.求函數(shù)的最大值和最小值，并求