廣東省梅州市寧塘中學2022-2023學年高三數(shù)學理期末試卷含解析

廣東省梅州市寧塘中學2022-2023學年高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.《九章算術》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵ABC-A1B1C1中，，，當陽馬體積的最大值為時，塹堵ABC-A1B1C1的外接球的體積為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】利用均值不等式可得,即可求得,進而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當且僅當時等號成立,又陽馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B【點睛】本題以中國傳統(tǒng)文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應用,體現(xiàn)了數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).2.已知O為原點，點A，B的坐標分別為（a，0），（0，a），a是正的常數(shù)，點P在線

段AB上，且，則的最大值是

A．a(chǎn)

B．2a

C．a(chǎn)2

D．3a參考答案：C.

由圖可知，當P與A重合，，選C．

3.已知函數(shù)f（x）=，則f[f（2）]=(

)A． B． C．2 D．4參考答案：A【考點】分段函數(shù)的應用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】直接利用分段函數(shù)的解析式，由里及外逐步求解函數(shù)在即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=，則f（2）=﹣f[f（2）]=f（﹣）===．故選：A．【點評】本題考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)值的求法，考查計算能力．4.函數(shù)的圖象關于x軸對稱的圖象大致是（

）參考答案：B5.如圖所示，兩個不共線向量,的夾角為，分別為與的中點，點在直線上，且，則的最小值為

參考答案：6.集合M={x|0x2}，N={x|x2-2x-3<0}，則M和N的交集為 （

）A.{x|0x2}

B.{x|0<x<2}

C.{x|-1<x<3}

D.{x|0<x}參考答案：A7.“sinα=cosα”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合集合的包含關系判斷即可．【解答】解：由“sinα=cosα”得：α=kπ+，k∈Z，故sinα=cosα是“”的必要不充分條件，故選：B．8.若A＝{2,3,4}，B＝，則集合B中的元素個數(shù)是(

)A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：B9.已知，其中為三角形內(nèi)角，則（）A. B.C. D.參考答案：A【分析】由，可得，再結(jié)合，聯(lián)立方程可以求解.【詳解】解：因為，所以，又因為，所以解得：或，因為為三角形內(nèi)角，所以.故答案為:A.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關系，同時考查了學生的計算能力，屬于基礎題.

10.集合，若，則實數(shù)的值為（

）A．或

B．

C．或

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對于函數(shù)，給出下列五個命題：①存在，使；②存在，使；③存在，函數(shù)的圖像關于坐標原點成中心對稱；④函數(shù)的圖像關于對稱；⑤函數(shù)的圖像向左平移個單位就能得到的圖像，其中正確命題的序號是_________參考答案：③④略12.已知函數(shù)滿足，，則的取值范圍是

參考答案：13.《九章算術》中有一個“兩鼠穿墻”問題：“今有垣（墻，讀音）厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天減半）．問何日相逢，各穿幾何？”在兩鼠“相逢”時，大鼠與小鼠“穿墻”的“進度”之比是

：

．參考答案：59，26．【考點】等差數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的前n項和．【分析】第一天的時候，大鼠打了1尺，小鼠1尺；第二天的時候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺；第三天設大鼠打了X尺，小鼠則打了（0.5﹣X）尺，則X÷4=（0.5﹣x）÷，由此能求出大鼠與小鼠“穿墻”的“進度”之比．【解答】解：第一天的時候，大鼠打了1尺，小鼠1尺，一共2尺，還剩3尺；第二天的時候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺，這一天一共打了2.5尺，兩天一共打了4.5尺，還剩0.5尺．第三天按道理來說大鼠打4尺，小鼠尺，可是現(xiàn)在只剩0.5尺沒有打通了，所以在第三天肯定可以打通．我們現(xiàn)在設大鼠打了X尺，小鼠則打了（0.5﹣X）尺則打洞時間相等：X÷4=（0.5﹣x）÷解方程得X=，所以大鼠在第三天打了8/17尺，小鼠打了0.5﹣=尺所以三天總的來說：大鼠打了3+=尺，小鼠打了5﹣尺，∴大鼠與小鼠“穿墻”的“進度”之比是59：26．故答案為：59，26．【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實際應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．14.已知函數(shù)f（x）滿足，則曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為________．參考答案：18x－y－16＝015.下圖一回形圖，其回形通道的寬和OB1的長均為l，且各回形線之間或

相互平行、或相互垂直．設回形線與射線OA交于A1,A2，A3,…，從點O到點A1的回形線為第1圈（長為7），從點A1到點A2的回形線為第2圈，從點A2到點A3的回形線為第3圈…，依此類推，第8圈的長為__________。

參考答案：6316.我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“黃金搭檔”．已知F1、F2是一對“黃金搭檔”的焦點，P是它們在第一象限的交點，當∠F1PF2=60°時，這一對“黃金搭檔”中雙曲線的離心率是．參考答案：考點：雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：設F1P=m，F(xiàn)2P=n，F(xiàn)1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，設a1是橢圓的長半軸，a1是雙曲線的實半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a1，m﹣n=2a1，由此能求出結(jié)果．解答：解：設F1P=m，F(xiàn)2P=n，F(xiàn)1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn，設a1是橢圓的實半軸，a2是雙曲線的實半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，將它們及離心率互為倒數(shù)關系代入前式得a12﹣4a1a2+a12=0，a1=3a2，e1?e2==1，解得e2=．故答案為：．點評：本題考查雙曲線和橢圓的簡單性質(zhì)，解題時要認真審題，注意正確理解“黃金搭檔”的含義．17.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面邊長為2，側(cè)棱長為4，E、F分別為棱BB1、D1C1的中點，則四面體FECC1的外接球的表面積為

．參考答案：17π如圖所示，連接，由題意可得：，，，則：，△CEF是以點E為直角頂點的直角三角形，很明顯為直角三角形，該三棱錐是由兩個有公共斜邊的直角三角形經(jīng)過翻折之后組成的三棱錐，則其外接球直徑為公共斜邊，外接球半徑，其表面積.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分10分）選修4-4:坐標系與參數(shù)方程以直角坐標系的原點O為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），曲線C的極坐標方程為，

(1)求曲線C的直角坐標方程：(2)設直線與曲線C相交于A、B兩點，當變化時，求|AB|的最小值.參考答案：19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）當時，求證：．參考答案：（1）π；（2）見解析.【分析】（1）首先利用三角函數(shù)關系式的恒等變換，把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的最小正周期．（2）利用函數(shù)的關系式，進一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域．【詳解】（1）==.所以f（x）的最小正周期．（2）證明：因為，即，所以f（x）在上單調(diào)遞增．當時，即時，．所以當時，．20.已知以點為圓心的圓與軸交于點,與軸交于點，其中為原點.

（1）求證：的面積為定值；（2）設直線與圓交于點，若，求圓的方程；（3）在第（2）題的條件下，設分別是直線和圓上的動點，求的最小值及此時點的坐標.參考答案：(Ⅰ)由題設知，圓C的方程為，化簡得，當y=0時，x=0或2t，則；當x=0時，y=0或，則，∴為定值。

（II）∵，則原點O在MN的中垂線上，設MN的中點為H，則CH⊥MN，∴C、H、O三點共線，則直線OC的斜率，∴t=2或t=－2∴圓心C(2，1)或C(－2，－1)∴圓C的方程為或，由于當圓方程為時，直線2x+y－4=0到圓心的距離d＞r，此時不滿足直線與圓相交，故舍去。∴圓C的方程為

（Ⅲ）點B(0，2)關于直線x+y+2=0的對稱點為，則，又到圓上點Q的最短距離為。所以的最小值為，直線的方程為，則直線與直線x+y+2=0的交點P的坐標為

略21.為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x，y的含量（單位：毫克）．下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：編號12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)．（2）當產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x≥175，y≥75，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量．（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中的優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其均值（即數(shù)學期望）．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（1）有分層抽樣可知各層抽取的比例相等，先計算出甲廠抽取的比例，按此比例計算乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)即可．（2）先計算抽取的5件樣品中優(yōu)等品的概率，再由此概率估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量即可．（3）ξ的所有可能取值為0，1，2．由古典概型分別求概率，再求期望即可，此分布列為超幾何分布．【解答】解：（1）甲廠抽取的比例=，因為乙廠抽出5件，故乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)35件．（2）x≥175，y≥75的有兩件，比例為，因為乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)