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廣東省梅州市東紅中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)的是(
)A.
B.
C.
D.
參考答案:C略2.已知直線l經(jīng)過(guò)A(1,1),B(2,3)兩點(diǎn),則l的斜率為()A.2 B. C. D.參考答案:A【分析】直接代入兩點(diǎn)的斜率公式,計(jì)算即可得出答案?!驹斀狻抗蔬xA【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)的斜率公式,屬于基礎(chǔ)題。3.在等比數(shù)列{an}中,已知,公比,則(
)A.27 B.81 C.243 D.192參考答案:B【分析】首先求出數(shù)列中的首項(xiàng),再利用數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】是等比數(shù)列,且,,所以,所以,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,熟記公式是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4.在三棱錐P-ABC中,,,,平面ABC⊥平面PAC,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為()A.4π B.5π C.8π D.10π參考答案:D【分析】結(jié)合題意,結(jié)合直線與平面垂直的判定和性質(zhì),得到兩個(gè)直角三角形,取斜邊的一半,即為外接球的半徑,結(jié)合球表面積計(jì)算公式,計(jì)算,即可。【詳解】過(guò)P點(diǎn)作,結(jié)合平面ABC平面PAC可知,,故,結(jié)合可知,,所以,結(jié)合所以,所以,故該外接球的半徑等于,所以球的表面積為,故選D。【點(diǎn)睛】考查了平面與平面垂直的性質(zhì),考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì),難度偏難。5.若函數(shù)在區(qū)間(-∞,2上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A.-,+∞)
B.(-∞,- C.,+∞)
D.(-∞,參考答案:B6.某中學(xué)高一從甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2019年第三十屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽,他們?nèi)〉贸煽?jī)的莖葉圖如圖,其中甲班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是84,乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83,則的值為(
)A.4 B.5 C.6 D.7參考答案:C【分析】由均值和中位數(shù)定義求解.【詳解】由題意,,由莖葉圖知就中位數(shù),∴,∴.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖,考查均值與中位數(shù),解題關(guān)鍵是讀懂莖葉圖.7.下列各式中成立的是(
)
A.B.C.D.參考答案:B8.全集,集合,,則
(
)A.
B.C.
D.參考答案:D9.已知在區(qū)間上是增函數(shù),則的范圍是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:
B
解析:對(duì)稱(chēng)軸10.在邊長(zhǎng)為的正三角形ABC中,設(shè)=c,=a,=b,則等于(
)
A.0 B.1
C.3
D.-3參考答案:D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知?jiǎng)t___________.參考答案:12略12.設(shè)a+b=2,b>0,則當(dāng)a=______時(shí),取得最小值.參考答案:-213.已知,則________.參考答案:.
14.已知是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列且公差,若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列(按原來(lái)的順序)是等比數(shù)列,則的值為_(kāi)____.參考答案:
或115.如圖,圓錐形容器的高為h圓錐內(nèi)水面的高為,且,若將圓錐形容器倒置,水面高為,則等于__________.(用含有h的代數(shù)式表示)參考答案:【分析】根據(jù)水的體積不變,列出方程,解出的值,即可得到答案.【詳解】設(shè)圓錐形容器的底面面積為,則未倒置前液面的面積為,所以水的體積為,設(shè)倒置后液面面積為,則,所以,所以水的體積為,所以,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征,以及圓錐的體積的計(jì)算與應(yīng)用,其中解答中熟練應(yīng)用圓錐的結(jié)構(gòu)特征,利用體積公式準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.16.已知等比數(shù)列中,公比,且,則
▲
參考答案:417.如圖,一輛汽車(chē)在一條水平公路上向西行駛,到A處測(cè)得公路北側(cè)有一山頂D在西偏北30°方向上,行駛300m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75°方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=________m.參考答案:由題意可得,AB=300,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,∴∠ACB=45°,在△ABC中,由正弦定理可得:,即,.在Rt△BCD中,∠CBD=30°,∴tan30°=,∴DC=.即此山的高度CD=m.
三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)的最小正周期為,最小值為-2,圖象過(guò)(,0),求該函數(shù)的解析式。參考答案:,
又,
所以函數(shù)解析式可寫(xiě)為又因?yàn)楹瘮?shù)圖像過(guò)點(diǎn)(,0),所以有:
解得
所以,函數(shù)解析式為:19.(12分)已知數(shù)列和滿足
(1)當(dāng)時(shí),求證:對(duì)于任意的實(shí)數(shù),一定不是等差數(shù)列;
(2)當(dāng)時(shí),試判斷是否為等比數(shù)列;參考答案:①當(dāng)m=1時(shí),,假設(shè)是等差數(shù)列,由得即方程無(wú)實(shí)根。故對(duì)于任意實(shí)數(shù)一定不是等差數(shù)列。②當(dāng),,
略20.已知等比數(shù)列{an}的公比,前n項(xiàng)和為Sn,且滿足.,,分別是一個(gè)等差數(shù)列的第1項(xiàng),第2項(xiàng),第5項(xiàng).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Mn;(3)若,{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,且對(duì)任意的滿足,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案:(1).(2);(3)【分析】(1)利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及求和公式化簡(jiǎn),得到,由,,分別是一個(gè)等差數(shù)列的第1項(xiàng),第2項(xiàng),第5項(xiàng),利用等差數(shù)列的定義可得,化簡(jiǎn)即可求出,從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式。(2)由(1)可得,利用錯(cuò)位相減,求出數(shù)列的前項(xiàng)和即可;(3)結(jié)合(1)可得,利用裂項(xiàng)相消法,即可得到的前項(xiàng)和,求出的最大值,即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】(1)由得,所以,由,,分別是一個(gè)等差數(shù)列的第1項(xiàng),第2項(xiàng),第5項(xiàng),得,即,即,即,因?yàn)?,所以,所?(2)由于,所以,所以,,兩式相減得,,所以(3)由知,∴,∴,解得或.即實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和,等差數(shù)列的定義,以及利用錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,有一定綜合性。21.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S5=35,a5和a7的等差中項(xiàng)為13. (Ⅰ)求an及Sn; (Ⅱ)令(n∈N﹡),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 參考答案:【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;等差數(shù)列的前n項(xiàng)和;數(shù)列的求和. 【分析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由已知S5=5a3=35,a5+a7=26,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可求a1,d,進(jìn)而可求an,Sn, (Ⅱ)由(Ⅰ)可求bn===,利用裂項(xiàng)即可求和 【解答】解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 因?yàn)镾5=5a3=35,a5+a7=26, 所以,… 解得a1=3,d=2,… 所以an=3+2(n﹣1)=2n+1; Sn=3n+×2=n2+2n.… (Ⅱ)由(Ⅰ)知an=2n+1, 所以bn==… =,… 所以Tn=.… 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用,數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和方法的應(yīng)用,屬于數(shù)列知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合 22.(14分)設(shè),函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1]且f(0)=0,f(1)=1當(dāng)x≥y時(shí)有f()=f(x)sinα+(1﹣sinα)f(y).(1)求f(),f();(2)求α的值;(3)求函數(shù)g(x)=sin(α﹣2x)的單調(diào)區(qū)間.參考答案:考點(diǎn):復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性;抽象函數(shù)及其應(yīng)用.專(zhuān)題:計(jì)算題.分析:(1)根據(jù)f()=f()=f(1)sinα+(1﹣sinα)f(0),運(yùn)算求得結(jié)果,再根據(jù)f()=f()=f()sinα+(1﹣sinα)f(0),運(yùn)算求得結(jié)果.(2)求出f()=f()=f(1)sinα+(1﹣sinα)f()=2sinα﹣sin2α.同理求得f()=3sin2α﹣2sin3α,再由sinα=3sin2α﹣2sin3α,解得sinα的值,從而求得α的值.(3)化簡(jiǎn)函數(shù)g(x)=sin(α﹣2x)=﹣sin(2x﹣),令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈z,求得x的范圍,即可得到g(x)的減區(qū)間.令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+,k∈z,求得x的范圍,即可得到g(x)的增區(qū)間.解答:解:(1)f()=f()=f(1)sinα+(1﹣sinα)f(0)=sinα.f()=f()=f()sinα+(1﹣sinα)f(0)=sin2α.(2)∵f()=f()=f(1)sinα+(1﹣sinα)f()=sinα+(1﹣sinα)sinα=2sinα﹣sin2α.f()=f()=f()sinα+(1﹣sinα)f()=(2sinα﹣sin2α)sinα+(1﹣sinα)sin2α=3sin2α﹣2sin3α,∴sinα=3sin2α﹣2sin3α,解得sinα=0,或sinα=1,或s
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